Scaled Alexander-Spanier Cohomology and Lqp Cohomology for Metric Spaces THÈSE NO 6330 (2014) PRÉSENTÉE LE 29 SEPTEMBRE 2014 À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE GROUPE TROYANOV PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES PAR Luc GENTON acceptée sur proposition du jury: Prof. K. Hess Bellwald, présidente du jury Prof. M. Troyanov, directeur de thèse Prof. M. Bourdon, rapporteur Prof. N. Monod, rapporteur Prof. N. Smale, rapporteur Suisse 2014 Thisthesisisdedicatedtothenight. Remerciements Ilvadesoiqu’unethèsenes’écritpasdanslevideetsansfriction,contrairementàbeaucoup d’exercicesdephysique.J’aibénéficiédusoutiendemonentourageetdemescollèguestout aulongdemontravail,etj’ensuisgrandementreconnaissant. Acetitre,j’aimeraisremerciermondirecteurdethèse,leprofesseurMarcTroyanov,poursa patienceetsasagesse. JeremercieleprofesseurMountfordpourlefinancementsupplémentairepourmondernier semestreàl’EPFL,ainsiquelesmembresdemonjurydethèse,lesprofesseursKathrynHess, MarcBourdon,NicolasMonod,NathanSmale,pourl’attentionetl’intérêtqu’ilsontconsacré àmontravail. MerciaussiàAnnaDietler,MariaCardosoetPierrettePaulou-Vaucherpour leuraidelogistiquepermanente. Jeremercieaussimescollègues,enparticulierZahrapoursapugnacitéexemplaire,Adrien poursabonnehumeuretsonécoute,Maximequim’abeaucoupaidépourlasubdivision simplicialedanslesvariétésàcourburenégativeetThomasetJulian,grâceàquijen’aipaseu l’impressiond’êtreleseulàpratiquerleshorairesinversés. Je remercie encore ma famille, qui n’a jamais douté de moi et dont la solidité m’a aidé à traverserdespériodesdifficiles. Etfinalement,jeremercieLéaquim’aapportéénormémentdesoutienetd’écoutesurtoute laduréedemondoctoratetsansquijen’auraispeut-êtrepasréussiàallerjusqu’aubout. Lausanne,27août2014 L.G. v Abstract WiththeaimtogeneralizethetheoryofLp andLπdeRhamcohomologytometricmeasure spaces,wedefinethescaledAlexander-SpaniercohomologyandLp andLπAlexander-Spanier cohomology.WefollowtheworkofPansu[33],Smale[37]andHausmann[24]. Alexander-Spaniercohomologyatscalet>0ofametricspace(X,ρ)isdefinedasthesimplicial cohomologyofthecomplexgivenbyallsimplices(x ,...x )∈Xk+1 withdiam{x ,...x }<t. 0 k 0 k Scaled Lqp Alexander-Spanier cohomology is the Lqp simplicial cohomology of the same complex.Thelimitast→∞istheasymptoticAlexander-SpaniercohomologyofX. TheasymptoticLp Alexander-Spaniercohomologyisaquasi-isometryinvariantforRieman- nianmanifoldswithboundedgeometry.WeshowthattheasymptoticLqp Alexander-Spanier cohomologyisaquasi-isometryinvariantforgraphswithboundeddegreeandthatL∞Lqp Alexander-Spaniercohomologyisaquasi-isometryinvariantforRiemannianmanifoldswith boundedgeometry. ForRiemannianmanifoldswithboundedgeometry,thereexistsanumbert >0suchthatfor 0 allscalet ≤t ,theAlexander-Spaniercohomologyatscalet isisomorphictothedeRham 0 cohomology. ThesameresultistruefortheLp Alexander-SpaniercohomologyandLp de Rhamcohomology. WeshowthatforRiemannianmanifoldswithboundedgeometryandnon-positivesectional curvature,theLp Alexander-Spaniercohomologyisindependantofscale. Inthissituation, the asymptotic cohomology coincide with the cohomology at any scale. This results in a proofofquasi-isometryinvarianceforLp deRhamcohomologyonRiemannianmanifoldsof non-positivesectionnalcurvature. π Keywords:Alexander-Spaniercohomology,L cohomology,Vietoris-Ripscomplex,quasi- isometryinvariance,metricspace,boundedgeometry,double-complex vii Résumé Nousdéfinissonslacohomologied’Alexander-Spanierd’échellet ainsiquelacohomologie Lp etLπ d’Alexander-Spanierd’échelle t,dansl’objectifd’étendrecertainespropriétésde lacohomologieLp etLπ dedeRhamaucadredesespacesmétriquesmesurés.Nousnous basonsenparticuliersurlestravauxdePansu[33],Hausmann[24]etSmale[37]. Lacohomologied’Alexander-Spanieràl’échellet>0d’unespacemétriqueestlacohomologie simplicialeducomplexedéfiniparl’ensembledessimplexesdelaforme(x ,...x )∈Xk+1 0 k telquediam{x ,...x }<t.LacohomologieLqp d’Alexander-Spanierd’unespacemétrique 0 k mesuré est la cohomologie Lqp du même complexe. En prenant la limite à l’inifini sur le paramètret,onobtientlacohomologieasymptotiqued’Alexander-Spanier. LacohomologieLp d’Alexander-Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométrie pourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornée.Nousmontronsquelaco- homologieLqp d’Alexander-Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométriepour lesgraphesdedegréborné.NousmontronsaussiquelacohomologieL∞Lqp d’Alexander- Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométriepourlesvariétésriemanniennesà géométriebornées. Pourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornée,ilexisteunnombre t >0 0 telquepourtoutt ≤t ,lacohomologied’Alexander-Spanierd’échellet estisomorpheàla 0 cohomologiededeRham.LemêmerésultatestvérifiépourlescohomologiesLp d’Alexander- SpanieretdedeRham. Nousmontronsquepourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornéedecou- buresectionnellenon-positive,lacohomologieLp d’Alexander-Spanierestindépendantede l’échellet >0choisie.Danscettesituation,lacohomologieasymptotiquecoïncideavecla cohomologied’Alexander-Spanieràn’importequelleéchelle,cequiprouvequelacohomolo- giededeRhamLp estuninvariantdequasi-isométriepourlesvariétésriemannniennesde courburesectionnellenon-positive. Motsclefs:cohomologieLp,cohomologieLπ,Alexander-Spanier,Vietoris-Rips,espacemé- trique,quasi-isométrie,géométriebornée,double-complexe ix