96 DesemJH~flu en .estl mf.H::~ 6n cf.mlpt~toci mH1 l y estrutegitis us~dfi·S pur Ql~rr.~nu~ 'ffiE:·flcafiUS u0 fif.H• flffl ·~l - ,D< eys Robert E. Reys 1969 -~-------~-- ---·-----------~~-------~---·--·-~---··--------~-~-~~ Desempefio en est i maci 6n computaci om:il y estrategi as usadas por a 1u mnos me xi cnnos de 5o de pri mnri tl y 2o de secumlori o A lfi ni o Flores Pefitlfi e 1 Centro de In ve::;ti9acion en t·-·Jatematica::; Gu•:rn•::lj uato, Gto. t·-·Jexico Barbara J. Reys Robert E. Reys Uni··lersit'J of t·1i~;~;ouri Columbia, f·'1o. U3A Lo-~· •:J!Jtore::• de::;e:3n •:J,Jt"•'ldec:er el •'lPO'JO bri nd;:Jdo por J;:r:; ::d,Juiente::; i n=:•titucione::•: Uni'·ier=:•it'J of t·--Jh::•ouri Pe::·:-'lr:::h Council.. Fulbri9ht Fello\·l:::hip Pn:uJr3rn_. 'J el Centt·o de lnve:::ti9·1e:i6n en f···1atem•§tica::.. Tambien ;jqr.::dec:emo:;; el apOIJO brindado por r·-·Jartha Fabiola Carrillo de la Secretaria de Educacibn Cultura IJ Pecre•Ki6n del E::•t..'l,jo de Guanj uatq P•:lra hac:er po::d ble la recolecc:i6n de lo~· dato::•. Lo::; ::d,Juientes •:tlurnno::; de la Facultad de r--t:~temMic•B dieron 31JUda im,.•:tlu•:tble para recolectar 'J re··.:i~;ar dato::•: ~~;:trn6n Cedillo_. Livier Guzm•~n_. .J o::a§ Lui~· L:t!Juna_. .J ovita Lerma_. Ce::•ar t··Jirabal_. Fn:rnc:hco t·-·Jirabal, Ruben Perez L::,ra, Fern•:rndo Ponce. E~·pecL:ll reconodrm '.r,t_o a Alici:l de la r·--Ja;::on-a del Centro de lnve:3tiqacibn en t·--1at.em8t.ic•:r::; quien arJudb ·de rnuch~s rnaneras a lo lat·go de toda la i n·._..estigacion. I ntro,jucci 6n 1 Antece,jente:::: Prop6:::i to 4 5 Pro,~:e,ji rni et'1 to:3 5 .c_ .u J'-l jt •-. u.-.:.. . 5 I nst.rurnent.os ·6 E:>=:atr1en ,je ·e:~:t i rnaci 6n · 6 Protocol o::; de entre..,,.i :::teJ 7 10 E;.;;:Jrnen ,je e:::t i rnaci 6n 10 En t. re ·..~ · i ::: t ;:J 14 r·-lt1 ..:-. .l-j ,-•'i• ., -j 1-_..1 · 1-_1 ,-)l-j ·,=-.· ~'ji l-j. •I - Io ·-·r -·':-': .]-lj. -·=.· 14 IJ::e rje estrateqi as 16 ·.; Cornpren::;i6n conceptu;:Jl rje porciento, decirnele::; y fn:1cciones· '19 23 Pefl e:=<i on en· sobre las est i rn;':Jci one:3 24 . Concl u:::i ones . . t . L1r n1 .ac1 one::: 24 t···Jodel o t.e6ri co 26 I r·np l i caci one::: 26 '•' I n'·/e:::t i rji:JCi 6n f1di cion a1 · neces;:Jri a 27 Pef en?.nci as 29 T PAGINA :~ElLA 2. [1istrit,ucit5n rje ft-ecuencias ,je 2o secuntjiJria 10 11 4. F'or-centa e rje respueste::: corTecte::; en _i cinco de la::; prewmtas trH3s ,jiffciles 12 5. Porcentaje de re::;puestes cotTectes en cinco de las prequntfiS rna::; facile::; 1' J L 6. Cinco ,je l iJ preguntEr3 rna::; dif fcile:::; ' . con los intervalos us.:njo:::; pEJra e:::;tirnaciones aceptatde:3 13 con 1o s i nteP/a 1o s us ados para est i rnaci ones ;:Jcept;3trl e::: 13 ::J. F'orcenta_ies rje las r-espuesta:::; de los alurnnos ale::; prewmtes de actitudes relacionadas con estirnaci6n 14 :;t_ Resurnen ,je lo::: rjatos rje la ent.re\li:::ta panl la prerJUnta 1 16 1C :t. E_iernplos de uso de punto::: de refer-encit~ corno e:::trater~itl 1Ci 11. Re::;ur·net"' de 1o::; dato::; pani 1a prer~unta #3 2r) 1 ) Re::::tnnen de 1o :::; rj;jf_o::; para 1a prer]Unt;j 4 21 # I ntroducci 6n El ot,_ietivo ,je la e:::tirnaci6n cornputacional e::: ot,t_ener de rnanera rnental !d n3pi da un r-esuJt;:pjo aprmd rn;:1do cuando see rnas ap ro pi ado que r-e;:Jl i zar un c;~ilculo · e;~acto. La ··irnportancia de la estirr"li:Jci6n cornputaciona1 IH:J sido reconoci da er1 '·/ar-ios pa f:::es .. inc 1U ldendo Est;:Jijo::: UniJjos .. I ngl at erra .. Austra 1i a !:1 .Jap6n. HB si do enf at i zadtl por Ot-gani z;3ci ones prof esi on ale::: i rnportante::: en . . . recorner·jij;:Jcione::: curriculcn-es (Nau,:,nal Council of TeacJ1ers of t·-JaU-Jerru:Jtic:::, .19;::;9 .: Net i onal Counci 1 of Super\,.i:::ots of t:··h:iU-JetriBt i cs, 19 Ci9_; Cot~1f erence . . Eio;srd of H1e t·-Jather:natical Science:::, 19 fi2). ::;in etrJbaq;Jo .. la estirnaci6n cor-nputaci onB 1 no se. enser=ia en 1a s escuel a rr1e>d can;J:::_; ni t·Ja si ,jo un ;§rea de in'...'e:::ti!}:lC:i6n e::-~plon:pja en este pafs. Es ntJestro de:::eo.que esta investi!~fJci6n ·.. . con fllun'Jnos·rne~·~icanos contribuqa al coho,::irniento ·internacional acerca,je ia - . . ~ e:::tirnaci6n. Aderne:::, cornprender lc's proce:::o::: de estirnaci6n cornputacioniJl ,je . . 1o ::: e:::tudi onte:3. rne~·(i cano::: puede ·eyudet- ell de:::arro 1i o ,je rneted ale::; ,je en:::et~i;:Jnza apnwiados . y la inclusi6n de la e:3tirnaci6n en cur:::os. de ;':Jctu•:Jliz;:Jci6.n pBre.profe:3ores de rnater-natica:3, asf corno a ;:JIJU,jar a influir en prcn;ratr1as nfJci on ales y est at a1 e ::; en t'·le;-~i co. ·. ln·. .. ·esti!~aciones J:'re'·iii3S. H;:J!d que rea1izar in•.,.•esti!~;:Jciones para construir une teor-fa ecetT.o de c6rno reelizen los olurnnos le e:3tirnaci6n cornputecionol IJ cu;§le::: :::on le..s tecnicas e>;itosas. Es diffcil ,jisefiar una teorf;:J genere1 que ,je:::criba cornpletarnente 1o::: _cornple_ios proce::;os rnentales que. utiliz;:m lo::; e1 u rnno::: a1 hacet- est.i rnoci 6n computacional. T a1 vez sea rn;§s fnJct f f ero ::;tqet-it- uno serie ,je teodas pan::ioles que de:::criban 'd prediq;:m razonat11 ernente un con unto 1i rni te!jo de obser-vaci ones. _i I t"i'·/est i '}:JCi ones anteri ore::: en E~:t_;:pjos Uni ,jo::: proporci onat-c'n el pri_nci pi o . . ,je una teorfa acerca. ,je c6rno realizan e:::tirnacionet; los buenos e:::t.in-Ji31jore::: · --- ----··--·---·-· {Pt: 1dS .. Eie·:; t ~~en, P!dt":d t !d 1.-'·/!dflt t. 19ci2). ~;e i ,jent if i caron caracterf s t i ccr:; ,je 1o ::; t11.1enos est i tr!;:Jdores, !d un;:J seri e ,je procesos cogni t i vo::; ~~enenll es uti 1i zados ' por ellos .. corno los de reforrnulaci6n, tr;:pjucci6n, !d cornpenseci6n. Ternbien se ide n ti f i ca r-o n !d c 1a s if i caron es txa te~~i a::; e:::;pec. f ficas, po ccr3 de 1a s cu a 1 e s se en·:;efi;:Jn en los progn:1rnas de rnaternaticas:. !d que en su rna'JCW parte han ::;;j,jo e::;tn:Jtegias !:1 los proce::;o::; ,je e::;tirnaci6n usa,jos son ::;irnilare::; en tJJ,jos los ~~rc11jo:3. Po::;teriorrnent.e, un estwjio similar reelizedo en .Jap6n (Reid::;, Relj:3, Nohd;:J, lsf·Jid;:J, Voshik:av·ta y Sf·Jimizu, 19ti9) .. arroj6 re::;ulf.enjo:::; sirnilares. Elernento::: te6rico::. . Los siguientes son los procesos cognitivos generales u::;;]tjos en le esUrneci6n c.ornputecionel (Re!JS et al .. 19Ci2): La reforrnulaci6n consiste en un t:arntdo de los d;:Jt.os nurnerico::; de_iando i nt;:Jcta Ja e::;tructura ,je 1 prot!] ern a. Los procedi tni entos rnas usados ::;on: opereci 6n fronte 1, enf ocar~:e sottre 1o s d f gito::; pri nci pa 1e ::: y deterrni nar 1u e,~o el t,I;:Jlor po:::icion;:~J; redondeer el rn6::; pr6xirno rn(ilt.iplo de diez, cinco, cien: ::;u::;tituir rn:ir·neros, tal corno u~:ar un n(n-ner-o cotnp;::tn:Jttle, cercsno sl oriEJirP::il p;:Jrs operer facilrnent.e con ot.ros dato:::.: u~;m- une fonne equivalente del EJernplo:.::: ref orrnul ado::: :n 419 92 765 9 90 045 ,... :::1 974 0 + 98 102 + 9 44b 45, la ~;uma e:3 450 000 0.-, 1L. -, .I, 14.· ·. .1,1 4• .c-::,. ..C._"! .t, ti 000 f4BO 000 * * 347 6 / 43 350 6 / 42 .. -, L La txoducci6n c:on~dste en cm·nbior- lo e::.txucttu-o rnotern6tico del Jr-."-1, 1\ -,U-, JU-, 1I ,e-., Ia.I~. •,I !, -J, .• p,-, ,U-,al. - 1,-:!, ._;I ,t-!, I&.l-..l...! r-"'• 1I ,U-,., pr-.I ~ o-,1-_,1 1I"_". 't·,!- ,:,:-., .0-, I1. - 1I ,U-, ,:-:., IY I_ !,..J., 1I lU""'o I1. -tr!, :,:-., 1I.I•, WI I ...I.I., :t::!.. I:&. -I~ L,-, ,U-, :,r:o., .t.!.. .I..I., IU I I\.•I, rU"o 1I. -rU-l ,t-!, 1I.I•, 1.-J1 ;I .I( ,l-j, I1. -.lr-j, I..- ,l l+.. ,t-!, ;:JJ IJi:ido .. que :::ei3 rnaternatic:En-nente equivarente; u1rnbiar Jo::: rn.lrnero:::; catY1biar 1a :; operaci ones d;:Jija::: en el protd ern a para f ot-rnm- un prob lenH1 equ.i val ente. * * ( 347 6 / 43 -t 347 6 / 43) * * . 31 68 296 ~ 30 * 70 *.300 -t 21 * 30 000 i37 41 9 92 765 91) 045 5 * 90 000 . t:l 974 · + i~o 11-1? • ... 1_1 -.'- La corn~'ensaci 6n son los a_ i u::;te::; hechos para refl e_ i ar vari aci ones en i os · n(irnero::: det1i da:3 a ref c1rrnulaci 6n t1. tr-aducci 6n. Ha'd dos ··ti pos, 1c i cornpen::::aci 6n fin;3l y lacornpensaci6n interrnedia. En el primer- cas1J, el e::::t.irnador a_iu::;t_a al te.nrlitv:w el pnJC:eso, en la cornpensaci6n interrnedia lo:3 aJustes se. •.mn t·,;:lcien,jo 1jurente el proc:.eso, parecotTegir ~ernanere sistetrli3tica los etTot~.es. Caracterf~;tices de lo~;· t1uenos estirnedore~:: r-ecuerden .rapi,je ld. e:,<ecternente los r8suJt~,jos basicos pare t_o,jes las operaciones.: tienen un tiiJen :::entido de c6rno ei valor po:::icional e::: arectado por le:3 1jiferentes opereciones arittr18tice~:.: cerntlien los datos nurner-icos a ·una fot-rne rnene_iable rnentelrnente; t·1acen uso r-api,jo !d eficiente 1je celculos rnenh:lles pare producir it·irot-r-naci6n nurnerica preci::;e con la cual forrnular e::;tirneciones; tienen f"i;:Jtdlidcnj ld per:::i;::tencia pare a_iuster une estirnaci6n iniciel pare refle_jat-. '·/i::ri aci6n nurneri ce 1jebi de a traducci 6n o refotTnulaci 6n; real izan carnbi os Uinto en 1o ::: n(irneros corno en 1a e::;tnlctura rneternM ice del ~wotd ern a: conocen !d u::;<:Jtl propie1j;]1je:3 tale:3 como la contrn.Jtati··/a, asocietiva, distributiva; conocen el onjen 1je las opet-aciones.: e:::coqen rapidatr1ente de entre vaha::: e:::tn:~te!dias; cornprenden Hl concepto·1je estin~iaci6n .. lo queles perrnite estat- 3 -. ------- - ---~- ·---------~-- ----~--- -- ---- -- ----- ----------- c6rnorjo::: con ci erto error.: rnue::::tran confi ;:Jnza en ::; f rni snws (Peid·:: et ;:J 1, En el est ado rje [iuana ua to apro;<i rnadarnen te un terci o de I o-:: aI urnno:3 _i r?::;t;§m en el sistema e:::tatal. El fnrjice ;je deserci6n es tc11j;:J'·.da elevado. f:;61o 65:-1. de 1o :=:: al urnno::: terrni nen 1e pri rnari e. Apro>;i rnadornente 7Cr:"f':.. rje l o:3 que terrnin;:Jn I;:J prirru:~ria 'continu;:ln con Ia secunrj;:n-ia ~~ s61o 70;t de e:::tos la tE'ITninan. El :::isterna estatal ha irnplantado cerca de 400 tele-secundaria:::, en rjonrje un :::crlo rnae:::tro ensefia torjas las materia::: en un gr-ado, incluyendo rn;:Jt.ernaticas, ciencia::: naturale::: .. ciencias sociales .. espafiol, in!~le:::. Cerca de 85::.g rje lo::: rneestros en las tele-secundarim:: no cuentan con una prepewaci6n e:::peci a1 corno rnaestros de rnatern6ti ca:::. ·:.on dos los prop6:::itos drj este estudio·. Uno e::: e;<plorar ~d rjeterrninar Ia::: h:strilirjarjes rje estirn;:Jci6n cornputacional que tiE!nen los alurnno::: rne:=-::icano::::. En :::ewmdo es contritruir al rjesarrollo de un rnarco conceptual que caracterice l o::: proce:::o::; rje petBorni en to use do::; por 1o s a1 u rn no::: pare hacer e::;;t. i rnaci 6n cornputacionC~l. f:;e pens6 que si un estudio sirnilar realiz;:Jdo en r···Je:=~ico .. que e::: ._1 c:p6n .. atTo _i obu re:::ul ti:Jrjo::: ::: i rni 1e re::; .. es to contri buirf a e 1iJ ~~enen'! 1i zatd 1i 1ja d ., del trfi:Jrco anterior. E~:pecificarnente, e:::te estudio fue disefi;:Jdo pan:J i1jentificar 'd rje::;critrir- lo::: pr-oce::::o:::: de estirnaci6n cornputacional u:::arjo::: por lo::: rne._iore::; e2.tirnadore::: en lo:3 grado::: 5o de prirnar-ia y 2o de :::ecunrjaria, 'd Ci3n3ct.eriz;:Jr J;:Js e:::traterli;:J::: rje nen::::arniento q t§cnica::: que u:::an e:::to:::: j ~ ~ eilurnno::: al e:::tirnar. El marco conceptual con:::truido a pt~rtir rje e:::ta:::: entre\ll::;f.t~::: con alurnno::: rne.~·~icano:~;_, rue cornparedo con el rnodelo te6rico l'.f:.. .j. -~---~~ I It: lUUU Pnx:edi rni en to::: 'El dise.fjo trBSiCO' rje it'I'·/8Sti!}3CiCrn w::t;§ tornado del morjelo U2.ado en las i n'·/e:::t i gac.i ones anteri ores (Re!j::; et el, 19 i32.: Re!dS et al, 19 89). Se ap 1i c6 un e::::i:Jrnen rje est i tr1aci r5n, en d fa::: re!~Ul an?.s rje c 1a ::;e a 432 al urn nos pan:J truscar i:ilurnnos que. tienen truenas. hatrilirji:Jrjes de. estirnaci6n. Lo:3 alurnno:3 ·que·. J e:::tu ..... i eron en· el 5:f. rne or de 2o de secunrjari a (Ei a1 u rn no::;) fueron con::;iderados los "buenos e:::tirnt~dore::;" ~d fueron lo:; esco!~itjos · pBra las · e.nt;-e..,,.ista:; en la::; que se tra:;a 81 reporte.·~:;e pi-etendfa user el rnisrn!:' ct-iterio . . . . cr)n lo::: el urn nos de 5o .de pri rnari i3, pero su desernpefio en e1 e::<;:Jir,en de e:::lir·niJci6n fue dernasierjo bajo, !d en ccrn:::ecuencia la::: entre\,.istB::: en este r;;n:njo ::;e lirnitaron ;:J dos aluri·mo~:. Todas las. entre'/i:::tas ~:e condujeron en la::: tres serrn3rfi:tS :::i!~uientes ala aplicaci6n del e~·~arnen rje estirnac:ir5n .. ieto::; -~;-u ·--- Doce di f erente::: escue las (6 pt-i r~·,ari as !d 6 secunrj;::a-i ~,s) .. !d un tMa 1 de 255 alurnnos .,je So de prirnaria !d '177. rje segunrjo.de secundarifJ participaron en e ::. ta i n'·/e:::t i !~aci 6n. Torja::: 1a ::: e:::cue 1a s est6n dentro del estado de Gu;::Jna j uato, q pert enec:en el si stern a e:::tat al. ~;e se 1e cci on anJn di ::;t.rito :3 esco l EJre:3 rj e rnenera que e:::tuvi era repre:3ente11jo. un urnp l i o ranqo de· e::d.rBto::; :::oci o . . . econ6rnico:::: U1 terceni parte de las escuela::: e:::t;§n en la ciudad rje Guanaju;:tto, Ci:ipital 1~81 e:::tado ~d :::erje rje li3 Uni·. ..· er-sirjad rje] e:::U'JdO y de rjos instituciones p;:Jra pr-ofe:::ore:::. Citro tercio de la:3 e::;cuelB::: fue esco:~irjo en Le6n, que tiene tJn;:J potrlaci6t.-, superior el rni116n ~de::: le rna~dot- concentn:Jci6n urtr;:Ji-,e ~d ·el centro i ndu:::txi a1 rn;§s qn:Jnde en el e:::l.i:Jdo. El terci o re:::tante fueron e:::cuel a::; t• !-::! lI I-:' - .r: :I-:' 1-_: I.'l,f .f l-jl j-j t-]· i-j :-:: J ·C-"' --··--~·~ ·--·~---~-- e::;cue 1o ::. tonto rnotuti no::. corno ve::•perti nos. La::• e::•cue 1r .n fueron ::.eleccion;::njas ;::Jl azar en ca,ja distrito. Una \·'8Z :::eleccione,ja J;::J escuela. se £~:::co!~i6 alE:!;:Jt.oriat·nente un grupo en la escuela para que participara en la ::,4 ino,,.e:::ti!}3Ci6n. El tarnafio de los grupo::: vari6 de 31 a alurnno:3 en 5o de pri trJ;:Jri a. . !d de 20 a 43 en segur11jo de secundari a. Las eda,je::: de 1o ::: el urnnos \.';:Jri at-on entn3 10 !d 12 af'io::: en 5o de pri rnari a, !d entre 12 'd 17 en 2o de :::ecun,jari a. ln:::trurnentos E;-~arnf3n ,je estirnaci6n. Se utilizaron 313 preguntas ,je_ respuesta atderta. 25 :::on ejercicios de operaci6n directa (con s6lo datos nurnericos) !d fuer-on t.orna,jo::: directamente del e>~Etrnen rje et:tirnaci6n cornputecional (Req::: et al .. 19tH)). Trece :::f:)tl protderntr3 de aplic;::Jci6n (aquello::: que contienen dato::: nurnericos inrnet-sos en un conte~d.o de l;:J vida re;:~J) y fueron rnc"jificados li!~erarnente p;:~n::J adecuarlos a los alurnno::: rne~;ic;:Jnos (por ejernplo c;:~rntriar ~wecio::: de d6lares a pe:::os)_, !d se a!~)regaron otros do::: que los in·. ..· e:::ti!}::Jdore::: corr::iJjeraron particularrnente inter-e:::antes_, f.;::Jl corno el react.ivo 1? / 13 + 7/6 ,je 1 ::;e:~un,jo e:::t.udi o naci on a1 hecho en 1o :3 E:::tado::: Uni ,jo::; (Cerpenter-.. Corbitt, f<epner .. Lindqui:::t ~d Re~d::: .. 19BCJ). Las 3i3 pr-equnta::: :::e pu:::ier-on :::otwe tran::;parenci;:J::: de 35 rnrn 'd se mo:::tn:~ron con un ~WO!Jector. De est a f orrna :::e pu,jo ap 1i c;:;r e1 e~-~arnen en ~~r-upo 'd contr-ol;::Jr el tietr1po de· t-e:::pue.:::f.;:J (12 .- 15 se!~un,jo:::) p;:~r-a ca,ja pre!~unt;:J. Aunque :::e inclUlden la::: cuatro operacione::: aritrnetica::: .. la rn;::J!JOrf;:J de la::: pre!~untas in'·/Oluc:r;:Jn rnultiplicaci6n !d ,ji'·/i:::i6n. Uno::: e_iet-cicio::: in·.,.·olucran fraccione::: ~d decirnale:::;, pero 1a rna~dorfa involucra n(irnero::: naturale:::. P;:w;:J el forrnato de re::;pue:::t;::J atlierta se con:::tnltJeron inter\.. alos de r-e:::puesta acepli:Jbles .. discutiendo _ca,j;:J pregunta. L;::J::: intero,,.alos '·iarfan en tl