FACOLTA` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Matematica Tesi di Laurea triennale Teoria di Galois su superfici di Riemann: rivestimenti ramificati e algebre ´etale Candidato: Relatore: Vincenzo Galgano Prof. Marco Franciosi Anno Accademico 2015/2016 A nonna Nina e nonno Cosimo. A Salvatore Monaco, che mi ha insegnato ad amare la Vita. O Captain! my Captain! our fearful trip is done, The ship has weather’d every rack, the prize we sought is won, The port is near, the bells I hear, the people all exulting, While follow eyes the steady keel, the vessel grim and daring; - Walt Whitman Indice Introduzione 5 1 Prime Nozioni 9 1.1 Teoria delle categorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Gruppi profiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Rivestimenti topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Teoria di Galois di Grothendieck 23 2.1 Estensioni di campi e algebre ´etale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Teoria di Galois finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Teoria di Galois infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Superfici di Riemann ed estensioni di campi 39 3.1 Rivestimenti ramificati su superfici di Riemann . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Equivalenza tra rivestimenti ramificati e algebre ´etale . . . . . . . . . . 46 3.3 Estensioni di C di grado di trascendenza 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4 Su due gruppi di Galois assoluti 59 4.1 Gruppo di Galois assoluto di C(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Dessins d’enfant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 4 INDICE Introduzione Uno degli strumenti piu` potenti (e delicati) per studiare diverse strutture algebriche e le relazioni tra esse`e senza dubbio il linguaggio della teoria delle categorie, introdotto per la prima volta nel 1945 da S. Eilenberg e S. Mac Lane (nell’ambito della topologia algebrica) e successivamente approfondito dal gruppo di matematici Bourbaki. Tra di essi, il matematico apolide Alexander Grothendieck (1928-2014)`e stato il pioniere delle nuove basi della geometria algebrica, introducendo negli anni ’50 e ’60 il concetto di schema e la teoria dei fasci, generalizzando cos`ı il concetto di variet`a algebrica. Tuttavia quando si parla di relazioni tra diverse strutture matematiche non si pu`o non nominare il matematico francese Evariste Galois (1811-1832), a buon diritto consi- derato uno dei padri dell’algebra astratta: le sue idee sono state i prodromi della teoria dei gruppi. Con la ”teoria di Galois” nasce un ponte tra il mondo (o meglio, la cate- goria) dei gruppi e quello dei campi. Ma piu` che i suoi risultati, `e stata la sua visione poliedrica della matematica a dare importanti contributi nelle varie branche. La sua teoria, che collegava tra loro gruppi e campi, `e stata nel XX secolo estesa a diverse strutture, portando i matematici a parlare di teoria di Galois algebrica, topologica e differenziale (cf. [6] e [13]). Il primo passo verso la generalizzazione della teoria di Galois classica `e stato sosti- tuire le estensioni di campi con algebre commutative su un campo finite e separabili (dette ´etale). Grazie a Grothendieck, la teoria classica `e divenuta un caso particola- re di una teoria ben piu` generale, la teoria di Galois di Grothendieck, che si basa su un’equivalenza di categorie tra le categorie D delle K-algebre finite diagonalizzate da L un’estensione di Galois finita L/K e G-FSet degli insiemi finiti su cui agisce il gruppo di Galois G = Gal(L/K) (nel caso finito), e tra le categorie A delle K-algebre sepa- rabili e G-Prof degli spazi profiniti su cui il gruppo di Galois G = Gal(Ω /K) della s chiusura separabile di K agisce con continuit`a (nel caso infinito). Il passo successivo `e stato quello di estendere tale teoria dalle algebre su un campo ai moduli (su un anello), entrando in una nuova teoria di Galois per anelli introdotta nel 1960 dai matematici M. Auslander e O. Goldman e completata nel 1974 dal matematico A. R. Magid. In ambito topologico l’eredit`a di Galois ha avuto come protagonisti i rivestimenti di 6 Introduzione spazi topologici e i relativi gruppi fondamentali. Tuttavia, anche in questo caso, questo ponte`e stato un (altro) caso particolare della teoria degli schemi di Grothendieck e del suo gruppo fondamentale ´etale (cf. [3]). Le idee che stanno alla base di queste teorie innovative si possono vedere ben espres- se considerando le superfici di Riemann. Il teorema di esistenza di Riemann stabilisce una corrispondenza biunivoca da un lato tra rivestimenti topologici finiti e rivestimen- ti analitici finiti, dall’altro tra superfici di Riemann compatte e curve algebriche (cf. [5]). In particolare, le analogie tra la teoria di Galois di Grothendieck e la teoria dei rivestimenti si concretizzano in un’(anti)equivalenza di categorie nel caso di superfici di Riemann: tale risultato `e l’oggetto centrale di questa trattazione. E. Galois, Equazioni algebriche H. Poincar´e, Estensioni Gruppo fondamentale di campi Rivestimenti Teoria di Galois topologici di Grothendieck Dall’antiequivalenza di categorie tra la categoria V dei rivestimenti ramificati ana- B litici finiti di una superficie di Riemann connessa e compatta B, e la categoria E delle B algebre´etalesulcampoM(B)dellefunzionimeromorfesuB, sihaunacorrispondenza tra i rivestimenti ramificati analitici finiti connessi regolari e le estensioni di campi di Galois del campo M(B) (cf. [9]). Queste relazioni tra oggetti geometrici e oggetti algebrici trovano terreno fertile nel- l’ambito dellageometria algebrica: infattile categorieequivalentidelle curvealgebriche complesse(conmorfismilefunzioniregolari)edellesuperficidiRiemanncompatte(con morfismi le mappe olomorfe) sono a loro volta equivalenti alla categoria delle estensioni di campi di grado di trascendenza 1 su C (con morfismi gli omomorfismi di C-algebre). Tale equivalenza `e riassunta brevemente nella seguente tabella: Introduzione 7 Superfici di Riemann Campi di compatte e connesse funzioni meromorfe Superfici di Riemann Estensioni di tipo finito compatte e connesse su P1 di C(Z) Mappa olomorfa X → B Estensione di campi K ⊂ L Mappa meromorfa X → P1 Polinomio irriducibile su C(Z) Grado di una mappa olomorfa X → B Grado di un’estensione di campi K ⊂ L Mappa olomorfa X → B Estensione di campi K ⊂ L con gruppo di automorfismi G con gruppo di Galois G Questa corrispondenza tra superfici di Riemann compatte e connesse ed estensioni di C(Z) trova un’importante applicazione nel calcolo del gruppo di Galois assoluto di C(Z), ossia del gruppo di Galois della sua chiusura algebrica. In generale, il gruppo di Galois assoluto di un campo K `e il gruppo di Galois della chiusura separabile di K ed il suo calcolo `e un problema interessante poich`e fornisce informazioni su tutte le estensioni di Galois di K. In questa trattazione analizziamo i casi in cui K = C(Z) e K = Q. Nelprimocaso,ilgruppodiGaloisassoluto`estatocompletamenteesplicitato,rispon- dendoquindipositivamentealproblemainversodiGaloissulcampoC(Z): ognigruppo finito `e il gruppo di Galois di un’estensione di C(Z). Nel secondo caso, il calcolo del gruppodiGaloisassolutodiQ(equindiilproblemainversodiGaloissuQ)`eancoraun problema aperto. Tuttavia grazie ai risultati fin ora esposti e ad un’intuizione di Gro- thendieck, `e possibile dedurre informazioni su tale gruppo di Galois assoluto facendolo agire su un insieme di grafi bipartiti, chiamati da Grothendieck stesso dessins d’enfant, che si immergono in particolari superfici di Riemann, dette aritmetiche, corrispondenti a curve algebriche su campi di numeri: lo studio algebrico dell’azione del gruppo di Galois assoluto di Q su tali curve algebriche si riduce ad uno studio combinatoriale delle trasformazioni dei rispettivi grafi. Vediamo ora quali argomenti saranno affrontati nei vari capitoli di questa trat- tazione. Nel capitolo 1 diamo una breve introduzione alla teoria delle categorie e alla teoria dei rivestimenti, concentrandoci su alcuni risultati inerenti i gruppi profiniti. Nel capitolo 2 estendiamo la teoria di Galois classica alla teoria di Galois di Grothen- dieck, proponendo quindi un approccio categoriale ad un certo tipo di algebre su un campo, dette´etale, che rappresentano una generalizzazione delle estensioni di campi di Galois. In particolare, analizzeremo sia la teoria finita che quella infinita. Nel capitolo 3 introduciamo le superfici di Riemann e i rivestimenti ramificati per poi dedicarci al risultato centrale della trattazione: l’(anti)equivalenza di categorie tra la 8 Introduzione categoria dei rivestimenti ramificati analitici finiti di una superficie di Riemann com- patta e connessa, e la categoria delle algebre ´etale sul campo delle funzioni meromorfe su tale superficie. Infine, mostriamo che, grazie a tale antiequivalenza, le superfici di Riemann compatte e connesse corrispondono alle estensioni di tipo finito di grado di trascendenza 1 su C. Nel capitolo 4 ci concentriamo su due gruppi di Galois assoluti: nel caso del campo C(Z) sapremo calcolare esplicitamente il suo gruppo di Galois assoluto definendo il gruppo fondamentale di uno spazio topologico rispetto ad un germe di cammini; nel caso del campo Q daremo solo un breve accenno al teorema di Belyi (1979). Capitolo 1 Prime Nozioni In questo capitolo diamo una breve introduzione alla teoria delle categorie, enunciando tutti quei risultati che saranno necessari per raggiungere i nostri scopi. In particolare, presentiamo la categoria ProfGr dei gruppi profiniti e la categoria G-Prof degli spazi profiniti su cui `e definita l’azione di un gruppo G. Infine, esponiamo brevemente le definizioni e i risultati principali della teoria classica dei rivestimenti. I risultati esposti in questo capitolo fanno espresso riferimento all’esposizione Alg`ebre et th´eorie galoisiennes di R. & A. Douady [9, Cap II,IV]. Per le dimostrazioni omesse in questo capitolo `e possibile consultare la referenza citata. 1.1 Teoria delle categorie Introduciamo alcune nozioni di base della teoria delle categorie che ci permetteranno di mostrare alcune equivalenze, oggetto di questa tesi. Definizione. Una categoria C `e una collezione di oggetti Obj(C) su cui sono definite delle mappe, dette morfismi, associate ad un oggetto sorgente X e ad un oggetto destinazione Y e indicate con HomC(X,Y). Per tali morfismi `e definita l’applicazione di composizione da Hom(X,Y) × Hom(Y,Z) a Hom(X,Z) con (f,g) (cid:55)→ g ◦ f che `e associativa; per ogni X in C, esiste 1 in Hom(X,X) tale che, per ogni Y in C e per X ogni f in Hom(X,Y), si ha f ◦1 = f e, per ogni g in Hom(Y,X), 1 ◦g = g. X Y Sebbene non sia formale usare il linguaggio insiemistico per le categorie, si scrive X ∈ Obj(C) (ma per comodit`a scriveremo X ∈ C) per dire che ”X `e un oggetto di C” e f ∈ Hom(X,Y) per dire che ”f `e un morfismo da X in Y”. Per lo stesso motivo, useremo senza troppi formalismi anche quantificatori, connettivi e ogni altro simbolo (i.e. ⊂, ∈). 10 1. Prime Nozioni Definizione. Unmorfismof ∈ Hom(X,Y)`edettoisomorfismoseesisteg ∈ Hom(Y,X) tale che g◦f = 1 e f ◦g = 1 . X Y Date due categorie C e C(cid:48), C(cid:48) `e detta sottocategoria di C se • C(cid:48) ⊂ C (ossia tutti gli oggetti di C(cid:48) sono anche oggetti di C); • ∀X,Y ∈ C(cid:48) , HomC(cid:48)(X,Y) ⊂ HomC(X,Y); • la composizione in C(cid:48) `e indotta da quella in C; • 1X,C(cid:48) = 1X,C. Una sottocategoria C(cid:48) ⊂ C `e piena se HomC(cid:48)(X,Y) = HomC(X,Y) per ogni X,Y ∈ C(cid:48). Date C(cid:48) e C(cid:48)(cid:48) categorie, la categoria prodotto `e la categoria C = C(cid:48) × C(cid:48)(cid:48) con HomC((X(cid:48),X(cid:48)(cid:48)),(Y(cid:48),Y(cid:48)(cid:48))) ∼= HomC(cid:48)(X(cid:48),Y(cid:48)) × HomC(cid:48)(cid:48)(Y(cid:48),Y(cid:48)(cid:48)) e la composizione che passa alle componenti. Data C categoria, la categoria opposta a C `e la categoria C◦ aventeglistessioggettidiC eimorfismitalicheHomC◦(X,Y) = HomC(Y,X)cong◦C◦ f = f ◦C g. Definizione. Date C e C(cid:48) categorie, una mappa F da C in C(cid:48) si dice • funtore covariante se per ogni X,Y ∈ C vale FX,Y : HomC(X,Y) → HomC(cid:48)(F(X),F(Y)) F (g◦f) = F (g)◦F (f) X,Z Y,Z X,Y F (1 ) = 1 X,X X F(X) • funtore controvariante se per ogni X,Y ∈ C vale FX,Y : HomC(X,Y) → HomC(cid:48)(F(Y),F(X)) F (g◦f) = F (f)◦F (g) X,Z X,Y Y,Z F (1 ) = 1 X,X X F(X) Se F `e controvariante, si indica f (cid:55)→ f∗; se F `e covariante, si indica f (cid:55)→ f . Date ∗ C,C(cid:48) e C(cid:48)(cid:48) categorie con i funtori F : C → C(cid:48) e G : C(cid:48) → C(cid:48)(cid:48), il funtore composto di F e G `e il funtore G◦F : C → C(cid:48)(cid:48) tale che (G◦F)(·) = G(F(·)) e, per ogni X,Y ∈ C e per ogni f ∈ HomC(X,Y), vale (G◦F)X,Y(f) = GF(X),F(Y)(FX,Y(f)). NotiamocheF `econtrovariantedaC inC(cid:48) seesoltantoseF `ecovariantedaC◦ inC(cid:48). Inoltre, il composto di due funtori entrambi covarianti (o controvarianti) `e covariante, altrimenti `e controvariante.