Soit Sr l’ensemble des éléments homogènes de degré r de S. On a : Sr Sry S est une algèbre graduée. Soit Ar _ ~ (S~) . Nous dirons que les éléments de Ar sont les éléments symétriques homogènes de degré r de A . L’espace A est la somme directe des Ar ; A° _ .~1 ~ et A1’= CL. Soit A = A 0 + A1 + ... + Ar . On voit aisément que A est l’ensemble des éléments de A qui peuvent s’écrire comme combinaisons linéaires de produits de r éléments de al, au plus. Donc Ar Ar, CA, :~ A est une algèbre filtrée par les A (mais non graduée par les Ar). Un élément a ~ 0 de A sera dit de degré r si sa composante symétrique homogène non nulle de degré maximum est de degré r . Ainsi, y conserve le degré. Soient s’ avec (degré de s) ~ r , (degré de s’ ) ~ r’ . Alors, )~(s) ~ ~ (s’ ) et § (ss’ ) sont congrus modulo Autre expression de ce résultat : construisons l’algèbre graduée B asaociée à l’algèbre filtrée A ; soit Br l’espace et B la somme directe Bl + ...3 le produit dans A définit, par passage au quotient, une application bilinéaire de Br x Br,1 dans d’où, par linéarité, une application bilinéaire de B x B dans B ; autrement dit, B se trouve munie d’une structure d’algèbre, graduée par les B . A Il y a un isomorphisme canonique évident de l’espace B sur l’espace donc sur l’espace Sr ; d’où un isanorphisme canonique de l’espace B sur l’espace S ~ qui est aussi un isomorphisme d’algèbres. 3. - Soient g une sous-algèbre de G la sous-algèbre de A engendrée par .9. Soit G’ l’algèbre enveloppante de G Il existe un homomorphisme de . G’ sur G tel que c~ (1 ) _ 1 , ~p 1 (g) = g pour Soit (gl ’ g2 ’ ... , gm) une base de el telle que (gl ~ g2 ’ ... , gn) soit une base de g . Les ... , g. (calculés dans G’), où (iI ~ ... , i) est une suite 12 r croissante (au sens large) d’entiers compris entre 1 et n, forment une base de l’espace G’, et leurs images par 03C6 sont linéairement indépendantes ; donc tp est biunivoque. Nous identifierons désormais G’ à G par l’isomorphisme cp . , ~ = 0 . Soit 1 une sous-algèbre de Cl telle que 0+ Soit H CI A l’algèbre enveloppante de h.. L’application bilinéaire (g ~ h) de G x H dans A définit une application linéaire Q de G ~ H dans A telle que ~’(g ~ h) = gh . On peut supposer que gn+1 ’ "’ ~ ~ forment une base de g , g ... , g . ~’r x g , ~1 g ~z ... , g . ~s (où (j 1 ’ j 2 ’ ... , j ) est une suite croissante d’entiers compris entre n + 1 et m ) forment une base de G t9 H ; or les g. g.... g. g. g .... g. forment une base est un isomorphisme de l’espace vectoriel G@ H sur l’espace A .. 2. Représentation des algèbres de Lie. Soient h. A 1. - une algèbre de Lie, H son algèbre enveloppante. Soit semble des classes de représentations irréductibles de dimension finie de La représentation nulle s’effectuant dans un espace de dimension 1 définit un élément $ de ZB . Soit ~ une représentation de dans un espace V. Pour Z~ S 6L on désigne par V~ l’espace engendré par les sous-espaces stables de V dans lesquels ~ induit une représentation de classe ~ . Les éléments de Vf sont les éléments annulés par 9 , encore appelés invariants. Vr est stable pour 03BD . 03B41 , 03B42 , $ 0394 , Si sont des éléments distincts de il existe ... , h ~H tel que 03BD(h) se réduise ai dans V03B41 , à 0 dans les 1 1 il en résulte que la somme 03A3V03B4 est directe. Si W est un sous-espace stable de V ~ on a Wr = Vf Soient d’autre part v 2014~v l’application canonique de V sur V* = V/W , et T?~ la représentation induite par 9 dans V* . Si v ~ V03B4 , on a 6 (V*)03B4 , donc (V*)03B4 ~ (Vf )*. Si de plus V on a V* )*, donc, la somme ~ (ytJi)S étant directe, (V~)~ Si V = 03A3 V est une décomposition de V en somme directe de sous-espaces = 03A3(Vc)03B4. stables pour 9 , on a Vr Si v ~ 03A3V03B4 , le sous-espace W = est de dimension finie. Récipro- E 03A3V03B4 ; quement, si W est de dimension finie, et si est semi-simpie on a v6 en effet, W , qui est stable pour ~ ~ est complètement réductible. Z-A ~ 2. Soit ~~ et 9g une représentation de classe ~ dans un espace Ur. La représentation ~~ = -~(~r’) qui s’effectue dans l’espace U dual de 0394 . définit un élément 03B4* de Ceci posé, considérons, dans W = V ~ U03B4* , la représentation 03BD ~ 1 + 1 ~ 03BD03B4* . Soit u , u2 , ... , un une base de U . Alors, si w = vi ~ ui ~ w03B4o , le sous-espace V’ de V engendré par les vi est stable, et 03BD induit dans V une représentation de classe J. ou bien V = 0 . Réciproquement, si 03BD induit dans un sous-espace stable V’ de V une classe 03B4 , représentation de on peut choisir une base v1 , v2 ... , v n de quen V’ telle v. @ u. e ~= ~ ~ o h’L , 3 . - Si V est une algèbre, et si 9 (h) est, pour tout une dériva- tion de V , chaque V03B4 est un V03B4o -module (à gauche par exemple). Gar soient h c h , v ~ V03B4 , vo ~ V03B4o ; on a Î 9 (h ) (v o v) = v o ( o (h)v ) .: donc, si 9 in- représentation dui t dans P H>v une de classe S , on a P H> v v> = 0 , ou à . Î bien la représentation induite dans ’V (H) (v v) est de casse donc vo &Vj . o En particulier, Vg est une sous-algèbre de V . ~ v§ Pour vG désignons par la composante de v dans V03B4o . L’applica- -* v§ ) o tion v est un projecteur de V03B4 sur v& . Si vo « v $ et v é o o on a v v e ,donc v v> § = 0 = v v4 si é / 1. , et v v>’ = v v = #i à v oÉ v>h= v%. v v4 l =£ ; donc, si OE V03B4o et Ei tvi , a v v Dl §§ même, (v vo = ° 4. ooo Supposons désormais #~L semi-simple et V de dimension finie. Soit S > V l’algèbre symétrique de V . Pour h E5. V (h) se prolonge d’une manière UniqUe en une dérivation 1(h) de S , et iii est encore nne représentation de Ù’% : ear, xi hi oE h , 1 3 (h) , 1 (hi) 1 et ([h , h1]) sont deux dérivations de S qUi coincident sur V ’ donc sont identiques . Soit 1’ensemble des éléments homogè- S T , S . nes de degré r de S . est stable pour donc aussi Comme S = T Sr et que dim Sr + ~ , on voit que S = ZIS g , et S03B4 =ZZ (S03B4 fl THÉORÈME des invariants. - L’algèbre S03B4o a un nanbre fini de générateurs. . soit 5 = s1 + s2 + ... soit (si , s2,, ... , sn) une base de l’idéal engendré dans S par l’algèbre S03B4 fù3 , On peut supposer les si danS S; ~ S , et o 0 homogènes. Montrons que Sg fi Ô est l’algèbre engendrée par s1 , s2 , ... , sn . o soit s é s g fX 3 ; s est somme de produits si s[ , où on. peut supPoser le& si e s homogènes, avec deg si deg s.; donc s = 8Y est somme de produits 8i si>’ = Si 81Ô , avec de8 Si* « S03B4o homogènes, et deg Si’ deg S . Si ies s’i dans sont des scalaires, s est bien l’algèbre engendrée par les si . Sinon, ££ s03B4 f7 1 ’ et on recommence. Par récurrence sur deg s , le théorème est o démontré. COROLIAIRE. - Chaque S03B4 est un S03B4 -module de type fini. 2014 - 0 20142014201420142014201420142014 Q~ Soit T l’algèbre symétrique de U ~ ,, - 1 8* la représentation (dans T ) pro- = 03BD ~ 1 + longée de 03BD03B4* (dans U03B4*) . Soit 1 ~ 03BD03B4* dans S 0 T, algèbre symétrique (bigraduée) de la somme directe V + U ; n’est autre que la dérivation de S ~ T prolongeant l’endomorphisme 03BE(h) de V + U à* qui est défini par 03BD(h) dans V , -p 6 (h) dans U03B4* . Considérons un système fini de générateurs de (S @ T) . Comme les projecteurs de la bigraduation sont per- mutables aux ’2(h) , on peut supposer ces générateurs doublement homogènes. Soient J? ~ c~ ~o~ ~ deuxième degré ; w~ , w~ ... ~ w~ étant ’"° sik sik une base de U , on a ji = ~ wk , avec ~ S . Alors, ~ S03B4 , et on voit fac0i lement que le lSCr=.lo -module engendré par. les s-~~ est identi. que a~ SC’~ . 11 Séminaire BOURBAKI (Décembre 1951) LES TRAVAUX DE E. HECKE, I, par Roger GODEMENT. On se propose, dans cet exposé et les nombreux autres qui le suivront, de donner une idée de l’oeuvre de HECKE, relative à la théorie des nombres algébriques, à celle des fonctions modulaires, et aux rapports de ces deux théories entre elles. Cela n’implique pas que tous les résultats dont on parlera sont dûs à HECKE (contre- exemple : le théorème des unités dans les corps algébriques). Dans ce premier exposé on va donner des résultats préliminaires destinés à con- duire à la théorie des séries L (équation fonctionnelle). 1. Sommes de Gauss. 1. Classes modulo m . - Soient K un corps de nombres algébriques, A l’anneau dos entiers de K ~ 3 le groupe multiplicatif des idéaux (fractionnaires) non nuls de K ~ (p le sous-groupe des idéaux principaux de K. On sait que G - ~ /CJ~ est un groupe fini. dont l’ordre se désigne par h. Pour on écrit 03B1 ~b si oc et b appartiennent à la même classe modulo (P ; cela veut dire qu’il existe x ~ y 6 A non nuls tels que x. b = y. ex . Pour éviter des oonfusions par la suite, les classes modulo (P seront appelés andes classes. Il est facile de voir que toute grande classe contient des idéaux entiers et même des idéaux entiers premiers à ~ ~ -~t entier donné à l’avance. Soit TU un idéal entier donné une fois pour toutes. Désignons par !J(~M) le sous-groupe des idéaux de la forme avec 03B1,b entiers premiers à m, et par P( m) le sous-groupe des idéaux principaux de la forme x/y où x , y ~ A sont s 1 modulo m ; il est clair que D(m) est un sous-groupe de la relation d’équivalenc6 correspondante dans ~ (m) sera notée (~) ; elle signifie encore qu’on a une relation x. b = y. oc avec x ~ y entiers, premiers à m , et x ~ y (m) ; on parlera de classes modulo m . Le groupe (w)/p(~) est aussi un groupe fini, d’ordre h(m) . Soit m’ un diviseur de tout idéal premier à ln l’est à ~t~t‘ ~ et x 3r 1 (m) implique x ~ 1(~) ~ donc il existe un homomorphisme canonique, naturel et permis de dans il n’est pas difficile de voir que : 1 ° cet homomorphisme applique G( m) sur G (~t’ ) ; 2~° si n1’ et sont deux diviseurs de 1tt , et si ~’t’" est leur plus grand 13 commun diviseur ~ le noyau de G ( m ) -.-~ G ( ~’" ) est ( en tant que sous-groupe) engendré par les noyaux de G(m) --~ G(m’) et G(m,) --~ G~~’) . Si H est un sous-groupe quelconque de G(m) l’ensemble des diviseurs ~1~’ de ~ tels que H contienne le noyau de G( tU) ~ admet donc un plus grand élément, savoir le plus grand commun diviseur des en question ; on l’appelle le conducteur de H ~ notation ,~(H) . 2.Caractères modulo m . - Si X est un caractère. ds G( m) on note X ( 03B1) sa valeur. sur la classe de 03B1 modulo m, en convenant de prendre X (03B1) = 0 lorsque 4~, est entier, non premier à (l’expression 0/0 présentant des pro- priétés pathologiques, on ne peut pas définir de façon naturelle ~ ( Q~) pour 0. non entier non dans ~ (~)). On obtient ainsi les caractères modulo On a évidemment les propriétés suivantes où il s’agit d’idéaux premiers à rtt; Si H est le sous-groupe de G( m) sur lequel Y prend la valeur 1, on note ,~( ~ ) le conducteur de H ; on peut alors regarder À comme un caractère de G(,~(X;)) vu que ce groupe est canoniquement isomorphe à On dit que A est un caractère propre modulo 111 si ,~( ~ ~ ~ ; cela veut dire que pour tout diviseur non trivial ’m’ de n1 il existe 03B1 entier vérifiant ~ ~ Si À est un caractère modulo on pose ~ ~x) ~ ~ ( ~x) ) pour x entier ; on a évidemment les propriétés suivantes : 3. Sommes de Gauss . - Soient 03C3i (1 ~ i ~ n) les divers isomorphismes de K sur Q ; on note T (x ) ~ ~ ~i ~x) la trace d’un x e.K . Rappelons que les K tels que T(xy) soient entier pour tout y entier forment l’inverse d’un idéal entier 03B4 de K (différente de K) ; plus généralement, pour tout idéal 03B1 , l’idéal est l’ensemble des x tels que T(xy) soit entier pour tout Si (Yi) est une base de 03B1, 1/03B1.03B4 admet une base (Xi) telle que T(xi y.) = (base supplémentaire, ou duale, par rapport à la fonce bili- néaire Soit ~ un caractère modulo Si x est entier premier à -m. ~ et si x E 1/a,~rl,~ on a xy e 1/~t dès que = il s’ensuit immédia- tement que pour y l’expression exp(T(xy)) (où l’on pose en général e exp ( z ) = ne dépend que de la clas se de y modulo (pourvu que x E 1/~c . ~. ~ ) ; comme il en est de même de ~ (y) = ~ ( (y) ) on peut définir sans ambiguité le nombre on va montrer que lorsque ~ est un caractère propre modulo cette somme de Gauss est donnée par où C ( x) est indépendant de x et de 03B1 et où ~ est le caractère imaginaire conjugué Noter que (*) montre que G(x ~ at) ne dépend pas de et (modu- lo la condition x E 1/« .~. ~ ) DEMONSTRATION. a. Soit z ecc tel que z. soit entier premier à 1~1 (ça existe car la grande classe de contient des idéaux entiers premiers à ~ft1) ; z est premier à 1t1 de sorte que si y varie modulo il en est de même de yz ; donc on trouve immédiatement ’ ceci supposant x E 1/~rl, ~ , b. Pour calculer (* * *) posons (x) = avec b entier, et supposons d’abord b premier à yp . Choisissons une fois pour toutes des entiers u ~ v tels que l’on ait des relations de la forme (u) = ~1. ~ . , (v) == ~. h , avec entiers premiers à TA (u ,. v existent : choisir y dans la grande classe de ~~i . ~ . )~1 etc. ) et posons w = ux ; on a (w ) = b , p~ de sorte que w est premier à donc il existe w’ entier tel que v(m) ; w’ étant aussi premier à W on dans ( * *) peut faire le changement de variable y -~ w’y d’où / ’ mais comme divise v et w on a ww’ == v(g) ; cette relation étant aussi vraie modulo -00 est vraie modulo donc on a en sorte que par suite mais vu ’ * donne d(où finalement Revenant à ( ~) on voit que (") est démontré dans le cas où xz = b /‘~t1.~’ avec ~ premier à ce qui veut dire, comme on le voit aisément, (x) = avec b (et premier à c. Reste le cas où, dans (* * ~)~ on a (x) _ ~ /~. ~ avec b non premier à n~ ; on va montrer qu’alors G(x) = 0 . Soit en le plus grand commun diviseur de b et de et posons b = ~b~ . r ~ 1~1= ’m’. ~‘ ; W est un diviseur non trivial de puisque ï est propre ~ il existe C entier pre- mier à vérifiant ç rv (1 ) (m’) et § ( C ) ~ 1 ; on a évidemment C = (u) avec CI: * *)* u premier à ’~Y1 et u .: Comme (u ~ = 1 on peut dans faire le changement de variable y --~ uy ~ ce qui donne visiblement la relation G (x ) _ ~ (u) G(xu) ; mais pour y entier on a xuy = x(u - l)y + xy 1 et ~1 x(u - (car de u - 1 = 1 entier, résulte de sorte que exp(T(xuy)) = exp(T(xy) ) ; donc G(xu) = G(x) , de sorte que G(x) = 1 (u) G(x) , ce qui, avec S~(u) ~ 1 , prouve que G(x) = 0 . Si l’on revient à (* *) on voit que G(x ; ~t, ) ~ 0 lorsque n’est pas premier à de sorte que (*) est aussi démontré dans ce cas. d. Il faudrait encore examiner le cas où x = 0 (implicitement exclu dans ce qui précède). REMARQUE. - Le calcul explicite de C ( ) peut se faire au moins si K = Q mais même dans ce cas. n’est pas trivial. 2. Fonctions thêta. 4. Formule sommatoire de Poisson. - Dans Rn soit f(x) une fonction continue aommable par rapport à la mesure de Lebesgue dx ; supposons que la série converge absolument et uniformément sur tout compact. C’est alors une fonction périodique, dont les coefficients de Fourier sont les nombres ~ ~ i,e , a(m) = f(m) , où f est la transformée de Fourier de f . Si donc on sup- pose § )f(m) j + ~ , il vient la formule de Poisson Bien entendu on pose d’une façon générale (x ~ y) = ~ x. y.. 5 Fonction 0 d’une forme quadratique définie positive. ~ Soit Q(x) = x) = T~* a.. x. x. (a.. = a.. une forme quadratique strictement positive dans Rn ; on pose Comme Q est définie’ on a une relation G~ (x ) ~ k. (x ~ .x) ~ k > 0 , d’où la convergence absolue et uniforme sur tout compact. e" ~~ ~ Appliquons Poisson à f(x) = . on a 1 H "? x : d’où par le changement de variable x 2014~