-- qemŠ“ap|-njŠ“ap| 2013 b{orqj 5 (87) ISSN 2226-1494 ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ О птические солитоны в средах из двухуровневых атомов Сазонов C.В. 1 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА Оптические диэлектрические наноантенны Краснок А.Е., Белов П.А., Кившарь Ю.С. 23 Управление модами системы связанных кольцевых резонаторов при помощи света Капитанова П.В., Белов П.А. 28 Анализ зонной структуры фотонного кристалла с кратными оптическими длинами слоев Денисултанов А.Х., Ходзицкий М.К. 32 для терагерцового диапазона частот ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ. ОПТИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ Лабораторный спектрофотометр для видимой области спектра Акмаров К.А., Белов Н.П., Смирнов Ю.Ю., 39 Шерстобитова А.С., Щербакова Е.Ю., Яськов А.Д. Выбор и расчет элементов оптико-электронной системы с оптической равносигнальной зоной Гусаров В.Ф., Тимофеев А.Н. 44 для измерения вертикального градиента температур воздушного тракта Экспериментальное определение уровня динамической остроты зрения Ротц Ю.А., Мусалимов В.М. 49 Расчет параметров оптического фильтра с угловым селективным светопропусканием Закируллин Р.С. 54 Компьютерное моделирование перекрестных помех в информационно-измерительном Исламова Э.Ф., Куликов А.В., Плотников М.Ю. 59 волоконно-оптическом приборе Определение оптических характеристик поверхностных слоев элементов оптотехники Горляк А.Н., Новак А.Г., Солонуха В. М., 62 для их оптических соединений Храмцовский И.А. Оптотехника апланатического мениска Гапеева А.В., Ковалева А.С., Точилина Т.В. 66 Изменение характеристик ультрафиолетовых светодиодных сборок «чип на плате» Виноградова К.А., Середова Н.В. 71 при длительном времени работы на номинальном токе АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ Система управления гидроприводом с компенсацией статической нелинейности Лосенков А.А., Арановский С.В. . 77 Математическая модель и алгоритм имитационного моделирования многозвенной Демин А.В., Ковалев И.А. 81 оптико-механической системы МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА Нелинейная система масс-с-пружинками для моделирования Николаев С.Н. 88 больших деформаций мягких тканей Зависимость реактивного сопротивления пьезоэлектрического преобразователя Попов И.П. 94 от механических параметров его нагрузки КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Об оценке устойчивости к искажениям изображений, маскированных М-матрицами Востриков А.А., Чернышев С.А. 99 Разработка адаптивного детектора тона кожи Ахунзянов Р.Р., Тропченко А.Ю. 103 Выявление анафорических отношений при автоматическом анализе текста Боярский К.К., Каневский Е.А., Степукова А.В. 108 Программное обеспечение для исследования топологии поведения и классификации Тришина Т.А. 112 элементарных сетей Петри с помощью вычисления их групп гомологий Автоматический поиск локальных переменных и аргументов процедуры Гедич А.А., Зыков А.Г., Лаздин А.В. 117 в исполняемом коде программы при верификации вычислительных процессов Интеграция информационных систем на основе технологии связанных данных Семерханов И.А., Муромцев Д.И. 123 ЛАЗЕРНЫЕ И БИОМЕДИЦИНСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ Исследование движения нижних конечностей человека при ходьбе Кузнецов А.О., Мусалимов В.М. 128 с использованием технологий инерциального захвата движения МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ И НАНОТЕХНОЛОГИИ Фотохимически индуцированная поляризация люминесценции Мухина М.В., Маслов В.Г., Баранов А.В., 133 квантовых стержней CdSe/ZnS в пористой матрице Федоров А.В. Эпоксидные композиции, модифицированные фуллереном С , Пихуров Д.В., Зуев В.В. 140 с повышенной ударопрочностью 60 ТЕХНОЛОГИИ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА Контроль качества сварных соединений в процессе сварки с применением метода Баринов А.В., Федоров А.В., Кинжагулов И.Ю., 144 акустической эмиссии Сергеев Д.С., Доренская А.В. МЕТОДЫ И СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Анализ уязвимостей робототехнических комплексов с роевым интеллектом Зикратов И.А., Козлова Е.В., Зикратова Т.В. 149 Метод комплексной оценки и анализа глобальной безопасности региональных Маслобоев А.В. 154 социально-экономических систем на основе когнитивного моделирования НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ Методика экспериментального изучения затухающих колебаний пружинного Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. 165 маятника на наклонной плоскости КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ Влияние комплексообразования в системе полисилан-фуллерен С Зуев В.В, Бронников С.В., Костромин С.В., 171 на спектры поглощения и оптическое ограничение излучения 60 Серов С.В., Лихоманова С.В., Борковский М.Ф., Каманина Н.В. К вопросу об аэродинамике снаряда для пращи Ганзий Ю.В., Митюков Н.В. 172 Технологии экстренных вычислений в задачах планирования и диспетчеризации Чуров Т.Н., Князьков К.В., Иванов С.В., 173 маршрутов наземного общественного транспорта Духанов А.В., Бухановский А.В. Моделирование конформационно-зависимых свойств белков для рационального Спельников Д.М., Порозов Ю.Б., Маслов В.Г., 175 дизайна лекарственных препаратов в среде облачных вычислений Clavire Бухановский А.В. Метод автоматического определения молекулярно-механических Свитенков А.И., Болгова Е.В., Маслов В.Г., 176 потенциалов для крупнозернистого представления молекулярной системы Бухановский А.В. SUMMARY 178 Издание Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики Publication of Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР EDITOR IN CHIEF В.О. Никифоров, доктор технических наук, профессор V. Nikiforov, Doctor of Technical Sciences, Professor РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ASSOCIATED EDITORS А.А. Бобцов, доктор технических наук, профессор A. Bobtsov, Doctor of Technical Sciences, Professor А.В. Бухановский, доктор технических наук A. Boukhanovsky, Doctor of Technical Sciences, В.А. Валетов, доктор технических наук, профессор V. Valetov, Doctor of Technical Sciences, Professor Т.А. Вартанян, доктор физико-математических наук, T. Vartanyan, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, старший научный сотрудник Senior Research Fellow М.А. Ган, доктор технических наук M. Gan, Doctor of Technical Sciences, Ю.А. Гатчин, доктор технических наук, профессор Yu. Gatchin, Doctor of Technical Sciences, Professor Н.Ф. Гусарова, кандидат технических наук, N. Gusarova, Ph.D., Senior Research Fellow старший научный сотрудник А.В. Демин, доктор технических наук, профессор A. Demin, Doctor of Technical Sciences, Professor Н.С. Кармановский, кандидат технических наук, доцент N. Karmanovsky, Ph.D., Associate professor (Deputy Editor) (заместитель главного редактора) Ю.Л. Колесников, доктор физико-математических Yu. Kolesnikov, Doctor of Physical and Mathematical наук, профессор Sciences, Professor С.А. Козлов, доктор физико-математических наук, S. Kozlov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, профессор Professor А.Г. Коробейников, доктор технических наук, профессор A. Korobeinikov, Doctor of Technical Sciences, Professor В.В. Курейчик, доктор технических наук, профессор V. Kureichik, Doctor of Technical Sciences, Professor Л.С. Лисицына, доктор технических наук, доцент L. Lisitsyna, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor В.Г. Мельников, кандидат технических наук, доцент V. Melnikov, Ph.D., Associate Professor Ю.И. Нечаев, доктор технических наук, профессор Yu. Nechayev, Doctor of Technical Sciences, Professor Н.В. Никоноров, доктор технических наук, профессор N. Nikonorov, Doctor of Technical Sciences, Professor А.А. Ожиганов, доктор технических наук, профессор A. Ozhiganov, Doctor of Technical Sciences, Professor П.П. Парамонов, доктор технических наук, профессор P. Paramonov, Doctor of Technical Sciences, Professor Е.Ю. Перлин, доктор физико-математических наук, E. Perlin, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, старший научный сотрудник Senior Research Fellow И.Г. Сидоркина, доктор технических наук, профессор I. Sidorkina, Doctor of Technical Sciences, Professor О.А. Степанов, доктор технических наук O. Stepanov, Doctor of Technical Sciences, В.Л. Ткалич, доктор технических наук, профессор V. Tkalich, Doctor of Technical Sciences, Professor А.А. Шалыто, доктор технических наук, профессор A. Shalyto, Doctor of Technical Sciences, Professor Ю.Г. Якушенков, доктор технических наук, профессор Yu. Yakushenkov, Doctor of Technical Sciences, Professor Г.О. Артемова, ответственный секретарь G. Artemova, executive secretary Н.Ф. Гусарова, редактор, верстка N. Gusarova, editor, making-up Л.Н. Точилина, редактор L. Tochilina, editor Н.Г. Лещикова, перевод N. Leshchikova, translation М.В. Герасимова, графика M. Gerasimova, graphics Адрес: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49, НИУ ИТМО, комн. 330 Телефон / факс (812) 233 45 51 http: //ntv.ifmo.ru E-mail:[email protected] Address: 197101, St. Petersburg, Kronverksky, 49, NRU ITMO, room 330 Phone / fax (812) 233 45 51 http: //ntv.ifmo.ru E-mail:[email protected] С.В. Сазонов ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ 1 УДК 535.2 ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ С.В. Сазонов Сазонов Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Национального исследовательского центра «Курчатовский институт», профессор физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и Московского авиационно- го института. Области научных интересов – нелинейная и когерентная оптика, физическая акустика твердого тела, физика плазмы, физика сложных нелинейных систем. Автор около 200 научных работ в центральных и международных изданиях. Лауреат премии Европей- ской академии 1996 года за работы в области фемтосекундной нелинейной оптики и пико- секундной акустики. Член докторского диссертационного совета при НИЦ «Курчатовский институт» по специальности «физическая электроника». Постоянный член программных комитетов симпозиума «Фотонное эхо и когерентная спектроскопия», «Чтений по кванто- вой оптике» и конференции «Фундаментальные проблемы оптики». Научный руководитель восьми кандидатских и консультант одной докторской диссертации. Представлен вывод нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие лазерных импульсов с системой двух- уровневых атомов и обладающих решениями в виде оптических солитонов. Рассмотрены ситуации распространения резонансных и квазирезонансных солитонов огибающей, а также солитонов типа предельно коротких импульсов длительностью от нано- до фемтосекунд. Обзор адресуется студентам, аспирантам и научным работникам, специа- лизирующимся в различных областях современной физической науки. Ключевые слова: оптический солитон, двухуровневый атом, нелинейность, дисперсия, резонанс, квазирезонанс, интегрируемость. Введение Оптический солитон (от английского «solitary») представляет собой уединенный лазерный им- пульс определенной длительности (от нано- до фемтосекунд), обладающий несущей частотой видимого или ближнего инфракрасного диапазона и способный распространяться в нелинейной диспергирующей среде без изменения своей формы на большие расстояния. Важным представляется также и то обстоя- тельство, что солитоны обладают свойством упругого взаимодействия друг с другом, т.е. после столкно- вения солитоны восстанавливают свою первоначальную форму. Все это происходит в нелинейной среде, поэтому принцип суперпозиции, как он понимается в линейных средах, несправедлив. В связи с этим свойством на солитоны возлагаются большие надежды для их использования в системах оптической свя- зи. С укорочением длительности солитона растет пропускная способность соответствующих информа- ционных систем. С математической точки зрения солитон представляет собой решение нелинейного уравнения (или системы уравнений) в частных производных. Рассматриваемое уравнение при этом является интегри- руемым, т.е. можно, используя аналитические подходы, найти решение соответствующей задачи Коши или граничной задачи. Свойство упругого взаимодействия солитонов друг с другом обусловлено именно интегрируемостью рассматриваемого уравнения. Помимо нелинейности, для существования солитона должна присутствовать дисперсия. На языке взаимодействия светового поля с атомами это означает на- личие временного запаздывания поляризационного отклика среды на полевое воздействие. Взаимная компенсация нелинейного укручения профиля волнового пакета и его дисперсионного расплывания при- водит к формированию солитона. Двухуровневый атом – простейшая квантовая модель, используемая во многих задачах, где рас- сматривается взаимодействие света с веществом. Особую популярность данная модель приобрела в 60-е годы прошлого столетия, после изобретения лазеров – источников когерентного светового излучения. Если частота света  близка к частоте  перехода между какими-либо двумя квантовыми уровнями в 0 атоме (случай резонанса), то с хорошей точностью рассмотрением этих двух уровней можно и ограни- читься [1]. При взаимодействии двухуровневого атома с коротким световым импульсом в общем случае из- меняются населенности квантовых уровней первого, что влияет на его поляризационный отклик. Насе- ленностями уровней определяется запасенная в атоме энергия. Изменение данной энергии должно со- провождаться изменением энергии поля светового импульса, пропорциональной квадрату напряженно- сти его электрического поля E. Таким образом, изменение населенностей квантовых уровней – эффект сугубо нелинейный по напряженности поля импульса. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 1 2013, № 5 (87) ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ Интуитивно понятно, что чем короче длительность импульса, тем отчетливее должно проявляться запаздывание отклика двухуровневого атома на воздействие данного импульса. Данная временная нело- кальная связь между поляризацией P среды из двухуровневых атомов и Eесть та самая дисперсия, на- личие которой наряду с отмеченной выше нелинейностью необходимо для формирования оптического солитона. Целью настоящей работы является обзор тех физических условий, что порождают различные оп- тические солитоны в системе двухуровневых атомов. Список литературы, данный в работе, далеко не полон, а основной акцент делается на выводе соответствующих нелинейных волновых уравнений и крат- ком описании свойств их солитонных решений. Автор надеется, что обзором могут заинтересоваться студенты, знакомые с общим курсом физики, включая атомную физику и электромагнетизм, аспиранты, приступающие к изучению вопросов взаимодействия лазерных импульсов с веществом, а также научные работники, специализирующиеся в других областях. В этой связи вывод системы базовых волновых и материальных уравнений представлен достаточно подробно и в простой форме. Также, по возможности, детально иллюстрируется использование различных приближений, приводящих от базовой системы к уравнениям, порождающим солитонные решения. При этом после вывода таких уравнений не делается их исследование на интегрируемость, а просто констатируется сам факт интегрируемости со ссылками на оригинальные работы или монографии. Дело в том, что вопрос интегрируемости сам по себе достаточно сложен, и вряд ли целесообразно его строгое обсуждение в данном обзоре, преследующем прежде всего цели физического анализа условий справедливости тех или иных приближений, которые приводят к уравнениям, порождающим солитоны. Помимо прочего, обзор содержит анализ различной терминоло- гии, часто употребляющейся в оригинальных научных статьях. Это, на взгляд автора, должно помочь начинающим исследователям ориентироваться в «море» часто отпугивающих новых терминов. Автор также выражает надежду на то, что после прочтения настоящего обзора начинающий исследователь и опытный научный работник – неспециалист в данной области смогут постепенно выйти на уровень, по- зволяющий читать оригинальные статьи, а также, всерьез заинтересовавшись обозначенной областью, принять участие в ее дальнейшем развитии. Волновые и материальные уравнения Для теоретического исследования взаимодействия мощных световых импульсов с веществом обычно используется хорошо зарекомендовавший себя полуклассический подход: электромагнитное по- ле импульса описывается уравнениями Максвелла, а отклик вещества на воздействие импульса – уравне- ниями квантовой механики. Из уравнений Максвелла легко получается волновое уравнение вида [2] n2 2E 42P 2E m  , (1) c2 t2 c2 t2 где c – скорость света в вакууме, n – показатель преломления изотропной матрицы, в которую поме- m щены двухуровневые атомы, 2 – оператор Лапласа, t – время. Теперь необходимо связать вектор P с полем светового импульса и с характеристиками двух- уровневых атомов. Для этого перейдем к выводу материальных уравнений с помощью квантово- механического подхода. Пусть Hˆ – оператор Гамильтона двухуровневого атома, свободного от воздействия светового 0 импульса. Данный оператор описывает кинетическую энергию внешнего (оптического) электрона атома и потенциальную энергию его взаимодействия с атомным остовом, который включает в себя атомное ядро и все внутренние электроны. Понятно, что Hˆ зависит от координат r оптического электрона от- 0 носительно неподвижного атомного остова и производных по данным координатам. Будем считать, что для этого случая решено стационарное уравнение Шредингера Hˆ  (r)  (r), (2) 0 k k k где k принимает два значения, 1 и 2,  – значения энергии оптического электрона в стационарных со- k стояниях,  (r)– соответствующие собственные волновые функции. k В силу эрмитовости Hˆ значения  вещественны, а  и  образуют ортонормированную сис- 0 k 1 2 тему: (r) (r)d3r(r) (r)d3r1, (r) (r)d3r0, где интегрирование ведется по объему 1 1 2 2 1 2 атома, определяемому областью локализации волновых функций  (r). k Пусть теперь на атом воздействует световой импульс. Основное воздействие приходится на элек- тронную оболочку атома, так как она значительно легче атомного ядра. В общем случае на электрон с зарядом e действуют как электрическое, так и магнитное поле светового импульса. При скоростях электрона, значительно меньших, чем c, основное влияние на оптический электрон оказывает электри- 2 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 5 (87) С.В. Сазонов ческое поле импульса. Оно сдвигает центр масс внешней электронной оболочки против своего направле- ния, создавая таким образом индуцированный дипольный момент der. Пусть при отсутствии внеш- него поля центр масс отрицательного заряда в атоме находится в точке, характеризуемой радиус- вектором r . Приложение же внешнего электрического поля E деформирует электронную оболочку, 0 смещая ее центр масс из r в r r, антипараллельно E. Тогда, работа электрического поля при этом 0 0 r0r смещении Ae  E(r,t)dr. В видимом диапазоне частот характерной несущей частоте импульса r0 ~1015c1 соответствует длина волны ~104см, что на четыре порядка превышает характерный раз- мер атома, равный по порядку величины боровскому радиусу a ~108см. В этих условиях можно пре- B небречь изменением E на масштабе одного атома, положить E(r,t)E(r ,t) и вынести данную вектор- 0 ную функцию из-под интеграла. Тогда получим AdE. Известно, что работа внешней силы по пере- мещению тела равна уменьшению соответствующей потенциальной энергии V . Полагая данную энер- гию равной нулю при r0, найдем V dE. Приближение, в котором получено данное выражение для V , называется электродипольным. Так как поле импульса Eзависит от времени, для описания его взаимодействия с атомом применя- ем нестационарное уравнение Шредингера i Hˆ dE, (3) t 0 где новая волновая функция  зависит как от координат оптического электрона относительно центра масс атомного остова, так и от времени. Разложим данную функцию по базису собственных функций оператора Hˆ : 0 (r,t)a (t) (r)a (t) (r), (4) 1 1 2 2 где a и a – амплитуды основного и возбужденного атомных состояний. Подставим (4) в (3): 1 2 iat11(r)at2 2(r)Hˆ0dEa11(r)a22(r). (5) Так как оператор Hˆ зависит только от координат оптического электрона и соответствующих простран- 0 ственных производных, а амплитуды a и a – от времени, то Hˆ a  a Hˆ  a   (см. (2)). 1 2 0 1,2 1,2 1,2 0 1,2 1,2 1,2 1,2 С учетом этого и ортонормированности собственных функций оператора Hˆ умножим (5) сначала на  0 1 и проинтегрируем получившееся выражение по объему атома, а затем на  с тем же последующим ин- 2 тегрированием. Тогда получим: a i i 1   J a  J a , (6) t  1 11 1  12 2 a i i 2   J a  Ja . (7) t  2 22 2  12 1 Здесь J dE 2d3r, J dE 2d3r, J dE d3r; очевидно, что интеграл J 11 1 22 2 12 1 2 12 описывает переход между стационарными состояниями 1 и 2, J и J – динамические сдвиги энергий 11 22 этих состояний. Волновые функции в последних интегралах локализованы на масштабе порядка боровского радиу- са, а характерный масштаб неоднородности поля E составляет длину волны. Как было сказано выше, для видимого диапазона a /~104. Это означает, что на масштабе атома поле E можно считать одно- B родным и вынести его из выписанных выше интегральных выражений. Тогда J Ed  2d3reEr  2d3rD E, 11 1 1 11 J Ed  2d3reEr  2d3rD E, 22 2 2 22 J Ed d3reEr d3rd E. 12 1 2 1 2 21 Если гамильтониан свободного атома Hˆ инвариантен относительно пространственной инверсии 0 rr, то порождаемые им стационарные квантовые состояния обладают определенной четностью. При положительной четности  (r) (r), а при отрицательной  (r) (r). Тогда легко видеть, k k k k что интеграл J отличен от нуля, если основное и возбужденное состояния обладают различной четно- 12 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 3 2013, № 5 (87) ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ стью. Таким образом, в электродипольном приближении под действием светового импульса разрешены квантовые переходы между состояниями противоположных четностей. Тогда очевидно, что D D 0. Если же инвариантность Hˆ относительно операции rr отсутствует (это возможно, 11 22 0 например, в случае пространственно несимметричных молекул), стационарные состояния не обладают определенной четностью. В этом случае все три матричных элемента оператора дипольного момента атома D , D и d отличны от нуля. Тогда система (6), (7) примет вид 11 22 21 a i i 1   D Ea  d Ea , (6а) t  1 11 1  21 2 a i i 2   D Ea  d Ea . (7а) t  2 22 2  21 1 Выразим дипольный момент μ рассматриваемого атома через амплитуды основного и возбужденно- го состояний. Согласно правилам квантовой механики, μdd3r. Используя разложение (4) и свойст- во ортонормированности стационарных состояний, получим μD a 2D a 2d aa d aa . Ниже 11 1 22 2 21 1 2 21 2 1 будем считать матричный элемент d вещественным. В этом случае вектор E поля импульса всегда 21 остается лежать в одной плоскости, т.е. импульс является плоско поляризованным. Из условия норми- ровки  2d3r1 и свойства ортонормированности стационарных состояний находим a 2 a 2 1. 1 2 Тогда μDDW 2dU , а для вектора поляризации, создаваемого двухуровневыми атомами, будем иметь PnμnDDW 2dU, (8) где DD D /2, DD D , dd , n – концентрация двухуровневых атомов, 22 11 22 11 21 W a 2 a 2 2, U aa aa  2. 2 1 2 1 1 2 Установим физический смысл различных слагаемых, входящих в (8). При отсутствии светового импульса U 0, так как до его воздействия атомы обнаруживаются либо в основном (a 0), либо в 2 возбужденном (a 0) состоянии. В суперпозиционное состояние, когда одновременно a 0 и опре- 1 1,2 делены фазы обеих амплитуд, атом переводится уже полем импульса. Таким образом, первые два сла- гаемых в скобках (8) дают вклад в дипольный момент атома, которым тот обладает при отсутствии све- тового импульса в силу того, что из-за асимметрии центры масс положительного и отрицательного заря- дов находятся в его разных точках. Последнее слагаемое в скобках (8) есть дипольный момент, индуци- рованный полем светового сигнала. По этой причине безразмерный динамический параметр U называ- ют индуцированным дипольным моментом атома. Величина D получила название постоянного диполь- ного момента (ПДМ), а d – дипольного момента перехода. Представляется естественным перейти от (6а), (7а) к системе уравнений для имеющих ясный фи- зический смысл параметров U и W . Пусть векторы всех атомов D , D и d направлены вдоль одной оси x, имеющей смысл оси 11 22 21 оптической анизотропии. Тогда при отсутствии светового импульса среда является поляризованной вдоль этой оси, образуя одноосный кристалл. Пусть световой импульс распространяется перпендикуляр- но к этой оси, вдоль которой направлен вектор E импульса. В этих условиях векторы D , D , d и E 11 22 21 в (6а), (7а) можно переписать в виде скаляров. Тогда, используя (6а), (7а), легко прийти к замкнутой сис- теме материальных уравнений, описывающих динамику двухуровневого атома в поле светового импуль- са (предлагается это сделать читателю в качестве упражнения): U  DE   V , (9) t  0   V  DE dE   U 2 W , (10) t  0    W dE 2 V . (11) t  Здесь    / – собственная частота рассматриваемого перехода, а также введен новый 0 2 1 динамический параметр V aa aa  2i, пропорциональный скорости центра масс электронной обо- 2 1 1 2 лочки атома, приобретаемой под действием светового импульса. Из (9)–(11) следует, что при наличии 4 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 5 (87) С.В. Сазонов ПДМ электрическое поле импульса выполняет две функции: вызывает квантовый переход между двумя рассматриваемыми уровнями и динамическим образом сдвигает частоту данного перехода. Волновое уравнение (1) с учетом (8), соответствующее рассматриваемому случаю, имеет вид 2E n2 2E 4n 2 8dn V  m  2dU DW 0 . (12) z2 c2 t2 c2 t2 c2 t При преобразовании правой части (12) использовались уравнения (9) и (11). Здесь и ниже мы рас- сматриваем одномерное распространение импульса вдоль оси z, поэтому лапласиан в (1) представляется как 2 2 /z2. Еще раз следует подчеркнуть, что используемое при выводе системы (9)–(12) приближение элек- тродипольного взаимодействия между световым полем и атомами накладывает ограничения на данную систему. Понятно, что с ее помощью нельзя описывать распространение в двухуровневой среде рентге- новского, а тем более гамма-излучения, так как в этих случаях импульсные поля заметно изменяются на атомных масштабах. В то же время заметим, что область использования системы (9)–(12) достаточно широка. Она способна описывать распространения импульсов, в спектре которых содержатся частоты от терагерцового до ультрафиолетового диапазонов, а их длительность лежит в интервале от нано- до фем- тосекунд. Система Максвелла–Блоха В настоящем разделе рассмотрим ситуации, когда в средах из двухуровневых атомов без ПДМ (D0) формируются квазимонохроматические солитоны. Волна является монохроматической в пре- дельном случае, когда она представлена бесконечной синусоидой. Понятно, что световые импульсы не могут быть монохроматическими, так как их длительность всегда конечна. Если длительность  им- p пульса такова, что он содержит большое число (N 1) световых колебаний, его называют квазимоно- хроматическим. Обычно для таких импульсов N 10. Пусть T – период оптических колебаний, содер- p жащихся в импульсе. Тогда N ~ /T ~ и условие квазимонохроматичности можно записать, введя p p p малый параметр  1    1. (13) 1 p При D0 (9)–(11) удобно записать в комплексной форме, введя динамическую переменную S U iV : S W i i SiW ,  SS, (9а) t 0 t 2 где 2dE/. Считая здесь и ниже квазимонохроматический импульс одномерным и распространяю- щимся вдоль оси z, представим его поле в виде (z,t)ei(tkz)(z,t)ei(tkz), (14) где k – волновое число, (z,t) – комплексная медленно меняющаяся огибающая (ММО), в том смысле, что ее временной масштаб  значительно превосходит период T , а пространственный l ~c – длину p p p p волны 2/k. Легко видеть, что введение ММО согласуется с условием квазимонохроматичности (13), которое теперь можно переписать в виде неравенств    , k  . (13а) t z Так как /t ~  / , /z ~  /l , то отношения левых частей в неравенствах (13а) к их p p правым частях – порядка  . Вообще говоря, каждая последующая производная от огибающей точно так 1 же по абсолютной величине относится к предыдущей производной. Тогда можно приближенно записать 2    2i 2ei(tkz) к.с., (15) t2  t  2    2ik k2ei(tkz) к.с., (16) z2  t  где аббревиатура «к.с.» обозначает комплексное сопряжение от предыдущих выражений в левых частях; в (15) и (16) мы пренебрегли вторыми производными от огибающей по t и z соответственно. Обратимся теперь к системе материальных уравнений (9а). При отсутствии поля светового им- пульса (0) первое уравнение описывает движение свободного комплексного осциллятора, собствен- Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 5 2013, № 5 (87) ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ ная частота которого равна  . В этом случае имеем S ~expi t. Очевидно, это соответствует тому, 0 0 что дипольный момент возбужденного двухуровневого атома колеблется на частоте его квантового пе- рехода. Последнее слагаемое в правой части (9а) можно рассматривать как внешнюю вынуждающую силу, частота которой равна несущей частоте  светового импульса. Понятно, что установившиеся ко- лебания осциллятора происходят именно на этой частоте. Поэтому запишем S(z,t)R(z,t)ei(tkz), (17) где R(z,t) – комплексная ММО дипольного момента атома. Представляя переменную V в виде SS i V   Rei(tkz) Rei(tkz) (18) 2i 2 и пренебрегая производной от огибающей R, будем иметь V   Rei(tkz)Rei(tkz). t 2 Подставляя данное выражение, а также (15) и (16) в (12), после приравнивания друг другу в левой и правой частях отдельно слагаемых при ei(tkz) и ei(tkz) получим  n   m iR, (19) z c t 4d2n где  0 . cn m При получении (19) мы обратили в ноль коэффициент при свободном члене  (и при ), что по- зволило найти дисперсионное уравнение k n /c. m Таким образом, использование приближения ММО позволило волновое уравнение (12) редуциро- вать от второго порядка к первому относительно производных. Теперь преобразуем материальные уравнения (9а). Подставляя (14) и (17) в первое уравнение (9а), будем иметь R i Rie2i(tkz)W . t 0 Здесь слагаемым, содержащим мнимую экспоненту, которая осциллирует на частоте 2, можно пренебречь по сравнению с . Действительно, характерный временной масштаб изменения  соответ- ствует длительности  импульса, что, в силу (13), значительно больше периода осцилляций мнимой p экспоненты, среднее от которой на масштабе  равно нулю. Содержание настоящего абзаца составляет p суть приближения вращающейся волны, с более подробным изложением которого можно познакомиться, например, в [1]. Тогда с хорошей точностью R iRiW , (20) t где   – частотная отстройка поля от резонансного перехода. 0 Подставляя теперь (14) и (17) во второе уравнение (9а) и также отбрасывая слагаемые с мнимыми экспонентами, осциллирующими на частоте 2, получим W i  RR. (21) t 2 Уравнения (19)–(21) хорошо известны и носят название системы Максвелла–Блоха (МБ). Она яви- ла собой первую интегрируемую систему, порождающую решения в виде оптических солитонов [3]. Систему МБ можно переписать через вещественные переменные, используя для поля представле- ние вида Qei, Q и  – вещественные функции, имеющие смысл амплитуды поля и его фазы соот- ветственно. Дипольный момент атома не мгновенно откликается на поле импульса, а обладает некото- рым запаздыванием. Поэтому огибающую комплексного дипольного момента запишем в виде Ruivei, где вещественные переменные u и v получили название соответственно синфазной и квадратурной компонент дипольного момента. Подставляя выписанные здесь представления огибающих поля и дипольного момента в (19)–(21), после отделения действительных и мнимых частей получим Q n Q  n   m v, Q  m u, (22)   z c t z c t  6 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 5 (87) С.В. Сазонов u   v   W  v,  uQW , Qv. (23) t  t  t  t  t Зависимость фазы  от времени и координат порождает в общем случае фазовую модуляцию оп- тического импульса. Так как комплексная огибающая  является медленно меняющейся на протяжении периода колебаний, то /t. Поэтому фазовой модуляцией поля зачастую (если не рассматривать каких-либо особых ситуаций) можно пренебречь. Тогда второе уравнение (22) можно не рассматривать вообще, а в первых двух уравнениях (23) следует положить /t 0. Интересно отметить, что в таком виде система МБ также оказывается интегрируемой, порождая солитонные решения. Резонансные и квазирезонансные солитоны в изотропной среде Уравнение синус–Гордона для огибающей. Рассмотрим случай точного резонанса, когда 0. Предположим, что до воздействия импульса на среду разность населенностей атомных состояний опре- деляется значением W . Если все атомы находятся в основном состоянии, то W 1/2, а если в инвер-   тированном, то W 1/2. При этом в обоих случаях U V 0, так как или a 1, a 0 (первый  1 2 случай) или a 0, a 1 (второй случай). Следовательно, до импульсного воздействия Ruv0, 1 2 что соответствует отсутствию у атома индуцированного дипольного момента. Учитывая это и полагая в (22), (23) /t0, найдем, что u0 и при воздействии импульса. Таким образом, при точном ре- зонансе синфазная компонента индуцированного дипольного момента у атома отсутствует. Тогда два последних материальных уравнения (23) примут вид v/t QW , W /t Qv. Введя комплексную функцию GW iv, перепишем их в виде G/t iQG. Относя начальный момент времени к  и учитывая, что при этом W W , v0, запишем решение GW ei,   где t  Qdt. (24)  После отделения в решении для G действительной и мнимой частей найдем W W cos, vW sin. (25)   Подставляя второе выражение (25) в первое уравнение (22) и учитывая (24), получим замкнутое нелинейное уравнение 2 n 2  m W sin. zt c t2  Введя «локальное» время tn z/c, перепишем его в виде m 2 sin, (26) z где W .  Уравнение (26) получило название уравнения синус–Гордона (СГ), относящегося к классу интег- рируемых и обладающего солитонными решениями [3]. Продемонстрируем простейший способ нахождения односолитонного решения, который годится для всех остальных уравнений, встречающихся ниже. Будем искать решение в виде уединенной волны, бегущей вдоль оси z со скоростью . Итак, пусть  зависит от t и z как (tz/)(z), где 1/n /c. Тогда / , /z , где точка сверху обозначает производную по перемен- m ной z. После этого (26) примет вид обыкновенного дифференциального уравнения   sin.  Умножая обе части на  , будем иметь после интегрирования 2   cosC. 2  Постоянную интегрирования C определим, исходя из того, что при t(нет пробела) поле импульса со всеми его производными обращается в ноль. Из (24) видно, что 0 при t. В то же время   также обращается в ноль. Отсюда находим, что C /. Таким образом, Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 7 2013, № 5 (87) ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В СРЕДАХ ИЗ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ 2    sin , (27)  2 p где   / – длительность импульса. Разделяя переменные и интегрируя, найдем p d   z   z t , sin    где /2. Вторую переменную интегрирования можно всегда обратить в ноль выбором системы координат. d   Учитывая, что  ln tg ln tg , sin 2 4  tz/ 4arctgexp . (28)   p  Из определения параметра  и выражения для  получаем связь между скоростью распростране- p ния солитона и его длительностью: 1 n  m 2 . (29)  c p Для огибающей импульса из (28) и (24) легко находим  2 tz/ Q  sech . (30) t     p  p  Используя (28) и первое выражение (25), имеем для разности населенностей при W 1/2  1 tz/ W  sech2 . (31) 2     p  Из сопоставления (30) и (31) отчетливо виден физический механизм формирования рассматривае- мого солитона. В центральной части солитона, соответствующей tz/, где его амплитуда Q макси- мальна, разность населенностей W равна 1/2, т.е. здесь атомы переведены в инвертированное состоя- ние, а при t  W 1/2. Таким образом, передним фронтом оптический импульс переводит атомы из основного состояния в возбужденное, а задним фронтом индуцированно возвращает их в исходное основное состояние. В результате периодического обмена энергией между световым импульсом и средой формируется оптический солитон огибающей. Понятно, что на такой периодический процесс затрачива- ется время, поэтому скорость распространения солитона, определяемая согласно (29), оказывается зна- чительно меньшей линейной скорости c/n . В этом состоит суть эффекта самоиндуцированной про- m зрачности (СИП), обнаруженного экспериментально еще в работе [4]. В различных экспериментах на- блюдались скорости  на два–четыре порядка меньшие скорости света в вакууме [5] для пико- и наносе- кундных импульсов. Солитон (29), (30) является однопараметрическим, т.е. данное решение характеризуется одним свободным параметром, в качестве которого здесь выбрана длительность  . Свободным выделенный p параметр является в том смысле, что его значение не строго фиксировано параметрами среды, а может изменяться в широких пределах, удовлетворяющим физической корректности выбранной модели. Из (29) и (30) видно, что с укорочением длительности солитона возрастают его амплитуда и ско- рость. Это правило является достаточно общим для всех солитонов (одно важное исключение будет при- ведено ниже). Для его усвоения достаточно запомнить шутливую фразу: «высокий и худой бежит быст- рее, чем низенький и толстый». Солитон СИП часто называют также 2-импульсом. Причина этого заключается в том, что «пло-  щадь» данного солитона, определяемая как A Qdt, равна 2.  Резонансный солитон СИП был первым обнаруженным экспериментально в 1967 году оптическим солитоном [4]. Интересно заметить, что в том же 1967 году вышла знаменитая теоретическая работа [6], в которой был развит систематический метод нахождения аналитических солитонных решений не имеющего в то время к оптике никакого отношения уравнения Кортевега–де Вриза (КдВ). Данный под- ход получил название метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) и был впоследствии применен ко мно- гим другим нелинейным уравнениям в частных производных и их системам. Отмеченное совпадение настолько же удивительно, насколько оно является случайным. Обе совершенно независимые друг от друга работы [4] и [6], вышедшие в одном и том же году, явились в результате мощным стимулом разви- 8 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 5 (87)