Министерство образования и науки Российской Федерации Новокузнецкий институт (филиал) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Кемеровский государственный университет» В. О. Каледин, Е. В. Решетникова, В. Б. Гридчина ТЕОРИЯ R-ФУНКЦИЙ Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 01.03.02 – прикладная математика и информатика Второе издание, переработанное и дополненное Текстовое электронное издание Новокузнецк 2017 (cid:211) Каледин В. О., Решетникова Е. В., Гридчина В. Б., 2017 © Новокузнецкий филиал-институт государственного образова- тельного учреждения высшего профессионального образова- ния «Кемеровский государственный университет», 2008  Новокузнецкий институт (филиал) Федерального государ- ственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Кемеровский государственный университет», 2017 ISBN 978-5-8353-1952-7 1 УДК 517.95(075) ББК 22.161.6я73 Издается по решению методического совета Новокузнецкого института (филиала) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Кемеровский государственный университет» Рецензенты: ведущий научный сотрудник ИТПМ им. С. А. Христиановича СО РАН доктор физико- математических наук С. М. Аульченко; кафедра высшей математики Национального аэрокосмического университета им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» (зав. кафедрой доктор фи- зико-математических наук, профессор А. Г. Николаев) Каледин В. О. Теория R-функций : учеб. пособие для студентов высших учебных заведений, обу- чающихся по направлению 01.03.02 – прикладная математика и информатика / В. О. Каледин, Е. В. Решетникова,В. Б. Гридчина ; М-во образования и науки Рос. Феде- рации, Новокузнец. ин-т (фил.) Кемеров. гос. ун-та. – Электрон. текст. дан. – Новокуз- нецк : НФИ КемГУ, 2017. – ISBN 978-5-8353-1952-7. Содержание настоящего учебного пособия соответствует программе дисциплины «Теория R-функций», читавшейся авторами для студентов специальности «Прикладная математика и информатика». При его написании преследовалась цель доступного и си- стематического изложения основных результатов, необходимых для решения приклад- ных задач, по возможности не прибегая к специальным разделам математики. Уделено внимание способам построения нормализованных уравнений чертежей, интерполяции, продолжения дифференциальных операторов и построения структур решений краевых задач на кусочно-однородных областях. Пособие предназначено для студентов, высших учебных заведений, обучающихся по направлению 01.03.02 – прикладная математика и информатика. Возможно его ис- пользование в классических и технических университетах при изучении теории R- функций как раздела дисциплин «Численные методы», «Уравнения математической фи- зики» и других дисциплин специализаций, в которых рассматриваются вопросы матема- тического моделирования полей на областях неканонической формы. (cid:211) Каледин В. О., Решетникова Е. В., Гридчина В. Б., 2017 © Новокузнецкий филиал-институт государственного образова- тельного учреждения высшего профессионального образова- ния «Кемеровский государственный университет», 2008  Новокузнецкий институт (филиал) Федерального государ- ственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Кемеровский государственный университет», 2017 2 Сведения о программном обеспечении: Adobe Reader Компьютерная верстка Е. В. Решетниковой Редактор Т. И. Головко Технический редактор М. А. Гомонок Подписано к использованию 25.01.2017 г. Заказ 477. Объем издания 1,17 МБ Новокузнецкий институт (филиал) Кемеровского государственного университета 654041, г. Новокузнецк, ул. Циолковского, 23. 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 1. Теоретическая часть 1.1. Системы R-функций. Свойства систем 1.1.1. Булевы предикаты замкнутых областей 1.1.2. R-отображения и R-предикаты 1.1.3. основные системы R-функций 1.1.4. Алгебро-логические свойства R-функций 1.1.5. Дифференциальные свойства R-функций 1.2. Уравнение чертежа 6 1.2.1. Чертеж и его уравнение. Классификация чертежей 1.2.2. Алгоритмически полные системы R-функций 1.2.3. Переход от предикатных уравнений к обычным 1.2.4. Примеры построения уравнений элементарных чертежей 1.2.5. Использование частичных булевых функций 1.2.6. Семейства выпуклых областей 1.2.7. Области Дирихле. Чертеж раздела 1.2.8. Нормальное уравнение чертежа 1.2.9. Нормальные уравнения дуги окружности и отрезка прямой 1.2.10. Векторная нормальная функция 1.2.11. Верхняя нормальная функция 1.2.12. Нормализованные уравнения чертежа 1.2.13. Учет симметрии чертежей при построении их уравнений 1.2.14. Применение R-функций для решения задач математического программирования 1.2.15. Применение R-функций для решения задач оптимального раскроя 1.3. Пучки функций. Структурный метод решения краевых задач 1.3.1. Структурный метод решения краевых задач 1.3.2. Продолжение граничных значений внутрь области 1.3.3. Интерполяция функций и пучки 1.3.4. Пучок функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи Дирихле 1.3.5. Продолжение дифференциальных операторов внутрь области 1.3.6. Построение пучка функций, имеющих заданную нормальную производную на границе 1.3.7. Продолжение внутрь области дифференциального оператора по длине граничной дуги 4 1.3.8. Построение пучка функций, имеющих заданную производную по граничной дуге 1.3.9. Структурный метод решения первой краевой задачи 1.3.10. Структурный метод решения задачи Неймана 1.3.11. Структурный метод решения краевой задачи с граничными условиями третьего рода 1.3.12. Структурный метод решения смешанной краевой задачи 1.3.13. Структурный метод решения краевой задачи на неоднородной области 1.3.14. Методы нахождения неопределенных компонент 2. Практикум 2.1. Системы R-функций. Свойства систем 2.1.1. Множества. Операции над множествами. Булевы функции и их свойства 2.1.2. R-отображения. Основные системы R-функций 2.1.3. Алгебро-логические свойства основных систем R-функций 2.1.4. Дифференциальные свойства основных систем R-функций 2.2. Уравнение чертежа 2.2.1. Чертеж и его уравнение 2.2.2. Нормальные уравнения чертежей 2.2.3. Нормализованные уравнения чертежей 2.2.4. Области Дирихле и чертежи раздела 2.3. Пучки функций. Структурный метод решения краевых задач 2.3.1. Интерполяция граничных значений внутрь области 2.3.2. Структура задачи Дирихле. Структура задачи Неймана Библиографический список 5 ВВЕДЕНИЕ Целью изучения курса «Теория R-функций» является овладение современны- ми методами решения обратных задач аналитической геометрии и основанными на них методами решения краевых задач. Содержание курса требует предварительно- го изучения общематематических дисциплин (дискретной математики, алгебры и геометрии, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики) и существенно расширяет и углубляет знания, полученные студентами при изучении этих дисциплин. Теория R-функций возникла в 70-е годы XX века усилиями авторского коллек- тива под руководством советского математика В. Л. Рвачёва, которому принадле- жат основополагающие результаты. В рамках этой теории разработаны методы аналитического представления сложных по форме геометрических фигур, что ста- ло возможным на основе объединения и развития методов теории множеств, алгеб- ры и аналитической геометрии. Теория R-функций послужила основой для реше- ния краевых задач уравнений математической физики в случае областей сложной геометрической формы. Это дало возможность решать многочисленные приклад- ные задачи расчета реальных технических объектов. Особенностью методов, раз- работанных В. Л. Рвачёвым и его учениками, является возможность точного вы- полнения граничных условий. Кроме этого, теория R-функций успешно применя- ется в задачах геометрического проектирования и оптимизации формы. Теория R-функций представляет собой так называемое конструктивное направление в геометрии, в котором в первую очередь рассматриваются задачи синтеза уравнений и функций с заданными свойствами. В этом её отличие от классической аналитической геометрии, которая занимается главным образом ме- тодами анализа известных уравнений и установлением их геометрических образов. Содержание настоящего учебного пособия соответствует программе курса теории R-функций, читавшегося авторами для студентов высших учебных заведе- ний, обучающихся по направлению 01.03.02 – прикладная математика и информа- тика. Дисциплина «Теория R-функций» входит в региональный компонент цикла дисциплин специализации «Математическое моделирование» и занимает важное место в подготовке специалиста по математическому моделированию, позволяя существенно углубить знания и навыки математического моделирования про- странствченыых естественных и технических объектов. Пособие подготовлено с учетом требований Государственного образовательного стандарта высшего обра- зования данной специальности. В связи с нетрадиционностью наличия данного курса в образовательных про- граммах высших учебных заведений учебно-методическая литература по дисци- 6 плине практически отсутствует. В качестве литературных источников, послужив- ших ориентиром при написании данного пособия выступают оригинальные моно- графии В. Л. Рвачёва, Ю. Г. Стояна, В. С. Проценко, Г. П. Манько и др. При написании данного пособия преследовалась цель доступного и система- тического изложения основных результатов, необходимых для решения приклад- ных задач, по возможности не прибегая к специальным разделам математики. Уде- лено внимание способам построения нормализованных уравнений чертежей, ин- терполяции, продолжения дифференциальных операторов и построения структур решений краевых задач на кусочно-однородных областях. В ущерб строгости авто- ры предпочли ограничиться двузначной логикой и избегать доказательств, требу- ющих использования атомарных функций. Пособие состоит из двух разделов: конспекта лекций и практикума. Конспект лекций содержит 31 подраздела и охватывает основные вопросы теории R- функций. В 11 подразделах практикума приведены задания, позволяющие приме- нить теоретические сведения на практических задачах. При использовании учебного пособия рекомендуется: - изучить изложенный в соответствуих подразделах первого раздела тео- ретический материал; - проверить себя с помощью контрольных вопросов, приведенных в каж- дом подразделе методических указаний к проведению практических занятий; - прорешать практические задачи из соответствующего подраздела прак- тикума (желательно под руководством преподавателя); - прорешать самостоятельно в целях закрепления материала задачи из со- ответствующего подраздела практикума, помеченные (*). 7 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1. СИСТЕМЫ R-ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА СИСТЕМ 1.1.1. БУЛЕВЫ ПРЕДИКАТЫ ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЕЙ В аналитической геометрии рассматриваются множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям вида = 0, где – функция, принадлежа- f(x) f щая некоторому достаточно общему множеству. Если – алгебраическая функция, f то уравнение = 0 определяет алгебраический чертеж (кривую, поверхность, f(x) гиперповерхность и т. д.). В традиционной аналитической геометрии рассматрива- ются алгебраические уравнения первого и второго порядка. Задавшись уравнени- ем, с помощью известных приёмов можно найти геометрическое место точек, ко- ординаты которых удовлетворяют этому уравнению. Прямая задача аналитической геометрии состоит в построении чертежа по заданному уравнению. Обратная задача аналитической геометрии состоит в отыскании уравнения по заданному чертежу. Эта задача намного сложнее и допускает не единственное решение. Отыскание решения обратной задачи важно в тех случаях, когда требует- ся «оцифровать» геометрический объект. Известным подходом к алгебраическому описанию формы геометрических объектов является использование теории множеств. Выберем в качестве унитарно- го множества I плоскость, на которой будем изображать множества в виде некото- рых областей. Тогда с помощью алгебраических операций над множествами – пе- ресечения, объединения, дополнения до унитарного множества – можно описать некоторые геометрические фигуры в виде операций над более простыми опорными множествами. Например, опорные множества в виде кругов на рисунке 1 после применения алгебраических операций дают заштрихованные области: общую часть кругов (рис. 1а) – операция A˙ B, объединение кругов (рис. 1б) – операция A¨ B, внешность круга (рис. 1в) – операция дополнения Aи т. д. Методы теории множеств являются в некотором смысле слишком общими для использования в задачах аналитической геометрии. Мы всегда будем иметь дело с множествами специфического вида – точечными множествами. Один из вопро- сов, на который при этом необходимо ответить, это вопрос о принадлежности за- данному множеству некоторой фиксированной точки. 8 А А А В В а б в Рис. 1. Результаты применения операций над множествами к двум кругам Введём в рассмотрение булеву функцию точки S:R2 fi B , которая принимает 2 значение 1 в точках данного множества и значение 0 – в остальных точках унитар- ной плоскости. Например, для опорного круга А на рисунке 1 эта функция может быть определена следующим образом: [ ] S (x) = R2 - (x - xA)2 - (x - xA)2 ‡ 0 , (1) A A 1 1 2 2 где R , xA – радиус и координаты центра круга А. A Такая функция называется двузначным булевым предикатом множества. При- надлежность точки множеству можно теперь установить по значению булева пре- диката множества в данной точке. Очевидно, что, если мы имеем булевы предика- ты опорных множеств, то предикаты производных множеств можно вычислить с помощью операций булевой алгебры. Замечание. При использовании двузначных булевых предикатов мы не разли- чаем внутренних и граничных точек множеств. Это не всегда удобно. Используя трёхзначную булеву алгебру, можно было бы ввести трёхзначный предикат, при- нимающий, например, значение 2 внутри области, 1 – на её границе и 0 – вне обла- сти. Однако в дальнейшем мы не будем пользоваться трёхзначными предикатами, а вопрос о границах будем рассматривать отдельно в каждом случае. Покажем, как с помощью булевых операций построить предикат области, изображённой на рис. 2. х 2 х 1 Рис. 2. Область, составленная из двух полукругов Запишем предикаты опорных областей: - круг малого радиуса r: S (x) = r2 - x2 - x2 ‡ 0; 1 1 2 - круг большого радиуса R: S (x) = R2 - x2 - x2 ‡ 0; 2 1 2 - верхняя полуплоскость: S (x) = x ‡ 0. 3 2 9 Тогда булева функция S(x) = S (cid:218) (S (cid:217) (cid:216) S ) принимает значение 1 в точках изобра- 1 2 3 жённой на рис. 2 фигуры. Булев предикат можно построить и для областей размерности, не равной двум. В общем случае булев предикат n-мерной области – это отображение вида Rn fi B , 2 ставящее в соответствие каждому набору n координат одно из двух булевых значе- ний. В частности, размерность n может быть равна и единице. Булев предикат: 1, x ‡ 0, S (x) =  (2) 2 0, x < 0 задаёт биекцию числовой оси на положительную и отрицательную полуось. Пре- дикатное уравнение S (x) = 1 – уравнение, в которое входит булев предикат, – 2 можно рассматривать как уравнение положительной полуоси. Применив к нему операцию отрицания, получим булев предикат отрицательной полуоси. (Здесь опять возникает вопрос о граничной точке, который в рамках двузначной булевой алгебры не решается: строго говоря, уравнение S (x) =1 задаёт открытое множество, 2 не включающее точку x = 0). Подведём итоги. Построение предикатного уравнения заданного геометриче- ского объекта связано с анализом формирования этого объекта из других, более простых опорных объектов. Булева функция предикатов опорных объектов чаще всего бывает не задана и должна строиться по виду данного геометрического объ- екта. Затруднений здесь обычно не возникает, поскольку сам вид объекта подска- зывает, какие объекты следует выбрать в качество опорных и какие операции над опорными множествами следует проделать, чтобы получить заданный объект. Пе- реход от операций над множествами (пересечение, объединение, дополнение) к операциям над их предикатами (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание) достаточно тривиален; аналогии между этими операциями легко установить, если усвоен базо- вый курс дискретной математики. В то же время мы ещё не приблизились к тому, чтобы составить такие уравне- ния объекта, какие изучаются в аналитической геометрии, в которых бы использо- вались только обычные операции над действительными числами. 1.1.2. R-ОТОБРАЖЕНИЯ И R-ПРЕДИКАТЫ Вернёмся ещё раз к задаче биекции числовой прямой. Формула (2) задаёт бу- лев предикат положительной полуоси и является отображением R fi B . Можно 2 было бы попытаться определить некоторую действительную функцию точки, знак которой определял бы принадлежность точки заданному множеству, аналогично 10