LaSnégmliannadisr e[ LBaO6]U aR pBrAoKpoIsé d’aller au-delà de cette analyse et d’utiliser lNao fvoermmbulree d2e0s00 tr5a3cee sa pnnoéuer, c2o0m0p0r-e20n0d1r,e nl°e s 8r8e0,p rpé.s e1n tàa t3i7ons automorphes selon l’image des représen- tations du groupe LF censées leur correspondre. Pour G = GL2, il propose d’utiliser les pôles des fonctions s) et la formule des traces de Selberg. Sarnak suggère d’utiliser une autre formule des traces, due à Kusnetzov. À suivre donc. FACTORISATION FAIBLE DES APPLICATIONS BIRATIONNELLES [d’après Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk et Morelli] RÉFÉRENCES par Laurent BONAVERO 1. INTRODUCTION Dans tout ce texte, K désigne un corps algébriquement clos de caractéristique nulle (la nullité de la caractéristique est essentielle dans les parties 2 et 5, les constructions des parties 3 et 4 sont cependant valables en caractéristique arbitraire). 1.1. Rappels sur les éclatements Si 7~ ~ 2 et si V est un K-espace vectoriel de dimension n, on note PK(V) l’espace projectif des droites vectorielles de V. Si V = Kn, on note simplement = PK (V). Considérons Si (xl, ..., sont les coordonnées sur Kn et ... : yn~ les coordonnées homogènes associées sur Pn-1, alors Il en découle que est une sous-variété algébrique fermée lisse de K’~ x La première projection 7r : Bo (Kn ) --> K~ est une application régulière birationnelle qui se restreint en un isomorphisme 7r : ~r-1(o) -~- Kn B ~0~ avec ~r-1(o) _ {0} x Pn-1. L’application birationnelle 7r : Kn s’appelle l’éclatement de Kn en 0 ; 0 est le centre de 7r et ~r-1 (o) est le diviseur exceptionnel de 7r. Plus généralement (voir par exemple [Har77]), si Y est une sous-variété fermée lisse d’une variété algébrique lisse X, il y a une variété algébrique lisse By(X) et une ap- plication régulière birationnelle 7r : BY (X ) ~ X qui se restreint en un isomorphisme 7r : BY(X)B03C0-1(Y) ~ XBK et 03C0-1(Y) ~ P(NY/X) où NY/X désigne le fibré normal de Y dans X. L’application birationnelle 7r : X s’appelle l’éclatement de X le long de Y, ou de centre Y et E :_ ~r-1 (Y) est le diviseur exceptionnel de 7r. Moralement, on remplace chaque point y de Y par l’espace projectif des directions 2 normales à Y dans X passant par y. Si la donnée initiale est By(X), on dit encore que 7r : X est une contraction de centre Y (éclatement et contraction désignent donc dans ce texte la même application birationnelle, ils sont utilisés res- pectivement suivant que la donnée initiale est X (resp. By (X)) et la donnée finale (resp. X ) ) . Enfin, si Z est une sous-variété de X, on appelle trans f ormée stricte de Z l’adhérence dans By(X) de ~r-1 (Z) 1 E. 1.2. Énoncé du théorème principal C’est un problème classique depuis une trentaine d’années de savoir s’il est possible de décomposer une application birationnelle entre deux variétés algébriques complètes lisses en une suite d’éclatements et contractions de centres lisses. En dimension 1, la question est vide : toute application birationnelle entre deux courbes algébriques complètes lisses est un isomorphisme. Dans le cas des surfaces, on sait depuis un siècle que toute application birationnelle entre surfaces complètes lisses est une suite d’éclatements et contractions de centre des points (voir par exemple [BPV84]) : un exemple classique est la transformation de Cremona [x : y : z] - [1/~c : l/y : 1 /z] de P~ dans P~ qui se décompose en l’éclatement des trois points [0 : 0 : 1], [0 : 1 : 0] et [1:0:0] suivie de la contraction des transformées strictes des trois droites joignant deux à deux les points précédents. Le problème était ouvert dès la dimension trois. Nous donnons dans cet exposé les grandes lignes de la démonstration du théorème suivant, dû à Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk [AKMW99] et Wlodarczyk [Wlod99]. THÉORÈME 1.1. - Soit Xi --~ X2 une application birationnelle entre deux va- riétés algébriques complètes et lisses Xl et X2 sur K. Alors, cp se factorise en une suite d’éclatements et de contractions de centres lisses. Autrement dit, il y a une suite d’applications birationnelles entre variétés algébriques complètes et lisses de sorte que p - 03C6l-1 o pi-2 0 ... pi o po et pour tout i, YZ --~ V2+1 ou YZ+1 --~ ~z est une application régulière obtenue en éclatant une sous-variété irréductible lisse. Ce texte est pour l’essentiel une reprise de [AKMW99] et ~Mat99~, dans lesquels on trouvera beaucoup plus de précisions, une liste de références très complète ainsi qu’une discussion détaillée des extensions ou généralisations du théorème 1.1. Mentionnons aussi que le théorème de factorisation admet les raffinements fonda- mentaux suivants : . si cp est un isomorphisme sur un ouvert U, le centre de chaque cpi ou 03C6-1i peut être choisi disjoint de U, . si Xl et X2 sont des variétés projectives, chaque YZ peut être choisie projective, . si Xi et X2 ne sont pas supposées complètes, toute application birationnelle propre (voir [Har77] pour cette notion) entre X 1 et X2 se factorise en une suite d’éclatements et de contractions de centres lisses, . si Xi et X2 sont deux variétés analytiques complexes compactes lisses, toute ap- plication biméromorphe propre entre X 1 et X2 se factorise en une suite d’éclatements et de contractions de centres analytiques lisses, . le théorème 1.1 est vrai même si K n’est pas supposé algébriquement clos. Pour simplifier l’exposition, nous nous contenterons de renvoyer à [AKMW99] et [Mat99] pour une démonstration de ces points. Faisons aussi les remarques suivantes : . la factorisation n’est évidemment pas unique (même si l’on impose que pour tout i, cp2 ne soit pas l’inverse de . dans le cas des surf aces, si ~p est régulière, alors toutes les ~pi peuvent être choisies régulières. Ceci est f aux en dimension supérieure ou égale à trois, . la factorisation décrite dans le théorème 1.1 est une solution positive au problème de factorisation f aible ; le problème de factorisation forte (au sens où il existe un entier io tel que pour tout i io, est régulière et pour tout i > io + 1, cpi est régulière~ est un problème ouvert à ce jour en dimension supérieure ou égale à trois. 1.3. Quelques mots sur la démonstration du théorème 1.1 La démonstration du théorème 1.1 est en un certain sens une victoire de la géo- métrie torique. En effet, la ligne directrice est une réduction (en plusieurs étapes, certaines utilisant fondamentalement des techniques toriques) au cas d’une applica- tion birationnelle équivariante entre variétés toriques, cas résolu par Morelli [Mor96] et Wlodarczyk [Wlo97], puis étendu au cadre toroïdal par Abramovich, Matsuki et Rashid [AMR99]. Il est bien connu depuis quelques années que la géométrie des varié- tés toriques (ou des plongements toroïdaux), gouvernée par des objets combinatoires simples issus de la géométrie convexe, donne une bonne vision locale de certaines propriétés des variétés algébriques (voir par exemple l’existence d’altérations due à De Jong). L’exposé qui suit donnera, je l’espère, envie au lecteur de mieux connaître ou de découvrir ces techniques ; ce texte ne remplaçant certainement pas l’énorme effort pédagogique que constitue le texte [Mat99] de K. Matsuki. Remerciements. - Merci aux collègues qui m’écoutent parler d’éclatements depuis plusieurs années, ils sont trop nombreux pour être tous mentionnés. Merci à Michel Brion, Laurent Manivel, Kenji Matsuki et Emmanuel Peyre pour m’avoir aidé à pré- parer ce texte, et plus particulièrement à Stéphane Guillermou, infatigable relecteur de multiples versions préliminaires, ainsi qu’à Cinzia Casagrande pour m’avoir signalé les trop nombreuses coquilles de la version distribuée le jour de l’exposé. Je dédie ce travail à mes enfants Alex et Zoé, et à Marguerite leur maman. 2. COBORDISME BIRATIONNEL ET ACTION DE K* La notion de cobordisme birationnel a été dégagée par Wlodarczyk [Wlo97], suite au travail fondamental de Morelli [Mor96] dans le cadre des variétés toriques. L’idée essentielle est la suivante : la théorie de Morse sur les variétés (différentiables réelles) permet de reconstruire topologiquement une variété donnée X à partir d’une fonction de Morse f sur X. Le passage des points critiques de f (qui sont aussi les points fixes du champ de vecteurs grad( f ) lorsque X est munie d’une métrique riemannienne) correspond aux changements de topologie par ajout d’une cellule. A un morphisme birationnel entre Xi et X 2 de dimension n, on associe une variété algébrique de di- mension r~ + 1 munie d’une action de K*, avec un ordre sur les composantes connexes de points fixes. L’action de K* joue le rôle du champ de vecteurs grad( f ) et à chaque composante connexe de K*-points fixes, on associe une application birationnelle élé- mentaire, dont on montre qu’elle est « localement torique ». 2.1. Rappels sur les K*-actions Lorsque le groupe multiplicatif K* agit algébriquement sur une variété algébrique X, pour t E K* et x G X, le résultat de l’action de t sur x sera noté t ~ x. On note X/K* l’ensemble des orbites de l’action et XK* l’ensemble des K*-points fixes de X. DÉFINITION. - Un bon quotient ou quotient catégorique Y = X//K* est la donnée d’une variété algébrique Y et d’une application régulière 7r : X - Y constante sur les K* -orbites de sorte que pour tout ouvert affine U de Y, 03C0-1 (U) est un ouvert affine de X et l’application induite 7r* : Oy (U) - (Ox (03C0-1 (U)))K* est un isomorphisme (ici, désigne les éléments K*-invariants de Si de plus les fibres de 03C0 sont exactement les orbites, alors Y est appelé quotient géométrique. Rappelons (voir par exemple [MFK94]) que K* étant un groupe réductif, pour toute variété afnne X munie d’une action algébrique de K*, le quotient catégorique X//K* existe et ses points correspondent aux K*-orbites fermées. De plus X//K* est normale si X l’est. Notations. - Soit X une variété algébrique sur laquelle K* agit algébriquement. Introduisons les deux sous-ensembles localement fermés de X suivants : et Précisons ici que « existe dans X » signifie que l’application régulière de K* dans X qui à t associe s’étend en une application régulière de K dans X ayant pour valeur en 0. Premier exemple f ondamental. - Considérons l’action algébrique de K* sur X = définie par t . (xl, ... , x~,+1) _ où les ai sont des entiers premiers entre eux tels que ai 0 pour pour a + 1 ~ i ~ n + 1 pour un entier a tel que 2 ~ a x n. Alors X+ = X B (Ka x ~0~) et X- = X B ({0~ x Les quotients géométriques X+/K* et X-/K* existent, ainsi que le quotient catégorique X//K* et on a un diagramme commutatif : Si 0 E X//K* désigne l’unique K*-orbite fermée de X, la fibre cp+1 (0) (resp. ~p-1 (0)) est isomorphe à l’espace projectif à poids P (aa+1, ... , an+1 ) (resp. P (al, ... , aa ) ) De plus, cp+ et c~_ se restreignent en des isomorphismes sur l’ouvert (X- ~X+)~K*, ainsi ~p = ~p+10 p_ : X-/K* --~ X+~K* est une application birationnelle. 2.2. Cobordisme birationnel La définition suivante sera l’outil fondamental dans toute la suite. DÉFINITION. - Soit Xi --~ X2 une application birationnelle entre deux variétés algébriques normales X 1 et X2 sur K. Un cobordisme birationnel pour p est la donnée d’une variété algébrique normale B telle que : (i) le groupe multiplicatif K* agit de façon effective sur B (Le. ~x~BStab(x) = 1), (ii) les ensembles B- et B+ sont des ouverts (de Zariski) non vides, (iii) les quotients géométriques B_ ~K* et B+ /K* existent et sont respectivement isomorphes à Xl et X2, (iv) si 03C8: B- --~ B+ est l’application birationnelle induite par les inclusions B- n B+ C B- et B- n B+ c B+, le diagramme suivant est commutatif : Dans le premier exemple fondamental, X = est un cobordisme birationnel pour 03C6 : X _ /K* --~ X+/K* . FIGURE 1. Cobordisme birationnel : éclatement d’un point Deuxième exemple fondamental (voir aussi [Ful84]). 2014 Soient X une variété algé- brique complète et lisse, Y une sous-variété irréductible lisse de X et Xi - X2 = X l’éclatement de X de centre Y. Construisons un cobordisme birationnel pour cp. Soit W la variété algébrique X2 x P~ sur laquelle le groupe K* agit algébriquement par multiplication sur le second facteur. Notons Y = Y x ~0} C W et soit B la variété algébrique complète et lisse obtenue en éclatant W le long de Y. Comme Y est inclus dans l’ensemble des K*-points fixes de W, l’action de K* sur W se relève en une action sur B. La transformée stricte Di de X2 x ~0~ est isomorphe à Xi si bien que B possède deux diviseurs constitués de K*-points fixes, l’un, Dl, isomorphe à Xi et l’autre, noté D2 et égal à l’image inverse dans B de X2 x ~oo~, isomorphe à X2. Posons alors B = B 1 (Di U D2). Soit E le diviseur exceptionnel de l’éclatement B --~ W. Ce diviseur est isomorphe à = et est K*-invariant (0 désigne le fibré en droites trivial). Remarquons que l’ensemble des K*-points fixes de B correspond à l’image de dans l’identification précédente et est donc naturellement isomorphe à Y. C’est ensuite un exercice facile de voir que B est un cobordisme birationnel pour cp. La figure 1 représente le cas de l’éclatement d’un point dans une surface et devrait éclairer le lecteur. 2.3. Construction de cobordisme birationnel On démontre ici le résultat suivant, dû à Wlodarczyk [Wlo00] : THÉORÈME 2.1. - Soit p : Xi - X2 une application régulière birationnelle entre deux variétés projectives lisses. Alors, il existe une variété projective lisse B munie d’une action algébrique effective de K* vérifiant: B (i) il existe deux plongements cl : et c2 : X2 - d’images disjointes, (ii) la variété B = B, (cl(Xl) U c2(X2)) est un cobordisme birationnel pour ~p. Démonstration. Elle suit de près la construction du deuxième exemple fondamen- - tal. Comme p X2 est une application régulière birationnelle entre deux variétés projectives, il existe un faisceau d’idéaux l C OX2 cohérent tel que cp soit l’éclatement de T (voir par exemple [Har77] page 166). Soit W la variété algébrique X2 x P~ sur laquelle le groupe K* agit algébriquement par multiplication sur le second facteur. Soit J = + p-12I0)OW où Io est l’idéal du point 0 de P1 et soit 7r : W ~ W l’éclatement de J. Comme J est K*-invariant, l’action de K* sur W se relève à W. La variété W est projective et en général singulière. La transformée stricte Di de X2 x ~0~ est isomorphe à Xi et, étant lisse, de Cartier et d’équation locale d’ordre 1, est incluse dans le lieu régulier de W. Soit alors B une désingularisation canonique de W (une telle désingularisation est obtenue par une suite d’éclatements le long de centres lisses disjoints du lieu régulier de W et est naturellement munie d’une action algébrique de K* relevant l’action de K* sur W ; de telles désingularisations existent, voir la partie 5 pour plus de détails). Alors, la pré-image D1 de Di dans B est isomorphe à Xi , la pré-image DZ de X2 x ~oo~ dans B est isomorphe à X2 et B = B 1 (D1 U D2) est un cobordisme birationnel pour (/?. D 2.4. Filtrabilité La notion de cobordisme filtrable est due à Morelli [Mor96] et Wlodarczyk [Wlo97], son origine se situe dans les travaux de Bialynicki-Birula. DÉFINITION. - Soit B une variété algébrique munie d’une action algébrique de K*. Si Fi et F2 sont deux composantes connexes de BK*, on dit que Fl précède F2, que l ’on note F2, s’il existe x E B B BK** tel que limt~0 t . x E Fl et limt~~ t.x E F2. La relation « n’est en général pas transitive. DÉFINITION. - Soit B une variété algébrique munie d’une action algébrique de K*. On dit que B est filtrable s’il n’y a pas de ~-cycle de composantes connexes de En particulier, il n’y a pas de composante connexe F de telle que F ~ F. Le lemme suivant est élémentaire mais essentiel : LEMME 2.2. - Soit B une variété algébrique lisse munie d’une action algébrique de K*. Si B est quasi-projective, alors B est filtrable. Démonstration. - Par un résultat de Sumihiro [Sum74] ~Sum75~, il existe une im- mersion localement fermée et équivariante de B dans un espace projectif P(V) où V est un espace vectoriel sur lequel K* agit linéairement et algébriquement. Comme l’action de K* est algébrique, V se décompose en espaces propres V = V(ak) où les a~ sont des entiers relatifs ordonnés ao ... am et K* agit sur ~~ E V(ak ) par t . . xk = takxk (les ak sont les poids de la représentation V) . L’observation suivante est élémentaire mais cruciale : soit x E P(V) que l’on relève en x = . ~ xm dans V . Soit min(x) (resp. max(x)) le plus petit (resp. grand~ indice i dans ~0, m~ tel que ..., 0. Alors limt~0 t . x (resp. limt~~ t . . x) est l’image dans P(V) de (resp. xmax(x)). Les composantes connexes de (P(V))K* sont les Cak = P(V(ak)) et le lemme repose sur le fait suivant : s’il existe x dans P(V) B (P(V) )K* tel que limt~o t ~ x E Cai et E Ca, , alors, d’après l’observation précédente, ai aj. De là, si F est une composante connexe de BK* et si a(F) est l’unique entier tel que F C on déduit que F - F’ implique a(F) a(F’). Il s’ensuit que B est filtrable. D 2.5. Décomposition d’un cobordisme birationnel et théorie géométrique des invariants Soit (/? : X2 une application régulière birationnelle entre deux variétés pro- jectives lisses et soit B un cobordisme birationnel quasi-projectif (et donc filtrable d’après ce qui précède) pour cp donné par le théorème 2.1. Dans le paragraphe pré- cédent, on a associé à B une suite de poids entiers ordonnés (ai)i=o,...,m, et quitte à remplacer V par Sym2(V), on peut supposer de plus que tous les poids ai sont pairs, en particulier ai + 1 Rappelons aussi qu’à toute composante connexe F de BK* correspond l’un de ces poids a(F). Si x appartient à BK*, x appartient à une unique composante connexe F de BK* et on note a(x) le poids a(F) correspondant. Notations. - Soit ai l’un des poids précédents. On note le complémentaire dans B de Remarquons que chaque Bai contient l’ouvert B- n B+ et que si x est un point fixe dans Bai, alors a(x) = ai. En particulier, d’après le paragraphe 2.4, il n’existe pas de point x dans Bai B * tel que et existent dans Cette dernière observation joue un rôle crucial dans la construction de « l’atlas torique » de la partie 2.6. Le lemme suivant est immédiat : LEMME 2.3. - Avec les notations précédentes, (Bai )+ _ pour tout 0 i m - 1. De plus, B_ _ (Bao)- et B+ = Exemple. - Considérons P(V) où V est un espace vectoriel sur lequel K* agit linéai- rement et algébriquement. Comme précédemment, V se décompose en espaces propres V = V(ak) où les ak sont les poids de V supposés tels que ak ak + 1 a~+1 pour tout k. Considérons B = P(V) B (P (V (ao ) U P (V (am ) ) ) . Alors, il est très facile de voir que Le résultat suivant est dû à Wlodarczyk il voit son origine dans les travaux de Guillemin-Sternberg [GuS89] et Brion-Procesi [BrP90] : PROPOSITION 2.4. Le quotient catégorique Bai//K* et les quotients géométriques - et (Bai )+/K* existent. De plus, Bai est un cobordisme birationnel pour Démonstration. Les notations étant celles de la démonstration du lemme 2.2, soit - po l’action de K* sur V = (B~=o V(ak) et pour un entier r E Z, soit pr l’action de K* obtenue en « tordant » po par t-r. Autrement dit, si x~ E V(ak), on a Evidemment, l’action de pr sur P(V) est égale à l’action initiale po, mais pr induit un changement de linéarisation sur le K*-fibré en droites ample Sous l’hypothèse que les poids de l’action vérifient ai + 1 ai+l, on observe que Bai (resp. resp. est le lieu des points semi-stables de B pour le fibré en droites linéarisé par pai (resp. resp. rappelons que x est un point semi-stable d’une variété algébrique munie d’une action de K* et d’un fibré en droites L ample et linéarisé par pr si et seulement si il existe une section invariante de L0n non nulle en x pour un certain entier n. La théorie géométrique des invariants [MFK94] assure alors que les quotients catégoriques Bai//K*, et (Bai)+//K* existent, et comme de plus chaque orbite de (resp. est fermée dans (Bai)- (resp. (.6~ )-)-), les quotients et sont des quotients géométriques. De plus, le quotient catégorique 7ri : Bai -~ / /K* est un morphisme affine : ceci découle du fait déjà observé qu’il n’existe pas de point x dans Bai B * tel que limt~o t ~ x et x existent dans Bai. Notons enfin qu’il y a un diagramme commutatif : si bien que le cobordisme birationnel cp2 : ---~ s’interprète comme un changement de linéarisation pour la restriction à Bai du K*-fibré en droites ample Op(v)(l). D Faisons le point. - Si cp : Xi - X2 est une application régulière birationnelle entre deux variétés projectives lisses, ce qui précède montre que cp se factorise en une suite d’applications birationnelles où chaque 03C6i : Vi --~ Vi+1 est un cobordisme birationnel cpi : --~ la variété Bai étant une K*-variété quasi-projective pour laquelle le quo- tient catégorique Bai existe. La figure suivante illustre cette décomposition. FIGURE 2. Décomposition d’un cobordisme birationnel 2.6. Structures localement toriques Nous allons expliquer dans ce paragraphe, en montrant que l’on peut munir les va- riétés Bai construites précédemment d’un atlas de « cartes étales fortement toriques », que la décomposition obtenue précédemment est une décomposition en applications « localement toriques ». Ceci est un point essentiel pour la suite où toutes les construc- tions élaborées (en particulier dans la partie 4) et la vérification de leurs propriétés se feront à l’aide de cet atlas. Rappelons qu’une application régulière f : Z -~ X entre variétés algébriques est étale si elle est lisse de dimension relative 0. De façon équivalente, f est étale si pour tout z E Z, f induit un isomorphisme f * : ~ entre les complétés des anneaux locaux. Sur le corps des nombres complexes, f est étale si et seulement si f est un biholomorphisme local. DÉFINITION. - Soit f : Z 2014~ X un morphisme étale, K*-équivariant entre deux variétés algébriques affines munies d’une action de K*. On dit que f est fortement étale si et seulement si f //K* : X //K* est étale et l’application naturelle Z --~ Z//K* est un isomorphisme. Soit V une variété algébrique lisse munie d’une action algébrique de K* et soit x E V un K*-point fixe. Par un résultat de Sumihiro [Sum74] [Sum75], il existe un voisinage K*-invariant et affine Wx de x dans V. Comme x est un point fixe, le lemme fondamental de Luna [Lun73] [MFK94] assure qu’il existe un voisinage K*-invariant et affine Vx C Wx de x, saturé pour la projection 7rx : Wx - et un morphisme K*-équivariant et fortement étale Xx := TxV (où TxV est l’espace tangent de V en x). Comme l’action de K* sur Tx V se diagonalise, il existe une base de