RUDINEI CELSO DE SOUZA JANTSCH (cid:19) MODELOS COSMOLOGICOS PARA O UNIVERSO ATUAL E PRIMORDIAL Tese apresentada ao Curso de P´os-Gradua¸ca˜o em F´ısica do Setor de Ciˆencias Exatas da Uni- versidade Federal do Parana´, como requisito parcial para a obten¸ca˜o do grau de Doutor em F´ısica Orientador: Prof. Dr. Gilberto Medeiros Kremer CURITIBA 2012 Resumo Neste trabalho, investigamos modelos cosmol´ogicos gerais em que os campos de energia e mat´eria escuras s˜ao analisados em um ˆambito mais fundamental. A Teoria da Relatividade Geral e as teorias de gravita¸c˜ao generalizadas s˜ao consideradas. Estudamos intera¸co˜es no setor escuro e entre o setor escuro e o campo gravitacional, analisando a sua viabilidade. Nos primeiros trˆes modelos estudados, as poss´ıveis for- masparaasfun¸co˜esindefinidasnasa¸co˜esgeraiss˜aodeterminadasapartirdat´ecnica da simetria de Noether. Usando as propriedades de simetria, resolvemos as equa¸co˜es de campo e os cen´arios resultantes s˜ao analisados pelo confronto das curvas te´oricas com os dados da astronomia observacional. No quarto modelo, estudamos as ge- neraliza¸co˜es geom´etricas da Relatividade Geral, cuja aplica¸ca˜o se d´a `a investiga¸ca˜o dos campos de mat´eria e energia escuras como sendo efeitos geom´etricos efetivos. Tentativas de solu¸c˜ao das equa¸co˜es de campo generalizadas s˜ao feitas para corre¸co˜es de primeira ordem com rela¸ca˜o `a gravita¸c˜ao einsteiniana. A u´ltima investigac¸˜ao deste trabalho versa sobre perturba¸co˜es cosmol´ogicas no Universo primordial. O modelo inflacion´ario considerado´e do tipo lei de potˆencia, cujo inflaton´e um campo escalar n˜ao canˆonico. Seus respectivos espectros de potˆencia s˜ao calculados para a verificac¸˜ao de sua viabilidade. Abstract In this work, we investigate general cosmological models in which the dark matter and energy fields are analyzed in a more fundamental scope. The General Theory of Relativity and generalized gravitational theories are considered. We study the inte- ractions in the dark sector and between it and the gravitational field, analyzing their viability. In the first three models, the possible forms for the undefined functions in the general actions are determined from the Noether symmetry technique. Using the symmetry properties, we solve the field equations and the resulting scenarios are analyzed through the comparison of the theoretical curves with the data from the observational astronomy. In the fourth model, we study the geometrical generaliza- tions of the General Relativity, whose application is to investigate the dark matter and energy fields as being effective geometrical effects. Attempts for solutions of the generalized field equations are done to first order corrections with respect to the Einsteinian gravitation. The last investigation of this work runs upon cosmological perturbations in the primordial Universe. The considered inflationary model is the power-law-type one, whose inflaton is a non-canonical scalar field. Its respective power spectrums are calculated for the verification of its viability. Agradecimentos A todos que, de uma forma ou de outra, contribu´ıram para a realiza¸ca˜o deste trabalho. O cientista n˜ao estuda a natureza por sua utilidade; ele a estuda por prazer, que adv´em do fato de a natureza ser bela. Se ela n˜ao fosse bela, n˜ao valeria a pena conhecˆe-la, se n˜ao valesse a pena conhecˆe-la, n˜ao valeria a pena viver. ´ HENRY POINCARE Sum(cid:19)ario 1 Introdu(cid:24)c~ao ix 2 Relatividade Geral 2 2.1 Princ´ıpio da equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Dinˆamica da part´ıcula em Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Tensor energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Equa¸co˜es de Einstein da gravita¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Cosmologia 12 3.1 Observa¸c˜oes astronˆomicas e fundamentos da Cosmologia . . . . . . . 13 3.2 M´etrica de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Determina¸ca˜o do tensor de Ricci e do escalar de curvatura . . . . . . 16 3.4 Forma do tensor energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Equa¸co˜es do Modelo Padr˜ao da Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . 19 3.6 Parˆametros observacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6.1 Distˆancia de luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7 Sucessos e problemas do Modelo Padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.8 Modelo do Universo inflacion´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.8.1 Acoplamento ao campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . 30 3.9 Expans˜ao acelerada e energia escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.9.1 Mat´eria escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 vi 4 Simetria de Noether 36 4.1 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Condi¸ca˜o de existˆencia para a simetria de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Determina¸ca˜o da lagrangiana pontual e condi¸ca˜o de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Quintess^encia n~ao minimamente acoplada versus ΛCDM 45 5.1 Equa¸co˜es de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Fun¸co˜es de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 An´alise do sistema dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6 Campos escalares e espinoriais minimamente acoplados 55 6.1 Espinores em espa¸co-tempos curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 A¸ca˜o geral e equa¸co˜es de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Sele¸ca˜o dos potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4 F´ermions de Dirac como mat´eria escura . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Integra¸c˜ao do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.6 An´alise da solu¸ca˜o geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7 Campos escalares interagentes n~ao minimamente acoplados 76 7.1 Campos escalares canˆonicos interagentes . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1.1 A¸ca˜o geral e equa¸co˜es de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1.2 Potenciais e acoplamentos de Noether . . . . . . . . . . . . . . 80 7.1.3 Solu¸co˜es das equa¸co˜es de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.2 Campos escalares canˆonicos e n˜ao canˆonicos interagentes . . . . . . . 88 7.2.1 A¸ca˜o geral e simetria de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.2 Equa¸co˜es de campo e trocas de energia . . . . . . . . . . . . . 91 7.2.3 Solu¸co˜es cosmol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 vii 8 Generaliza(cid:24)c~oes geom(cid:19)etricas da Relatividade Geral 100 8.1 A¸ca˜o geral e equa¸co˜es de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.1 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2 Corre¸ca˜o de primeira ordem em f (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2 8.3 Corre¸co˜es de primeira ordem em f (R) e f (R) . . . . . . . . . . . . . 116 1 2 9 Perturba(cid:24)co~es cosmol(cid:19)ogicas para in(cid:13)a(cid:24)c~ao taqui^onica do tipo lei de pot^encia 121 9.1 Equa¸co˜es de campo perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.2 Solu¸ca˜o do sistema n˜ao perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Solu¸ca˜o do sistema perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.4 Determina¸ca˜o do espectro das flutua¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.4.1 Quantizac¸˜ao das perturba¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.4.2 C´alculo do espectro de potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.4.3 Espectro de potˆencia para q n˜ao inteiro . . . . . . . . . . . . . 138 10 Conclus~ao 141 10.1 Quintessˆencia n˜ao minimamente acoplada versus ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Campos escalares e espinoriais minimamente acoplados . . . . . . . . 142 10.3 Campos escalares interagentes n˜ao minimamente acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.4 Generaliza¸co˜es geom´etricas da Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.5 Perturba¸co˜es cosmol´ogicas para infla¸ca˜o taquiˆonica do tipo lei de potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Bibliogra(cid:12)a 146 viii Cap(cid:19)(cid:16)tulo 1 Introdu(cid:24)c~ao Omodelocosmol´ogicoconhecidopopularmentecomoBig Bang,base- ado na Teoria da Relatividade Geral de Einstein, indubitavelmente teve ˆexito nas explica¸co˜es de muitas observa¸c˜oes. No entanto, existem alguns fatos observacio- nais que esse modelo, em sua forma original – chamado de Modelo Padr˜ao –, n˜ao pode explicar. Naturalmente, isso exige uma reformula¸c˜ao das premissas envolvidas na constru¸ca˜o de tal modelo, ou talvez at´e mesmo corre¸co˜es na pr´opria teoria da Relatividade Geral. A cosmologia inflacion´aria [1, 2, 3] foi proposta com o intuito de se resolver alguns dos primeiros problemas enfrentados pelo Modelo Padra˜o, e deu conta de resolver, com algum sucesso, os problemas da planaridade do Universo e da homogeneidade da radia¸c˜ao c´osmica de fundo. Nessa classe de modelo, um campo escalar ´e o respons´avel pela fugaz expans˜ao acelerada do Universo primordial, que posteriormente ingressa num per´ıodo dominado pelo campo de mat´eria, passando enta˜o para uma fase desacelerada. As recentes observa¸c˜oes astronˆomicas, baseadas em dados das super- novas do tipo Ia, mostram que ap´os a fase desacelerada do Universo, segue uma nova fase acelerada [4, 5], a qual o Modelo Padra˜o tamb´em malogrou em expli- car. Os dados observacionais indicam ainda que o valor do parˆametro de densi- dade est´a muito pr´oximo da unidade. Entretanto, verifica-se que os constituintes ix conhecidos do Universo n˜ao d˜ao conta desse valor, o que, a princ´ıpio, leva-nos a postular a existˆencia de um constituinte ainda desconhecido para a Cosmologia. Inevitavelmente, tal discrepˆancia com as observa¸co˜es torna-se um grande enigma. Desse impasse, concebeu-se a t˜ao famosa e enigm´atica energia escura, a qual deve compor quase 3/4 da densidade de energia do Universo para estar de acordo com as observa¸co˜es. Possivelmente, a energia escura ´e o constituinte respons´avel pela expans˜ao acelerada do Universo, o que conecta o problema da acelera¸c˜ao c´osmica observada hoje com o problema do parˆametro de densidade. Reviver o modelo da constante cosmol´ogica foi a primeira possibili- dade de explica¸ca˜o para a natureza da energia escura. Infelizmente, tal ideia logo apresentou inconsistˆencias [6] e novos modelos apareceram na literatura, mas at´e o momento nenhum deles provou ser o modelo definitivo [7]. Dentre esses mode- los, o mais conhecido ´e o modelo da quintessˆencia, que consiste num campo escalar m´ınima ou n˜ao minimamente acoplado `a gravidade [8, 9, 10]. Tal campo escalar pode apresentar v´arias formas aceit´aveis para os potenciais, propostos fenomenolo- gicamente ou inspirados por teorias fundamentais [11, 12, 13]. Modelos com campos de f´ermions [14, 15, 16], t´aquions [17, 18](k-essˆencia), g´as de Chaplygin [19, 20] e g´as de van der Waals [21, 22] s˜ao tamb´em alternativas `a constante cosmol´ogica. Es- sencialmente, todos esses modelos buscam descrever um fluido ex´otico com press˜ao negativa que comp˜oe a maior parte do Universo. As teorias f(R) [23, 24, 25, 26], que consistem na generaliza¸c˜ao da a¸ca˜o de Einstein-Hilbert, prop˜oem uma explica¸c˜ao de origem geom´etrica para a ex- pans˜ao acelerada. Dentre essas teorias generalizadas, existem aquelas que levam em conta uma poss´ıvel propriedade de tor¸c˜ao do espa¸co-tempo [27], que tamb´em pode contribuir para a expans˜ao acelerada. Um outro problema relacionado `a gravita¸ca˜o, consideravelmente an- tigo, que surgiu pelo estudo da curva de rota¸ca˜o das gal´axias, tem tamb´em um papel importante para a Cosmologia. Esse ´e o problema da mat´eria faltante [28], a qual ´e necess´aria `as gal´axias e aglomerados de gal´axias para explicar corretamente x