Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu e d a r g el Problemski zadaci B istra(cid:25)ivaqkog tipa u nastavi f o y algebre u osnovnoj xkoli t i s r e master rad v i n U - s c ti .rs a c a m g. e b h f. t t a a m M y. r of bra i y el t l u c a F f o mentor: student: y r dr Nebojxa Ikodinovi(cid:15) Bojana (cid:17)ivkovi(cid:15) a r b i L l a u t r i V Beograd, 2015. Sadr(cid:25)aj Uvod 1 e d 1 Matematika i (cid:8)en znaqaj 3 a r 1.1 Matematika je svuda oko nas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 g l 1.2 Cilj i zadaci nastave matematike u osnovnoj xkoli . . . . . 3 e B 1.3 Matematika je mnogima problem . . . . . . . . . . . . . . . . 5 f 1.4 Uqenike treba osloboditi straha od matematike . . . . . . 5 o y t i 2 Matematiqki zadaci i razvoj matematiqkog mix(cid:9)e(cid:8)a 7 s r e v 3 Problemska nastava 11 i n 3.1 Xta je problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 U 3.2 Problemska situacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 - s 3.3 Etape u rexavanju problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 c ati c.rs 3.4 Nivoi problemske nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a 3.5 Znaqaj problemske nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 m g. e b 3.6 Neka praktiqna uputstva za primenu problemske nastave . 16 h f. t at 3.7 Problemska nastava u funkciji razvijanja sposobnosti uqe- a m M y. nika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 r of ibra 4 Qas problemske nastave 22 y el 4.1 Artikulacija qasa problemske nastave . . . . . . . . . . . . 22 t l u 4.2 Povratna informacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 c a 4.3 Vrednovanje qasa problemske nastave . . . . . . . . . . . . . 24 F f o 5 Pripreme za qas 26 y 5.1 Prilog broj 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 r a 5.2 Prilog broj 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 r b 5.3 Prilog broj 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 i L 5.4 Prilog broj 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 l a u 6 Analiza odr(cid:25)anih qasova 51 t r i V Zak(cid:9)uqak 55 Uvod Kao i ostali savremeni oblici nastave i problemska nastava je na- stala kao reakcija na tradicionalnu nastavu, koja je i u savremenim e d uslovima nastavila da neguje prete(cid:25)no reproduktivnu aktivnost uqe- a r nika, nastava u kojoj uqenik dobija nauqne qinjenice u gotovom obliku g l a njegov zadatak je da ove qinjenice upamti i xto vernije reprodukuje. e B Sve ovo moralo je dovesti do promena. Potrebno je da uqenik uqestvuje f u procesu koji vodi do znanja, jer je saznanje pre svega proces dola(cid:25)enja o y do znanja, a ne gotov proizvod koji treba samo zapamtiti. t i Oduxevljenje matematikom qesto poqinje razmixljanjem o nekom za- s r e datku koji nam se, u izvesnom smislu, naroqito dopao. Takav zadatak v se mo(cid:25)e sresti na xkolskom qasu, u zbirci zadataka, u razgovoru na i n U zabavama ili sluqajnim susretima. Kao i svako drugo, tako i ovo odu- xevljenje izaziva interesovanje koje kod nekih brzo prerasta u ozbiljno - s bavljenje matematikom. Rexavanje takvih zadataka najvixe doprinosi c ati c.rs suxtinskom razvoju mixljenja uqenika, naroqito logike i dovitljivo- m g.a sti. e b Uloga nastavnika je izuzetno va(cid:25)na, nastavnik mora dobro da razmi- h f. t t a sli o prirodi gradiva i da pripremi prave problemske zadatke koji (cid:15)e a m M y. se naslanjati na prethodna znanja uqenika. r of bra ”Motivisati uqenike da nexto uqe, znaqi navesti razlog zbog koga y eli (cid:15)e uqiti. Ukoliko nastavnik ne uspe da motivixe uqenike za nastavu t uzaludan je njegov dalji trud.”1 l u Cilj ovog rada je da pomogne nastavnicima u va(cid:25)nom i texkom delu c a posla koji se odnosi na razvijanje matematiqkog mixljenja, istrajnosti F i stvaralaqkih sposobnosti uqenika. Rad je namenjen i uqenicima koji f o (cid:25)ele da samostalno razvijaju matematiqko mixljenje. y r U ovom radu date su karakteristike i specifiqnosti problemskih za- a r dataka istra(cid:25)ivaqkog tipa i njihov metodiqki znaqaj. Teorijska razma- b tranja ilustrovana su praktiqnim primerima. Tako(cid:14)e, u radu se nalaze i L pripreme za qasove matematike u osnovnoj xkoli. l a u t r i V 1Deji(cid:15), M., Metodika nastave matematike, Jagodina 2000. 1 Uvod Rad se sastoji od xest poglavlja: U okviru prvog poglavlja govori se o prisustvu matematike u svako- dnevnom (cid:25)ivotu. Istaknuti su ciljevi i zadaci matematike u osnovnoj xkoli. Matematika je qesto problem, a za mnoge je to nepremostiva pre- preka za napredovanje - zato je uloga nastavnika matematike od posebnog znaqaja. Drugo poglavlje ukazuje na znaqaj matematiqkih zadataka za razvoj matematiqkog mixljenja. Uqenike treba navikavati i osposobljavati da planski pristupaju rexavanju zadataka, direktno ili indirektno treba e d da se utvrde postupci - operacije koje qine mehanizam rexavanja zada- a r taka. g l Tre(cid:15)e poglavlje govori o suxtini problemske nastave. Ona bitno e B utiqe na otklanjanje slabosti klasiqne nastave, a koje se iskazuju u f negovanju mehaniqkog pam(cid:15)enja umesto mixljenja, u reprodukciji umesto o y produkcije, u kopiranju i oponaxanju umesto stvaralaxtva. Tako(cid:14)e data t i su praktiqna uputstva za primenu problemske nastave i istaknut znaqaj s r problemske nastave za razvoj sposobnosti uqenika. e v Qetvrto poglavlje prikazuje artikulaciju qasa problemske nastave, i n istiqe njegovu vrednost i pogodnost dobijanja povratne informacije u U toku qasa. - s U petom poglavlju opisane su pripreme za qasove matematike u osnov- c ati c.rs noj xkoli na kojima se od uqenika zahtevalo rexavanje problemskih za- m g.a dataka istra(cid:25)ivaqkog tipa. e b U xestom poglavlju data je analiza odr(cid:25)anih qasova. h f. t t a a m M y. r of bra i y el t l u c a F f o y r a r b i L l a u t r i V 2 1 Matematika i (cid:8)en znaqaj 1.1 Matematika je svuda oko nas e d a Ako dovoljno pa(cid:25)ljivo pogledamo oko sebe svuda mo(cid:25)emo videti mate- r g matiku. Postoji beskonaqan broj primera u naxem (cid:25)ivotnom prostoru l e koji se mogu vezati uz matematiku, ali treba znati gledati oko sebe. B Veza izme(cid:14)u matematike i sveta u kome (cid:25)ivimo prirodna je i neraski- f o diva, a to na(cid:25)alost qesto zaboravljamo kada matematiku pokuxavamo y pribli(cid:25)iti naxim uqenicima. t i s r e v 1.2 Ci(cid:9) i zadaci nastave matematike u osnovnoj i n U xkoli - s c Matematika kao nastavni predmet u osnovnoj xkoli zasniva se na ele- ati c.rs mentima matematike kao nauke, jer odgovaraju(cid:15)e nauqne sadr(cid:25)aje trans- a m g. formixe i prilago(cid:14)ava uzrastu uqenika. Nastavni program matematike e b h f. za osnovnu xkolu pored sadr(cid:25)aja i rasporeda gradiva za odgovaraju(cid:15)e t t a a m razrede osnovne xkole istiqe cilj i zadatke nastave matematike. M y. r Cilj nastave matematike u osnovnoj xkoli jeste: of bra y eli • da uqenici usvoje elementarna matematiqka znanja koja su potrebna t za shvatanje pojava i zavisnosti u (cid:25)ivotu i druxtvu; l u c a • da osposobi uqenike za primenu usvojenih matematiqkih znanja u F rexavanju raznovrsnih zadataka iz (cid:25)ivotne prakse, za uspexno na- f o stavljanje matematiqkog obrazovanja i za samoobrazovanje; y r a • da doprinese razvijanju mentalnih sposobnosti, formiranju na- r b uqnog pogleda na svet i svestranom razvitku liqnosti uqenika. i L Pored ovih opxtih ciljeva mo(cid:25)emo dodati i slede(cid:15)e: razvijanje intere- l a sovanja i ljubavi prema matematici, razvijanje matematiqkog mixljenja u t i matematiqke sposobnosti (mo(cid:15) apstrahovanja, matematiqka indukcija, r Vi logiqko rasu(cid:14)ivanje, pronalazaqko i stvaralaqko mixljenje), kreativno- sti, snala(cid:25)ljivosti itd. 3 1. Matematika i njen znaqaj Zadaci nastave matematike jesu: • da uqenici stiqu znanja neophodna za razumevanje kvantitativnih i prostornih odnosa i zakonitosti u raznim pojavama u prirodi, druxtvu i svakodnevnom (cid:25)ivotu; • da uqenici stiqu osnovnu matematiqku kulturu, potrebnu za otkri- vanje uloge i primene matematike u razliqitim podruqjima qove- kove delatnosti (matematiqko modelovanje), za uspexno nastavljanje obrazovanja i ukljuqivanja u rad; e d a • da razvija uqenikovu sposobnost posmatranja, opa(cid:25)anja i logiqkog, r g kritiqkog, stvaralaqkog i apstraktnog mixljenja; l e B • da razvija kulturne, radne, etiqke i estetske navike uqenika, kao f i matematiqku radoznalost u posmatranju i izuqavanju prirodnih o y pojava; t i s r • da uqenici stiqu sposobnost izra(cid:25)avanja matematiqkim jezikom i e v da se jasno i precizno izra(cid:25)avaju u pismenom i usmenom obliku; i n U • da izgra(cid:14)uju pozitivne osobine uqenikove liqnosti, kao xto su: - istinoljubivost, upornost, sistematiqnost, urednost, taqnost, odgo- s vornost, smisao za samostalni rad; c mati g.ac.rs • da uqenici stiqu naviku i obuqavaju se u korix(cid:15)enju raznovrsnih e b izvora znanja; h f. t at ma • da uqenici usvoje osnovne qinjenice o skupovima, relacijama i pre- M y. slikavanjima; r y of elibra • da uqenici savladaju osnovne operacije s prirodnim, celim, raci- onalnim i realnim brojevima, kao i osnovne zakone tih operacija; t l u c • da uqenici upoznaju najva(cid:25)nije ravne i prostorne geometrijske fi- a F gure i njihove uzajamne odnose; f o • da osposobi uqenike za preciznost u merenju, crtanju i geometrij- y r skim konstrukcijama; a r b • da uqenicima omogu(cid:15)i razumevanje odgovaraju(cid:15)ih sadr(cid:25)aja priro- i L dnih nauka i doprinese radnom i politehniqkom vaspitanju i obra- l zovanju; a u rt • da interpretacijom matematiqkih sadr(cid:25)aja i upoznavanjem osnov- Vi nih matematiqkih metoda doprinese formiranju pravilnog pogleda na svet i svestranom razvitku liqnosti uqenika. 4 1. Matematika i njen znaqaj 1.3 Matematika je mnogima problem Iako je matematika sve vreme prisutna u naxim (cid:25)ivotima, u xkolama se uglavnom smatra za te(cid:25)ak, nerazumljiv, apstraktan i samo za retke ”sre(cid:15)nike” uspexan predmet. Takvo gledixte ve(cid:15) generacijama pred- stavlja ozbiljnu prepreku deqijem napredovanju. Qesto od nastavnika i roditelja qujemo mixljenja da neka deca jednostavno nisu za matema- tiku. Mnogo re(cid:14)e se pitamo koliko organizacija nastave, metodiqka pripremljenost nastavnika, njegova kreativnost, plan i program i pozi- e d tivna motivacija uqenika utiqu na njenu uspexnost. Uqenje matematike a u xkoli odvija se qesto na vrlo uskom uzorku zadataka u kojem deca r g najqex(cid:15)e ne vide svrhu takvog uqenja i steqena znanja vrlo texko pri- l e B menjuju u svakodnevnom (cid:25)ivotu. Qak i xkolske problemske zadatke koji f pokuxavaju uspostaviti vezu matematike i svakodnevnih problema, deca o najqex(cid:15)e tumaqe kao apstraktne probleme koji zahtevaju izvo(cid:14)enje nekih y t operacija sa zadatim brojevima, a znaju(cid:15)i da je va(cid:25)no nexto izraqunati i s r deca se ni ne udubljuju u tekst zadatka i ne razmixljaju xta je stvarni e v odgovor na zadati problem. Ako (cid:25)elimo da naxi uqenici zavole ma- i n tematiku i poqnu u njoj postizati bolje rezultate, jasno je da mnoge U stvari u nastavi treba menjati. Matematika ima veliki znaqaj i ulogu - s ne samo kao nastavni predmet koji obrazuje ljude, pru(cid:25)aju(cid:15)i im korisna c ati c.rs znanja za (cid:25)ivot ili za nastavljanje xkolovanja, nego i kao predmet koji a i vaspitava ljude doprinose(cid:15)i izgra(cid:14)ivanju intelektualno sna(cid:25)nih i m g. e b naprednih liqnosti. h f. t t a a m M y. r 1.4 Uqenike treba osloboditi straha od of ibra matematike y el t l u ”Uqenike treba pridobijati, a ne odbijati. Pri stupanju u xkolu, c a uqenici obiqno imaju pozitivan stav prema matematici. Kasnije, neki F nauqe da je vole, a neki ne.”1 Stiqu se razne predrasude o tome kako f o je matematika texka i da je samo za odabrane, a da oni sami nisu spo- y sobni da je savladaju. I sami smo qesto svedoci, kada upitamo nekog r a roditelja kako dete uqi u xkoli, da odgovara da mu sve ide dobro osim r b matematike. Ovo se najqex(cid:15)e iskazuje u prisustvu dece koja se na ovaj i L naqin samo utvr(cid:14)uju u svom stavu da nisu za matematiku. Mi kao na- l a stavnici moramo da izbacimo detetu iz glave ideju da je matematika u bauk. Treba ih ubediti da je xkolsko gradivo za proseqne uqenike i da t r i svako mo(cid:25)e da ga savlada. Zadaci koje postavlja nastavnik ne treba da V 1Deji(cid:15), M., Metodika nastave matematike, Jagodina 2003. 5 1. Matematika i njen znaqaj premaxuju mogu(cid:15)nosti uqenika i da ga obeshrabruju. Velika je radost dece kada nexto shvataju i razumeju. U razredu mora da vlada klima slobode i nesputanosti. Uqenici mogu slobodno da pitaju sve, a da pri tome ne do(cid:25)ive podsmeh. Tek kada ih oslobodimo straha ne(cid:15)e se desiti da je uvek sve jasno kada nastavnik pita: Da li je sve jasno? Na svako dobronamerno pitanje koje dolazi od strane uqenika, nastavnik mora da odgovori i da ga razjasni. Na taj naqin uqenicima se ne(cid:15)e stvarati konfuzija, a nastavnik (cid:15)e znati xta to uqenici ne znaju i polako po- punjavati eventualne praznine i propuste. Tako(cid:14)e, uqenici (cid:15)e ste(cid:15)i e d poverenje u sebe i razbiti famu da je matematika samo za odabrane. Po- a r stupnost u savla(cid:14)ivanju matematiqkog gradiva pove(cid:15)ava interesovanje g l za matematiku, a haotiqnost uve(cid:15)ava neznanje i smanjuje interesovanje. e B Napomenimo da nezainteresovanost za izuqavanje matematike, a samim f tim i lenjost uqenika, ne znaqi da uqenici ne vole da rade, ve(cid:15) samo da o y ose(cid:15)aju nesposobnost da savladaju intelektualni napor koji se od njih t i tra(cid:25)i. Zato nastavnik mora da se potrudi da matematiku pribli(cid:25)i uqe- s r nicima i to da svaki pojedinac napreduje prema svojim sposobnostima. e v i n U - s c ati c.rs a m g. e b h f. t t a a m M y. r of bra i y el t l u c a F f o y r a r b i L l a u t r i V 6 2 Matematiqki zadaci i razvoj matematiqkog mix(cid:9)e(cid:8)a e d Opxte je poznata uloga matematiqkih zadataka u nastavi i uqenju ma- a r tematike. S jedne strane, ta uloga je odre(cid:14)ena time xto se konaqan cilj g l nastave matematike svodi uglavnom na to da uqenici xto bolje ovladaju e B metodama rexavanja sistema zadataka. Na taj naqin, rexavanje matema- f tiqkih zadataka u nastavi matematike javlja se i kao cilj i kao sredstvo o y te nastave. Ako se pojam matematiqkog zadatka shvati dovoljno xiroko, t i onda se mo(cid:25)e re(cid:15)i da se izuqavanje matematike ostvaruje najve(cid:15)im delom s r rexavanjem matematiqkih zadataka. Rexavanje matematiqkih zadataka e v slu(cid:25)i raznim konkretnim ciljevima nastave matematike. Bez preteri- i n U vanja mo(cid:25)e se tvrditi da se rexavanjem zadataka ostvaruju gotovo svi didaktiqki ciljevi nastave matematike: - s atic c.rs • Osibmrbaozloivknei, d-osktaizcaa,njueoqnaovvainjhemiatleimialtuisqtkriahczinjaanjnaek(eusmvaatjeamnjaetpioqjkmeoqvia-, a m g. njenice, formiranje znanja i navika pomo(cid:15)u sistema ve(cid:25)banja zada- e b h tf. taka, uvo(cid:14)enje u nove sadr(cid:25)aje i stvaranje ogovaraju(cid:15)ih problem- t a a m skih situacija, utvr(cid:14)ivanje steqenih znanja tj. ilustracije pri- M y. r mene izuqavane teorije i njeno dublje usvajanje, kontrola i samo- of bra kontrola usvojenosti matematiqkih znanja i dr.); i y el lt • praktiqni (primena matematiqkih znanja u rexavanju raznih pro- u blema iz svakodnevne prakse, srodnih disciplina i raznih drugih c a oblasti); F f o • razvojno - vaspitni (formiranje i razvijanje specifiqnog mate- y matiqkog stila mixljenja i osposobljavanje za aktivnosti matema- r a tiqkog karaktera, vaspitanje niza pozitivnih osobina liqnosti - r b fabulom, sadr(cid:25)inom i procesom rexavanja zadataka, ostvarivanje i L politehniqkog vaspitanja uqenika). l a u Naroqito je velika uloga problemskih zadataka u razvijanju matema- t r tiqkog mixljenja uqenika. Osnovno didaktiqko sredstvo za razvijanje i V matematiqkog mixljenja jeste, pre svega, rexavanje ovih ili onih mate- matiqkih zadataka qiji sadr(cid:25)aj ili naqin rexavanja odgovara odre(cid:14)enoj 7 2. Matematiqki zadaci i razvoj matematiqkog mixljenja karakteristici mixljenja. Karakteristika matematiqkog mixljenja mo(cid:25)e se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao xto su: • sadr(cid:25)aj ili tip mixljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno funk- cionalno, dijalektiqko, strukturno, stvaralaqko ili produktivno mixljenje). • opxte metode saznanja ili matematiqkog istra(cid:25)ivanja (posmatra- nje, indukcija, dedukcija, primena analogije, matematiqko modelo- e vanje). d a r • forma, tj. kvaliteti mixljenja koji odre(cid:14)uju stil mixljenja (gip- g l kost, aktivnost, usmerenost, ekonomiqnost, dubina, xirina i sl.). e B f • subjektivna svojstva karaktera liqnosti (taqnost, upornost, kon- o ciznost, radoznalost i dr.). y t i s U procesu nastave matematike adekvatnim didaktiqkim putevima treba r e razvijati osnovne komponente matematiqkog mixljenja, obra(cid:15)aju(cid:15)i po- v i sebnu pa(cid:25)nju na vaspitanje tzv. matematiqkog stila mixljenja. Ospo- n U sobljenost uqenika za rexavanje problemskih zadataka najbolja je kara- - kteristika stanja matematiqkog mixljenja uqenika i nivoa njihovog ma- s c tematiqkog obrazovanja. Da bi se kod uqenika razvijala sposobnost za ati c.rs rexavanje problemskih zadataka, mora se kod njih pobuditi za to odre- a m g. (cid:14)eno interesovanje, obezbediti potrebno vreme, razviti odgovaraju(cid:15)e e b h f. misaone operacije (karakteristiqne za odre(cid:14)ene faze rexavanja zada- t t a a m taka). M y. Prilikom izbora zadataka mora se stalno imati u vidu da svaki za- r of bra datak treba da ima odre(cid:14)eni cilj, svrhu, tj. treba da bude karika u i y el dobro osmixljenom sistemu zadataka za odre(cid:14)enu nastavnu jedinicu i t l temu. Svaki zadatak koji se daje uqenicima treba neqemu da ih nauqi, u c a rexavanje treba da bude korak napred u ula(cid:25)enju uqenika u matema- a F tiku. Pedagoxka vrednost zadatka ceni se prema ukupnosti svih ele- f menata koji mogu biti od interesa u konkretnoj situaciji (neposredni o nastavni cilj, da li je neophodan bax taj zadatak, konkretni podaci y r u zadatku, fabula zadatka, mogu(cid:15)nost da ga uqenik rexi i eventualna a r pomo(cid:15) nastavnika, veza sa prethodnim rexavanim i narednim zadacima b i itd.). L U nastavi matematike prvenstveno moraju biti zastupljeni zadaci l a u qije rexavanje doprinosi dubljem razumevanju i trajnom usvajanju si- t r stema matematiqkih znanja predvi(cid:14)enih nastavnim programom. Naravno, i V osim toga, moraju u dovoljnom broju biti zastupljene i ve(cid:25)be za formi- ranje ovih ili onih matematiqkih navika. Pri izuqavanju neke teme 8