S´eminaire BOURBAKI Novembre 2005 o 58e ann´ee, 2005-2006,n 952, p. 1 `a 31 COMPACTIFICATION DE L’ESPACE DES MODULES DES VARIE´TE´S ABE´LIENNES PRINCIPALEMENT POLARISE´ES [d’apr`es V. Alexeev] par Michel BRION INTRODUCTION Classiquement,les vari´et´es ab´eliennes complexes de dimension g munies d’une po- larisation principale sont param´etr´ees par le quotient A du demi-espace de Siegel g H sousl’actiondugroupesymplectiqueentier Sp (Z).L’espacedes modulesA est g 2g g un espace analytique complexe de dimension g(g +1)/2 n’ayant que des singulari- t´es quotient par des groupes finis. En fait, A est un ouvert de Zariski d’une vari´et´e g min projective A (construite par Satake, Baily et Borel dans le cadre plus g´en´eral des g espaces localement sym´etriques) : la compactification minimale, dont le bord est de min codimensiong.Lavari´et´eA esteng´en´eralbienplussinguli`erequeA ,maisonen g g connaˆıtdes d´esingularisationspartielles:les compactificationstoro¨ıdales(construites pourlesespaceslocalementsym´etriquesparAsh,Mumford,RapoportetTai)dontle bord est un diviseur, et qui n’ont que des singularit´es quotient par des groupes finis. Toutesces compactificationsde A admettentdes mod`eles sur lesentiers,les com- g pactifications arithm´etiques de Faltings et Chai. Cependant, elles sont construites par des proc´ed´es ad hoc qui n’en donnent pas d’interpr´etation modulaire, `a savoir, commeespacesdeparam`etresd’objetsg´eom´etriques(cesensdel’adjectifhhmodulaireii est sans rapport avec les formes modulaires, qui ont des liens ´etroits avec la compac- tification minimale). Des exemples importants de vari´et´es ab´eliennes principalement polaris´ees sont les jacobiennes des courbes alg´ebriques irr´eductibles, lisses et compl`etes de genre g ≥2. CescourbesadmettentunespacedesmodulesM dontonconnaˆıtcettefoisunecom- g pactificationmodulaireM ,param´etrantles courbes stablesde genrearithm´etique g. g En associant `a chaque courbe sa jacobienne, on obtient un morphisme t : M → A g g qui est injectif d’apr`es le th´eor`eme de Torelli; de plus, M , M et t admettent des g g mod`eles entiers. La question se pose alors de construire une compactification modu- laire et canonique de A , d´efinie sur les entiers et qui permette de compactifier le g morphisme de Torelli t. SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2007 2 M. BRION Les travaux [2–4] d’Alexeev apportent une r´eponse compl`ete `a cette question. Sa mod compactificationAg estunespacedesmodulesdehhcouplesquasi-ab´eliensstablesii; il s’agit des couples (X,D) ou` X est une vari´et´e projective (connexe, mais non n´e- cessairement irr´eductible) dans laquelle une vari´et´e semi-ab´elienne G op`ere avec un nombre fini d’orbites, et D est un diviseur effectif et ample sur X qui ne contient aucune de ces orbites. On suppose de plus que X est ´equidimensionnelle de dimen- sion g et semi-normale (c’est une petite restriction sur ses singularit´es) et que les stabilisateurs de l’action de G sont des tores. L’exemple le plus simple d’un tel couple est form´e d’une vari´et´e ab´elienne op´erant danselle-mˆemepartranslations,etd’undiviseurthˆeta.Unexempleplus singulierest celui ou` X est une cubique plane nodale munie de l’action du groupe multiplicatif G et du diviseur D form´e d’un point distinct du point double; c’est une d´eg´en´erescence des cubiques planes lisses munies d’un point, c’est-`a-dire des courbes elliptiques. A` tout couple quasi-ab´elien stable on peut associer un complexe de polytopes convexes entiers appel´e son type. Les couples dont le type est un hhpavage p´eriodique par des polytopes convexes entiersii d’un espace vectoriel Rr, r ≤g, sont param´etr´es mod par la compactification modulaire A . Parmi ces couples, on trouve ceux associ´es g comme pr´ec´edemment aux vari´et´es ab´eliennes principalement polaris´ees (c’est le cas ou` r =0),etaussilesjacobiennescompactifi´eesdescourbesstablesdegenrearithm´e- tique g. Ceci permet d’obtenir un morphisme de Torelli compactifi´e¯t :M →Amod; g g mod sonimageestcontenuedansl’adh´erencede A ,une composanteirr´eductibledeA g g Vor dont la normalisation est une compactification toro¨ıdale particuli`ere, not´ee A . g mod En g´en´eral, A contient d’autres composantes irr´eductibles [2]; autrement dit, g ce n’est pas une compactification de A au sens usuel. Une description modulaire de g Vor lahhcomposanteprincipaleiiAg estpropos´eeparOlsson[21]entermesdeg´eom´etrie logarithmique;plusg´en´eralement,Olssonobtientunecompactificationcanoniquedes espaces A qui param`etrent les vari´et´es ab´eliennes de dimension g munies d’une g,d polarisation de degr´e d ≥ 2. Mais la construction d’une compactification modulaire des espaces A (ou` on se donne aussi une structure de niveau n) est une question g,d,n ouverte. La d´efinition des couples quasi-ab´eliens stables semble assez arbitraire : pourquoi faudrait-ils’int´eresser`a des objetsaussisinguliers?Enfait,la constructiond’espaces desmodules devari´et´esprojectivesetlissesfaitapparaˆıtredesobjetstr`esanalogues: afin de pouvoir consid´erer de telles vari´et´es X dont la classe canonique K n’est X pas ample (par exemple, les vari´et´es ab´eliennes pour lesquelles K est triviale), on X est amen´e `a introduire des couples (X,D) ou` D est un diviseur effectif sur X tel que K +Destample.Etpourobtenirdesespacesdesmodulescomplets,ilfautautoriser X des d´eg´en´erescences singuli`eres de ces couples en des hhcouples stablesii. Les courbes stables point´ees forment le premier exemple de tels couples; d’autres exemples importants sont les surfaces stables de [11]. Dans le manuscrit [1], Alexeev ASTE´RISQUE311 (952) ESPACES DES MODULES DE VARIE´TE´S ABE´LIENNES 3 formule une d´efinition g´en´erale des couples stables, et montre que l’existence d’un espacedesmodulescompletpourceux-cised´eduitd’unensembledeconjecturesdans la classification des vari´et´es alg´ebriques : le programme de Mori logarithmique. Ces mod conjectures sont toujours ouvertes en grande dimension, et la construction de A g s’obtient par des m´ethodes sp´ecifiques li´ees aux sym´etries des vari´et´es consid´er´ees. Le but de ce texte est d’exposer une partie des r´esultats des articles[2–5] avec des pr´erequis modestes de g´eom´etrie alg´ebrique (par exemple, le contenu du manuel [9]), dans l’espoir de rendre plus accessible un sujet ou` foisonnent les notations, les d´e- finitions et les concepts. C’est pourquoi on rassemble dans la premi`ere partie des r´esultats classiques sur les vari´et´es ab´eliennes et leurs espaces des modules, tir´es des ouvrages [8,13,15]. La seconde partie est consacr´ee `a une construction de d´eg´en´eres- cenceshhmaximalesiidevari´et´esab´eliennes,quifaitapparaˆıtrebeaucoupd’ingr´edients delacompactificationmodulaire.Celle-cifaitl’objetdelatroisi`emepartie;onyd´ecrit la structure des couples stables qu’elle classifie et on ´enonce les r´esultats principaux la concernant, en g´en´eralsans d´emonstration d´etaill´ee. Je remercie R. Bacher, O. Debarre, S. Druel et tout particuli`erement V. Alexeev et G. R´emond pour des discussions tr`es utiles et pour leurs commentaires sur les versions successives de ce texte; il va de soi que je suis seul responsable des erreurs et impr´ecisions qui pourraient y subsister. 1. VARIE´TE´S ABE´LIENNES PRINCIPALEMENT POLARISE´ES ET LEURS ESPACES DES MODULES Danstoutcetexte,onappellevari´et´eunsch´emar´eduit,connexe,s´epar´eetdetype finisuruncorpsalg´ebriquementclosk;aveccetteconvention,lesvari´et´esnesontpas n´ecessairement int`egres. On appelle courbe une vari´et´e de dimension pure 1. Enfin, on identifie chaque faisceau inversible au fibr´e en droites dont il est le faisceau des sections locales. 1.1. Vari´et´es ab´eliennes Une vari´et´e compl`ete estdite ab´elienne sielle estmunie d’une structurede groupe alg´ebrique. Une telle vari´et´e A est int`egre, projective et lisse, et sa loi de groupe est commutative;onlanoteadditivement.Deplus,lastructuredegroupesurlavari´et´eA est uniquement d´etermin´ee par la donn´ee de l’´el´ement neutre 0. Pour tout a∈A, on note τ :A→A, x7→x+a a la translation par a. Lesous-groupedugroupede PicarddeAform´edes classesd’isomorphiedes fibr´es alg´ebriquement´equivalentsaufibr´etrivialestnot´ePic0(A)ouA∨;c’estaussiuneva- ri´et´eab´elienne,ladualedeA.Touthomomorphismedevari´et´esab´eliennesf :A→B SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2007 4 M. BRION d´efinit un homomorphisme dual f∨ : B∨ → A∨, la restriction de f∗ : Pic(B) → Pic(A). Soit L un fibr´e en droites sur A. Pour tout a ∈A, le fibr´e en droites L−1⊗τ∗(L) a est alg´ebriquement trivial; on obtient ainsi un morphisme λ :A→A∨, a7→[L−1⊗τ∗(L)] L a qui est en fait un homomorphisme de groupes d’apr`es le th´eor`eme du carr´e L⊗τ∗ (L)'τ∗(L)⊗τ∗(L) pour tous a,b∈A. a+b a b Pour que λ soit trivial (c’est-`a-dire τ∗(L) ' L pour tout a ∈ A), il faut et il suffit L a que [L]∈Pic0(A). Lorsque le fibr´e en droites L est ample, λ est une isog´enie (`a savoir, un homo- L morphismede groupesalg´ebriques,surjectifetde noyaufini) etsondegr´eestle carr´e de h0(L):= dimH0(A,L); de plus, Hi(X,L)= 0 pour tout i≥ 1. En particulier, A et A∨ ont la mˆeme dimension, not´ee g, et le degr´e du fibr´e en droites ample L est g!h0(L). Une polarisation de A est une isog´enie λ:A→A∨ qui s’´ecrit sous la forme λ pour un fibr´e en droites ample L; alors les fibr´es en L droites M tels que λ=λ ne sontautres que les translat´esτ∗(L), a∈A. Les classes M a de ces fibr´es dans Pic(A) forment un translat´e de A∨ not´e Picλ(A); l’entier positif h0(L)=h0(τ∗(L)) est appel´e le degr´e de la polarisationλ. a Une polarisation λ = λ est dite principale si c’est un isomorphisme, c’est-`a-dire L si h0(L) = 1; autrement dit, L = O (Θ) pour un diviseur Θ effectif et ample, uni- A quement d´etermin´e par L, et d´etermin´e `a translation pr`es par λ. On dit alors que le couple (A,λ) est une vari´et´e ab´elienne principalement polaris´ee, qu’on abr`ege en v.a.p.p. Les vari´et´es ab´eliennes de dimension 1 ne sont autres que les courbes de genre 1 munies d’un point, qui d´efinit une polarisation principale. En dimension au moins 2, certaines vari´et´es ab´eliennes n’admettent aucune polarisation principale; mais toute vari´et´e ab´elienne est isog`ene `a une v.a.p.p. E´tant donn´ees deux vari´et´es ab´eliennes polaris´ees (A,λ) et (B,µ), un morphisme f : (A,λ) → (B,µ) est un homomorphisme f : A → B tel que f∨◦µ◦f = λ. Il en r´esulte que f est fini, et que c’est un isomorphismelorsqueλ et µ ontle mˆeme degr´e. De plus, le groupe des automorphismes Aut(A,λ) est fini et non trivial; en fait, il contient toujours l’involution [−1]:a7→−a. La classificationdes v.a.p.p est intimement li´ee `a celles des courbes : Exemple 1.1. — Soit C une courbe compl`ete et lisse de genre g :=h1(O )≥1. Soit C J = J(C) := Pic0(C) sa jacobienne (form´ee des classes d’´equivalence lin´eaire des ASTE´RISQUE311 (952) ESPACES DES MODULES DE VARIE´TE´S ABE´LIENNES 5 diviseursde degr´e 0); c’estune vari´et´e ab´elienne de dimensiong.Le choixd’un point P de C d´efinit un morphisme f :Cg−1 →J, (P ,...,P )7→P +···+P −(g−1)P 1 g−1 1 g−1 dont l’image est un diviseur irr´eductible Θ de J; un autre choix de P fournit un translat´edeΘ,etcesdiviseursd´efinissentunepolarisationprincipaleθdeJ.D’apr`esle th´eor`emede Torelli,laclassed’isomorphiedelacourbeC estuniquementd´etermin´ee par celle de la v.a.p.p (J,θ). 1.2. L’espace des modules des vari´et´es ab´eliennes principalement polari- s´ees Pour d´efinir pr´ecis´ement cet espace qui param`etre les classes d’isomorphie des v.a.p.pde dimensiondonn´ee,ona besoinde quelques notionsde nature sch´ematique. Tous les sch´emas consid´er´es sont suppos´es localement noeth´eriens. Un sch´ema en groupes sur un sch´ema de base S est un S-sch´ema π :G →S muni de S-morphismes µ : G × G → G (la multiplication), ε : S → G (l’´el´ement neutre) et ι : G → G S (l’inverse) qui v´erifient les axiomes des groupes. Unsch´emaab´eliensurSestunsch´emaengroupesπ :A→Spropre,lisseet`afibres g´eom´etriquesconnexes(c’est-`a-direA :=A× Specκ(s¯)estconnexepourtoutpoint s¯ S s de S, ou` κ(s¯) d´esigne une clˆoture alg´ebrique du corps r´esiduel κ(s)). Chaque fibre g´eom´etriqueA estunevari´et´eab´eliennesurκ(s¯);onpeutvoirAcommeunefamille s¯ de vari´et´es ab´eliennes param´etr´ee par la base S. La loi de groupe µ est commutative et uniquement d´etermin´ee par la section nulle ε. Lorsque S est le spectre d’un corps K, on dit aussi que A est une vari´et´e ab´elienne sur K. Tout sch´ema ab´elien π :A→S admet un dual A∨ =Pic0(A/S); c’est un sch´ema ab´elien sur S, dont chaque fibre g´eom´etrique est la duale de la fibre g´eom´etrique correspondantede A[8,Sec.I.1.9].Unepolarisation estunmorphismeλ:A→A∨ de sch´emas en groupes sur S, qui induit une polarisationλ :A →A∨ pour tout point s¯ s¯ s¯ g´eom´etrique s¯. Le degr´e de λ est constant sur toute composante connexe de S. La s¯ polarisationest principale si ce degr´e est 1, c’est-`a-dire si λ est un isomorphisme.On dit alors que le couple (A,λ) est un sch´ema ab´elien principalement polaris´e, abr´eg´e en s.a.p.p. Parmi les s.a.p.p de dimension relative g ≥ 1 fix´ee, il n’existe aucun sch´ema uni- versel, dont tout autre s.a.p.p s’obtient par un unique changement de base; en effet, comme onl’a vu,les v.a.p.padmettent des automorphismesnontriviaux.Ondit que les s.a.p.p n’ont pas d’espace des modules fin. Cependant, il existe un sch´ema A qui g est la meilleure approximation sch´ematique de la base d’un objet universel, et dont les points sur k ne sont autres que les classes d’isomorphie des v.a.p.p. Plus pr´ecis´ement, consid´erons le foncteur contravariant A de la cat´egorie des g sch´emas vers celle des ensembles, qui `a tout sch´ema S associe l’ensemble des classes d’isomorphie (dans un sens ´evident) des s.a.p.p de dimension relative g sur S. SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2007 6 M. BRION D’apr`es [15, Thm.7.10], ce foncteur admet un espace des modules grossier, c’est-`a- dire la donn´ee d’un sch´ema A et d’un morphisme de foncteurs ϕ : A → h := g g Ag Mor(−,A ) tels que : g (i) L’application induite A (Speck) → h (Speck) = A (k) est bijective pour tout g Ag g corps alg´ebriquement clos k. (ii) Pour tout sch´ema M et tout morphisme de foncteurs ψ : A → h , il existe un g M unique morphisme de sch´emas f :A →M tel que ψ =f ◦ϕ. g (On note encore f :h →h la composition par f.) Ag M Lapropri´et´euniverselle(ii)d´eterminelesch´emaA `aununiqueisomorphismepr`es. g D’apr`es[15,Thm.7.10]et[8,Thm.V.2.3],cesch´emaestnormal,platetquasi-projectif sur SpecZ, de dimension relative g(g+1)/2. De mˆeme, ´etant donn´e un entier g ≥ 2, on consid`ere le foncteur contravariant M qui `a tout sch´ema S associe l’ensemble des classes d’isomorphie des courbes de g genre g sur S, c’est-`a-dire des morphismes π : C → S propres, lisses, et dont toute fibre g´eom´etrique est une courbe de genre g. Ce foncteur admet aussi un espace des modules grossier qu’on note M ; c’est un sch´ema normal, plat et quasi-projectif sur g SpecZ, de dimension relative 3g−3. A` toutecourbeπ :C →S degenreg onassociesajacobiennerelativeJ =J(C):= Pic0(C/S). C’est un sch´ema ab´elien sur S dont chaque fibre g´eom´etrique J est la s¯ jacobienne J(C ); de plus, J est projectif sur S, et les isomorphismes θ : J(C ) → s¯ s¯ s¯ J(C )∨ seglobalisentenunisomorphismeθ :J →J∨.Graˆce`alapropri´et´euniverselle s¯ de M , on obtient donc le morphisme de Torelli t : M → A qui est injectif sur les g g g points g´eom´etriques (pour tout cela, voir [15]). 1.3. Vari´et´es semi-ab´eliennes et th´eor`eme de r´eduction semi-stable Une vari´et´e semi-ab´elienne est un groupe alg´ebrique G, extension d’une vari´et´e ab´elienneAparuntoreT (isomorphe`aunproduitfiniGr degroupesmultiplicatifs). m Un tel groupe G est connexe et commutatif, et T est son unique sous-tore maximal; la dimension r de T est appel´ee le rang de G, et A=G/T est sa partie ab´elienne. Rappelonslaclassificationdesvari´et´essemi-ab´eliennes.SoientΛ:=Hom(T,G )' m Zr le groupe des caract`eres de T,etπ :G→A le quotientparT.Ona une d´ecompo- sition en espaces propres de T (1) π∗(OG)= MLλ λ∈Λ ou`chaqueL estunfibr´eendroitessurA.Deplus,L estlefibr´etrivial,etlamultipli- λ 0 cationdeπ (O )d´efinitdesisomorphismesL ⊗L 'L pourtousλ,µ∈Λ.Enfin, ∗ G λ µ λ+µ chaque L est alg´ebriquementtrivial, car l’actionde G par multiplicationpr´eservela λ d´ecomposition (1). On obtient donc un homomorphisme c:Λ→A∨, λ7→[L ] λ qui classifie l’extension 1→T →G→A→0. ASTE´RISQUE311 (952) ESPACES DES MODULES DE VARIE´TE´S ABE´LIENNES 7 Exemple 1.2. — Soit C une courbe compl`ete et nodale (c’est-`a-dire dont les seules singularit´essontdes points doubles ordinaires).Le groupePic0(C) (form´e des classes d’isomorphie des fibr´es en droites sur C dont la restriction `a toute composante irr´e- ductible est de degr´e 0) est une vari´et´e semi-ab´elienne de dimension g := h1(O ), C le genre arithm´etique de C, et de rang d−n+1 ou` d d´esigne le nombre des points doublesdeC,etnlenombrede sescomposantesirr´eductibles.Lapartieab´eliennede Pic0(C) est la jacobienne de la normalis´ee C. e En effet, soit f : C → C la normalisation et soient C ,...,C les composantes 1 n e irr´eductibles de C; alors C est la r´eunion disjointe des normalis´ees C ,...,C . On a 1 n e e e une suite exacte de faisceaux sur C 0→OC →f∗(OCe)→F →0 ou`F estunfaisceaugratte-cieldefibrekenchaquepointdouble,et0ailleurs.Puisque le morphisme f est fini, on en d´eduit une suite exacte longue 0→H0(OC)=k →H0(OCe)=kn →H0(F)=kd →H1(OC)→H1(OCe)→0 d’ou` g = d−n+1+ n g(C ). De mˆeme, la suite exacte 0 → O∗ → f (O∗) → F∗ →0 conduit `a unePsuii=te1exaecite longue C ∗ Ce (2) 1→k∗ →(k∗)n →(k∗)d →H1(OC∗)=Pic(C)→H1(OC∗e)=Pic(Ce)→0. D’ou` une suite exacte n 1→Gmd−n+1 →Pic0(C)→YJ(Ci)→0 e i=1 ce qui d´emontre nos assertions. Letoremaximalde Pic0(C) se litaussisurle graphe dual de C.Ils’agitdugraphe non orient´e, not´e Γ ou Γ(C), dont les sommets sont les composantes irr´eductibles de C; deux sommets distincts C , C sont joints par autant d’arˆetes que le nombre i j de leurs points (doubles) communs, et un sommet C porte autant de boucles que i le nombre de points doubles de C . Le tore maximal de Pic0(C) est canoniquement i isomorphe au groupe de cohomologie H1(Γ,k∗); en effet, dans la suite exacte (2), l’application (k∗)n → (k∗)d s’identifie au cobord C0(Γ,k∗) → C1(Γ,k∗). Par suite, le groupe des caract`eres de ce tore est le groupe d’homologie H (Γ,Z), et le rang de 1 Pic0(C) est le nombre de cycles libres du graphe Γ. Les vari´et´es semi-ab´eliennes apparaissent aussi dans les d´eg´en´erescences `a un pa- ram`etre des vari´et´es ab´eliennes. Introduisonsquelquesnotations : soitR un anneaude valuationdiscr`ete,complet, de corps des fractions K, d’id´eal maximal m et de corps r´esiduel k. Le sch´ema S := Spec(R) est appel´e un trait de point g´en´erique η := Spec(K) et de point ferm´e s := Spec(k). Tout sch´ema X sur S d´efinit ainsi une fibre g´en´erique X :=X × η et une η S fibre sp´eciale X :=X × s. On choisitun g´en´erateurz de m, qu’on peut voircomme s S SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2007 8 M. BRION une coordonn´ee locale sur le germe de courbe (S,s). Pour tout entier n strictement positif, le quotient R0 := R[z0]/(z0n−z) est encore un anneau de valuation discr`ete complet, d’id´eal maximal m0 = z0R0 et de corps r´esiduel k; c’est la clˆoture int´egrale deRdanslecorpsK0 :=K[z0]/(z0n−z).OnditqueS0 :=SpecR0 estobtenu`apartir de S par extension finie ramifi´ee. On peut maintenant´enoncer le th´eor`eme de r´eduction semi-stable [8, Sec.I.2]. Th´eor`eme 1.3. — Soit A unsch´ema ab´elien surη (autrementdit,unevari´et´eab´e- η lienne sur K). Alors, quitte a` faire un changement de base fini ramifi´e S0 → S, on peut ´etendre A en un sch´ema en groupes lisse π : A → S dont la fibre sp´eciale A η s est une vari´et´e semi-ab´elienne sur k; une telle extension est unique a` isomorphisme pr`es. L’extension π : A → S est un sch´ema semi-ab´elien, c’est-`a-dire un sch´ema en groupes s´epar´e, lisse, et dont toutes les fibres g´eom´etriques sont des vari´et´es semi- ab´eliennes (dont le rang varie en g´en´eral : un sch´ema semi-ab´elien n’est pas n´eces- sairement extension d’un sch´ema ab´elien par un tore). D’apr`es [8, p. 35], la donn´ee d’une polarisation λ de A induit une polarisation λ de la partie ab´elienne A de η η s s la fibre sp´eciale, et si λ est principale, alors λ l’est aussi. η s Le th´eor`eme de r´eduction semi-stable admet un analogue pour les courbes de genre g : cette fois, la fibre sp´eciale est une courbe stable de genre g, c’est-`a-dire unecourbecompl`ete,nodale,degenrearithm´etiqueg,etdontlegroupedesautomor- phismes est fini. Plusg´en´eralement,unecourbestable de genreg surunsch´emaS estunmorphisme propre et plat π :C →S dont toutes les fibres g´eom´etriques sont des courbes stables degenreg;leth´eor`emeder´eductionsemi-stablerestevalable[23].Lescourbesstables de genre g admettent un espace des modules grossier M sur SpecZ, qui v´erifie les g crit`eresvaluatifsde s´eparationetde propret´ed’apr`esce mˆeme th´eor`eme.Enfait, M g estprojectifsurSpecZ(voir[15])etlescourbesstablesdegenreg sontlesobjetsd’un champ de Deligne–Mumford propre qui compactifie le champ des courbes de genre g (pour ces notions, voir [12]). 1.4. Compactifications des espaces des modules des v.a.p.p. min D’apr`es [8, Thm.V.2.3], A admet une compactification A dite minimale; c’est g g un sch´ema normal, plat et projectif sur SpecZ, qui contient A comme ouvert dense g min et dont le bord A \A est r´eunion disjointe de g sous-sch´emas localement ferm´es, g g isomorphes respectivement `a A ,...,A ,A . De plus, l’adh´erence de chaque A g−1 1 0 a min min dans A est isomorphe `a la compactification minimale A . g a Soit π : A → S une d´eg´en´erescence `a un param`etre comme dans le th´eor`eme 1.3. D’apr`es la d´efinition de A et le crit`ere valuatif de propret´e, il existe un unique g min morphisme ϕ : S → A tel que ϕ(η) est la classe d’isomorphie de (A ,λ ) (vue g η η ASTE´RISQUE311 (952) ESPACES DES MODULES DE VARIE´TE´S ABE´LIENNES 9 comme un point de A ). Et d’apr`es [8, Thm.V.2.3], ϕ(s) est la classe de (A ,λ ), un g s s point g´eom´etrique de A ou` a est la dimension de la partie ab´elienne A de la fibre a s sp´eciale. Ainsi, la compactification minimale ne rend compte que tr`es partiellement des d´eg´en´erescences. On connaˆıt une famille d’autres compactifications de A , les compactifications to- g ro¨ıdales [6,8] qui d´ependent de donn´ees combinatoires qu’on va pr´eciser. Soit V un espacevectorielr´eeldedimensiong munid’unr´eseauΛ.L’espacevectorielr´eelQdes formesquadratiquessurV estalorsmunidur´eseauΓdesformesenti`eres,c’est-`a-dire dont la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee est `a valeurs enti`eres sur Λ× Λ. (On convient que la forme bilin´eaire B associ´ee `a une forme quadratique Q est donn´ee par B(x,y)=Q(x+y)−Q(x)−Q(y)). On note Q+ le cˆone convexe de Q engendr´e par les formes quadratiquesenti`eres et positives; les points de Q+ ne sontautresque les formes quadratiques positives sur V `a noyau rationnel. Le groupe des automor- phismesAut(Λ)'GL (Z)op`eredansQparchangementdevariables;cetteop´eration g pr´eserve Γ et Q+. Une subdivision admissible de Q+ est une famille Σ de parties de Q+ telles que : (i) Chaque σ ∈ Σ est un cˆone convexe poly´edral rationnel (pour le r´eseau Γ), et ces coˆnes recouvrentQ+. (ii) Toute face d’un cˆone de Σ appartient `a Σ. (iii) L’intersection de deux cˆones de Σ est une face commune de ces coˆnes. (iv) Σ est invariantpar l’action de Aut(Λ) et ne contient qu’un nombre fini d’orbites pour cette action. Une subdivision admissible Σ est dite lisse lorsque tous ses cˆones maximaux sont engendr´es par des bases de Γ; elle est dite projective s’il existe une fonction continue et convexe h:Q+ →R telle que : (a) h(Q)>0 pour toute forme quadratique Q d´efinie positive. (b) La restriction de h `a chaque cˆone maximal de Σ s’´etend en une (unique) forme lin´eaire sur Q, `a valeurs enti`eres sur Γ. (c) Les formes lin´eaires associ´ees `a deux cˆones maximaux distincts sont distinctes. Il existe des subdivisions admissibles, et chacune d’elles peut ˆetre raffin´ee en une subdivisionadmissible, projectiveet lisse.De plus, deux subdivisions admissibles ont toujours un raffinement commun. A` toute subdivision admissible Σ on associe une compactification AΣ de l’espace g,C analytique complexe Ag,C. En g´en´eral, AΣg,C n’est pas un sch´ema sur SpecC, mais un espace analytique complexe compact qui admet une stratification index´ee par les orbites de Aut(Λ) dans Σ. La strate associ´ee au cˆone nul n’est autre que Ag,C, et l’identit´e de Ag,C s’´etend en un morphisme AΣg,C → Amg,Cin. Pour tout raffinement Σ0 Σ0 Σ de Σ, on a aussi un morphisme Ag,C →Ag,C qui´etend l’identit´e de Ag,C. SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2007 10 M. BRION Σ min Lorsque Σ est projective, A s’obtient `a partir de A en ´eclatant un certain g,C g,C Σ faisceau d’id´eaux (hhcrit`ere de Taiii, voir [6, Sec.IV.2]); en particulier, Ag,C est une vari´et´e projective. Le crit`ere de Tai reste valable sur les entiers grˆace aux r´esultats de [8]; onobtient ainsiun sch´ema AΣ, projectifet platsur SpecZ, quiest un mod`ele g Σ entier de A . Un tel mod`ele entier existe aussi lorsque Σ est lisse [8, Thm.IV.5.7]; g,C c’est un espace alg´ebrique propre et plat sur SpecZ. En fait, AΣ est l’espace des g modules grossiers d’un champ de Deligne–Mumford propre qui compactifie le champ des s.a.p.p. Parmilessubdivisionsadmissibles,ondistingueladeuxi`emesubdivision deVoronoi dontl’int´erieurrelatifdechaquecˆoneestl’ensembledesformesquadratiquespositives qui donnent une d´ecomposition de Delaunay fix´ee de V (la d´efinition de la d´ecom- position de Delaunay est rappel´ee en 2.1). Cette subdivision, not´ee Vor, est toujours projective[3,Cor.5.12.8],maisellen’estlissequ’endimensiong ≤4(voir[5,Sec.1.14] et ses r´ef´erences). De plus, le morphisme de Torelli t : M → A se prolonge en un g g morphisme ¯tC :Mg,C →AVg,oCr qui est un isomorphisme lorsque g = 2, mais qui n’est pas injectif d`es que g ≥ 3 (voir [19] et ses r´ef´erences). 2. CONSTRUCTION DE DE´GE´NE´RESCENCES MAXIMALES DES VARIE´TE´S ABE´LIENNES PRINCIPALEMENT POLARISE´ES Les d´eg´en´erescences `a un param`etre des vari´et´es ab´eliennes π : A → S obtenues grˆace au th´eor`eme de r´eduction semi-stable (1.3) ont l’inconv´enient de ne pas ˆetre propres en g´en´eral : il existe de telles d´eg´en´erescences,dites maximales, dont la fibre sp´ecialeestuntore.Maisonpeutobtenirdesd´eg´en´erescencespropresπ :X →S dela fibreg´en´eriqueA grˆace`auneconstructiondeMumford[14],repriseetd´evelopp´eepar η Faltings et Chai [8], puis par Alexeev et Nakamura [5]. Dans cette partie, on expose l’approche de [5] dans le cas particulier des d´eg´en´erescences maximales des v.a.p.p. (le cas g´en´eral n’en est pas tr`es ´eloign´e, mais n´ecessite beaucoup plus de notations). L’id´ee,due `a Tate,est de voirA comme le quotient d’un tore (K∗)g par un sous- η groupe Λ ' Zg de p´eriodes. On construit des compactifications partielles π :X → S de(K∗)g =X quisontmuniesd’uneactionproprede Λprolongeantsonaectioendans η e (K∗)g par multiplication, et dont la fibre sp´eciale X est la r´eunion des translat´es s par Λ d’une vari´et´e torique sous le tore (k∗)g. Le queotient X = X/Λ est alors une d´eg´en´erescencedeA ,propresurS etdontlafibresp´ecialeadmetueneactionde(k∗)g η avec un nombre fini d’orbites. ASTE´RISQUE311