RDM 1ère année ENTPE Résistance des matériaux – partie 1 Corrections des exercices Boris TEDOLDI Ingénieur structure 2 chemin des maisonnettes BP19 39150 SAINT LAURENT EN GDX http://www.csb.bet Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 2/93 1. Rappels de MMC utiles en RDM ....................................................... 4 1.1 Réponse exercice [ 1 ] ...................................................................................... 4 1.2 Réponse exercice [ 2 ] ...................................................................................... 6 1.3 Réponse exercice [ 3 ] ...................................................................................... 7 1.4 Réponse exercice [ 4 ] ...................................................................................... 8 1.5 Réponse exercice [ 5 ] ...................................................................................... 9 1.6 Réponse exercice [ 6 ] ...................................................................................... 9 1.7 Réponse exercice [ 7 ] .................................................................................... 10 1.8 Réponse exercice [ 8 ] .................................................................................... 11 3. Définitions ........................................................................................ 12 3.1 Réponse exercice [ 9 ] .................................................................................... 12 4. Hypothèses du cours de R.D.M. ..................................................... 13 4.1 Réponse exercice [ 10 ] .................................................................................. 13 4.2 Réponse exercice [ 11 ] .................................................................................. 15 5. Calculs des réactions d’appuis ...................................................... 16 5.1 Réponse exercice [ 12 ] .................................................................................. 16 5.2 Réponse exercice [ 13 ] .................................................................................. 18 5.3 Réponse exercice [ 14 ] .................................................................................. 19 5.4 Réponse exercice [ 15 ] .................................................................................. 20 6. Calculs des diagrammes de sollicitations ..................................... 22 6.1 Réponse exercice [ 16 ] .................................................................................. 22 6.2 Réponse exercice [ 17 ] .................................................................................. 23 6.3 Réponse exercice [ 18 ] .................................................................................. 25 6.4 Réponse exercice [ 19 ] .................................................................................. 26 6.5 Réponse exercice [ 20 ] .................................................................................. 26 6.6 Réponse exercice [ 21 ] .................................................................................. 27 6.7 Réponse exercice [ 22 ] .................................................................................. 29 6.8 Réponse exercice [ 23 ] .................................................................................. 31 6.9 Réponse exercice [ 24 ] .................................................................................. 34 6.10 Réponse exercice [ 25 ] .......................................................................... 37 6.11 Réponse exercice [ 26 ] .......................................................................... 41 6.12 Réponse exercice [ 27 ] .......................................................................... 44 Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 3/93 6.13 Réponse exercice [ 28 ] .......................................................................... 47 6.14 Réponse exercice [ 29 ] .......................................................................... 48 6.15 Réponse exercice [ 30 ] .......................................................................... 48 6.16 Réponse exercice [ 31 ] .......................................................................... 50 7. Tracé direct des diagrammes de sollicitations ............................. 51 7.1 Réponse exercice [ 32 ] .................................................................................. 51 7.2 Réponse exercice [ 33 ] .................................................................................. 54 7.3 Réponse exercice [ 34 ] .................................................................................. 57 7.4 Réponse exercice [ 35 ] .................................................................................. 59 7.5 Réponse exercice [ 36 ] .................................................................................. 61 7.6 Réponse exercice [ 37 ] .................................................................................. 65 8. Degré d’hyperstaticité - iso/hyperstaticité ..................................... 72 8.1 Réponse exercice [ 38 ] .................................................................................. 72 9. Caractéristiques des sections droites ........................................... 74 9.1 Réponse exercice [ 39 ] .................................................................................. 74 9.2 Réponse exercice [ 40 ] .................................................................................. 77 9.3 Réponse exercice [ 41 ] .................................................................................. 82 9.4 Réponse exercice [ 42 ] .................................................................................. 88 9.5 Réponse exercice [ 43 ] .................................................................................. 88 9.6 Réponse exercice [ 44 ] .................................................................................. 91 9.7 Réponse exercice [ 45 ] .................................................................................. 92 9.8 Réponse exercice [ 46 ] .................................................................................. 92 9.9 Réponse exercice [ 47 ] .................................................................................. 92 9.10 Réponse exercice [ 48 ] .......................................................................... 92 9.11 Réponse exercice [ 49 ] .......................................................................... 93 9.12 Réponse exercice [ 50 ] .......................................................................... 93 Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 4/93 1. Rappels de MMC utiles en RDM 1.1 Réponse exercice [ 1 ] Pour répondre aux questions, il est nécessaire de connaître l’équation de la loi de comportement. Après analyse : 𝜀 ≤ 1% → 𝜎 = 5𝜀 { 1%≤ 𝜀 ≤ 5% → 𝜎 ≈0,0625𝜀+4,938 𝜀 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑒𝑡 𝑒𝑛 % Avec { 𝜎𝑒𝑛 𝑀𝑃𝑎 1a) En fonction du poids de la masse P et de la section du barreau S, la contrainte dans le barreau 𝑃 est : 𝜎 = 𝑆 𝜋×0,01² Or 𝑆 = 4 Et 𝑃 = 20 ×10 = 200 𝑁 Ainsi 𝜎 = 200×4 =2,5.106 𝑃𝑎 ⟷2,5 𝑀𝑃𝑎 𝜋×0,01² D’après l’équation de la loi de comportement : 𝜀 ≤ 1% → 𝜎 = 5𝜀 Donc 𝜀 = 0,5 % Δ𝑙 b) Par définition 𝜀 = 𝑙 0,5 Δ𝑙 = 𝜀×𝑙 = ×2 = 0,01 𝑚 ↔ 1 𝑐𝑚 100 2) D’après la loi de comportement, la contrainte maximale à la limite élastique est : 𝜎 = 5 𝑀𝑃𝑎 ↔ 5.10−6 𝑃𝑎 𝑚𝑎𝑥,𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 Ce qui correspond à la force 𝜋×0,01² 𝑃 = 𝜎 ×𝑆 = 5.106× = 393 𝑁 𝑚𝑎𝑥,𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑎𝑥,𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 4 D’où une masse de 39,3 kg . 3a) 𝑃 = 40 ×10= 400 𝑁 𝑃 400×4 𝜎 = = = 5,1.10−6 𝑃𝑎 ↔ 5,1 𝑀𝑃𝑎 𝑆 𝜋×0,01² D’après l’équation de la loi de comportement : 1% ≤ 𝜀 ≤ 5%→ 𝜎 ≈ 0,0625𝜀+4,938 Donc 5,1−4,938 𝜀 = = 2,6 % 0,0625 b) 2,6 Δ𝑙 = 𝜀×𝑙 = ×2 = 0,052 𝑚 ↔ 5,2 𝑐𝑚 100 c) De manière idéalisée, le déchargement s’effectue parallèlement au chargement élastique. Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 5/93 Ainsi, les triangles rectangles d’hypothénuse bleue et verte sont homothétiques : 5 5,1 = ⇔ 𝜀 ≈ 1,6 % 1 2,6−𝜀 𝑟 𝑟 Donc 1,6 Δ𝑙 = 𝜀 ×𝑙 = ×2 = 0,032 𝑚 ↔ 3,2 𝑐𝑚 r 𝑟 100 Après déchargement de la masse de 40 kg, le barreau conserve un allongement définitif de 3,2cm, ainsi sa longueur devient égale à 203,2 cm. Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 6/93 1.2 Réponse exercice [ 2 ] Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 7/93 1.3 Réponse exercice [ 3 ] Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 8/93 1.4 Réponse exercice [ 4 ] Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 9/93 1.5 Réponse exercice [ 5 ] 1.6 Réponse exercice [ 6 ] Bo ris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 10/93 1.7 Réponse exercice [ 7 ]