Wolfgang Schwarz Problemlösen in der Mathematik Ein heuristischer Werkzeugkasten Problemlösen in der Mathematik Wolfgang Schwarz Problemlösen in der Mathematik Ein heuristischer Werkzeugkasten WolfgangSchwarz Fakultät4/Mathematik BergischeUniversitätWuppertal Wuppertal,Deutschland ISBN978-3-662-56761-6 ISBN978-3-662-56762-3(eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-56762-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagGmbHDeutschland,einTeilvonSpringerNature2018 Das Werk einschließlichallerseinerTeileist urheberrechtlichgeschützt.Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,Mikroverfilmungenund dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungen undGebietsbezeichnungeninveröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. VerantwortlichimVerlag:AndreasRüdinger GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringer-VerlagGmbH,DEundist einTeilvonSpringerNature. DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany Vorwort DasgriechischeVerbheuriskein(deutsch:finden,entdecken)liefertdenWortstamm fürdieBezeichnungeinerWissenschaft,diederMathematikdidaktiker HEINRICH WINTER als die Kunde „vom Gewinnen, Finden, Entdecken, Entwickeln neuen Wissens und vom methodischen Lösen von Problemen (...)“ charakterisiert hat: dieHeuristik. Heuristik ist keineswegs auf die Gewinnung neuer Erkenntnisse in der Mathe- matik beschränkt; dennoch zeigt das Werk großer Mathematiker von der Antike bis zur Neuzeit1, dass die Heuristik gerade in der Mathematik schon immer eine zentraleRolleeingenommenhat.HeuristikisteinwesentlicherBestandteilmathe- matischer Erkenntnisprozesse, ob es nun darum geht, potenzielle mathematische ZusammenhängezuentdeckenoderBegründungenfürvermuteteZusammenhänge zufinden. In der Mathematikdidaktik besteht Konsens darüber, dass Lernende in Schule undHochschuleinderaktivenAuseinandersetzungmitProblemlöse-undProblem- findungsprozessendieMathematiknichtals„Fertigprodukt“,sondernalskreativen Prozess erfahrensollen;folglich müssen sie über gesichertesstrategisches Wissen –einInstrumentariumheuristischerStrategien–verfügen,dassieinProblemlöse- prozessenflexibelundmethodenkompetenteinsetzenkönnen. Diesmachtdeutlich,dassinsbesonderezukünftigeLehrerinnenundLehrerdes FachsMathematikinihreruniversitärenAusbildungheuristischeKompetenzener- werbenmüssen:nichtnur,umdurchsystematischen RückgriffaufHeurismen und dieReflexionheuristischerStrategienbeimproblemgesteuertenAufbaufachmathe- matischenWissensnachhaltigzulernen(diesistfüralleStudierendenmathemati- scherFachrichtungenvonBedeutung),sondernauch,umspäter ihreSchülerinnen undSchülerbeimErwerbheuristischerKompetenzenadäquatunterstützenzukön- nen. Fraglichistaber,obsichalleindurchwiederholteAnwendungbestimmterMe- thoden beim Lösen von Übungsaufgaben, wie sie traditionell wöchentlich zu den einzelnen Fachvorlesungen gestellt werden, im Bereich des Problemlösens län- 1ExemplarischseienARCHIMEDES,DESCARTES,LEIBNIZ,BOLZANOgenannt. V VI Vorwort gerfristig eine elaborierte Methodenkompetenzherausbilden kann. Für den erfolg- reichen Einsatz strategischen Wissens im Bereich des Problemlösens ist letztlich metakognitives Wissen über Heurismen unabdingbar;ausschließlich Metastrategi- en(„Kontrollstrategien“)ermöglichendasManagementderheuristischenStruktur, indemsieHinweisedaraufgeben,wannwelcheStrategieErfolgversprechendein- zusetzenseinkönnte. AngesichtsderTatsache,dassdiestrukturierteDarstellungeinerThematikderen ReflexionaufderMetaebeneenormerleichtert,musseinefachmethodischeSyste- matik heuristischer Strategien, die nach strukturellen oder prozessualen Aspekten kategorisiert sind, vermittelt werden. Entsprechende Ansätze mit Fokus auf dem schulischenBereichwurdenzumBeispielvon REGINA BRUDER und CHRISTINA COLLET(2011)vorgestellt;ganzaktuellisteinesekundarschulorientierteKatego- risierung von Heurismen, die meine Doktorandinnen KATHARINA KRICHEL und DANIELASTILLERimRahmenihrerDissertationsprojekte(2017)erarbeitethaben. DasvorliegendeBuchrichtetsichjedochgezieltanuniversitäreLernerundLeh- rende,sowohlhinsichtlichderfachsprachlichenPräzision,alsauchimHinblickauf dieAuswahlderkonkretisierendenKontexte. VorgenommenwirdhiereinedreigliedrigeUmstrukturierungdesviergliedrigen konzeptionellen Rahmens von Heurismenklassen nach ALFRED SCHREIBER, der ebenfalls primär universitär ausgerichtet ist. An mehr als 70 Beispielen aus der DiskretenMathematik,derArithmetik,derZahlentheorie,derStochastik,derGeo- metrie, der Linearen Algebra, der Reellen Analysis und der KomplexenAnalysis, der Kombinatorik und der Mathematikgeschichte wird im vorliegenden Buch ei- neumfangreicheAuswahl heuristischer Vorgehensweisen erläutert, die strukturell systematisiertundnachMöglichkeitprozessualdenverschiedenenPhasendesPro- blemlöseprozessesnachPÓLYAzugeordnetwerden. DieBeispieleentstammen(solangenichtimEinzelfallexplizitandersvermerkt) meinereigenenmathematischenArbeit2 undwurdenmitverschiedenenZielsetzun- genentwickelt: Alle erfüllen die Funktion der Illustration der einzelnen Heurismen und ihrer fachsystematischen Einordnung, einige können in universitären Lehrveranstaltun- gen zur Heuristik des Problemlösens als Fundgrube zum Methodentraining die- nen oder bieten Ansatzpunkte für eigene mathematische Forschungstätigkeiten in Projektseminaren, einzelneBeispielegebeninteressante Einblickein mathematik- geschichtlicheZusammenhänge,undmanchenkönnenersteHinweiseentnommen werden,inwelcherWeisemanalsLehrenderdesFachsMathematikeineheuristi- sche Rekonstruktion diverser Gebiete der einführendenHochschullehrein Angriff nehmen könnte, um die heuristische Methodenkompetenz der Studierenden me- takognitiv herauszubilden und so ihre mathematische Problemlösekompetenz zu fördern. VordiesemHintergrundwirdverständlich,dassdieindenBeispielenbehandel- tenmathematischenInhalteeinegroßeBandbreiteunterschiedlicherAnforderungs- 2Es handelt sichgrößtenteils um Überarbeitungen von Inhalten meiner Habilitationsschriftaus demJahr2004. Vorwort VII niveausabbilden. Außerdemmuss festgestellt werden, dass in den meisten Fällen MischformenheuristischerStrategienbeiderBearbeitungmathematischerProble- meeingesetztwerden;darüberhinausweisenmancheHeurismensomannigfaltige Verflechtungen mit anderen heuristischen Strategien auf, dass man sie durchaus auchandersalsimFolgendenbeschriebenhätteeingruppierenkönnen. NocheineAnmerkungzumLayout:ImTextfindensichvereinzeltHinweiseauf Farbgebungen einzelner Abbildungsteile, die sich im Schwarz-Weiß-Druck nicht weiterverfolgenlassen.PrinzipiellliegenaberalleAbbildungenfarbigvor,sodass manbeimDownloaddesBuchsalseBookdavonprofitierenkann,wenndieseHin- weisebeibehaltenwerden. Wuppertal,Deutschland WolfgangSchwarz Dezember2017 Inhaltsverzeichnis 1 HeurismenderVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 VariationderDarstellung(Interpretation). . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 SystemwechselzwischenUmgangsspracheundformaler SprachemitikonischenElementen . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 SystemwechselzwischenGeometrieundAlgebra . . . . . . 9 1.1.3 Systemwechselzwischenverschiedenenmathematischen DisziplinenundLinearerAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.4 QuintessenzfürProblemlöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2 VariationderProblemstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.1 UmformulierungundAnalogiebildung . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.2 VariationderWahrnehmungdurchReorganisation . . . . . 38 1.2.3 InvarianzprinzipundSymmetrieprinzip . . . . . . . . . . . . 45 1.2.4 Generalisierung,Spezialisierung,Extremalprinzip. . . . . . 83 1.2.5 SonderformeninderenumerativenKombinatorik . . . . . . 109 1.2.6 QuintessenzfürProblemlöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2 HeurismenderInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.1 HeurismenderunvollendetenInduktion. . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2.1.1 SystematischesProbierenundSuchenachMustern . . . . . 151 2.1.2 Vorwärtsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2.1.3 LokaleundglobaleApproximation . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.1.4 QuintessenzfürProblemlöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2.2 VollendeteInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3 HeurismenderReduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.1 LaDescenteInfinie–derunendlicheAbstieg . . . . . . . . . . . . . 208 3.2 RückwärtsarbeitenundPappos-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 3.3 Modularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 3.4 QuintessenzfürProblemlöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 IX Beispielverzeichnis Beispiel1.1 Königsberger-Brücken-Problem;EULER . . . . . . . . . . . . . . . 4 Beispiel1.2 Fährmann-Problem;mathematischeFolklore . . . . . . . . . . . . 6 Beispiel1.3 Who-is-whoderHaustiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Beispiel1.4 Sechs-Stäbe-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Beispiel1.5 VergleichvonMittelwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Beispiel1.6 Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Beispiel1.7 Pythagorasvektoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Beispiel1.8 Regressionsgerade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Beispiel1.9 Glücksrad-Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Beispiel1.10 PolitikundGewissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Beispiel1.11 Aufzugbekanntschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Beispiel1.12 Neun-Punkte-Problem;WERTHEIMER . . . . . . . . . . . . . . . 44 Beispiel1.13 SaftimSekt/SektimSaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Beispiel1.14 Weißwein-Rotwein-Problem;Folklore . . . . . . . . . . . . . . . 47 Beispiel1.15 Wärmeaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Beispiel1.16 ImBanndesgeometrischenMittels . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Beispiel1.17 DasPartygast-Problem;Folklore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Beispiel1.18 DerSchüsselkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Beispiel1.19 Wasbinich? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Beispiel1.20 SchwerpunktimDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Beispiel1.21 DemDreieckeinbeschriebenesQuadrat. . . . . . . . . . . . . . . 61 Beispiel1.22 SanierungderLandesfinanzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Beispiel1.23 Parallelogramm-Sektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Beispiel1.24 Zahlenzauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Beispiel1.25 GeometrischeReiheundVerteilenvonGrößen . . . . . . . . . . 71 Beispiel1.26 Münzspiel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Beispiel1.27 Münzspiel2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Beispiel1.28 Brückenspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Beispiel1.29 Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Beispiel1.30 Oktaederhalbierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Beispiel1.31 KonvergenzintervallevonTaylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . 84 XI XII Beispielverzeichnis Beispiel1.32 Darfesetwasmehrsein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Beispiel1.33 Pythagorasgriechisch-klassisch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Beispiel1.34 GleichseitigesDreieckmitHindernissen . . . . . . . . . . . . . . 95 Beispiel1.35 EUKLIDsParallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Beispiel1.36 Grand-Slam-Tennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Beispiel1.37 SYLVESTER-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Beispiel1.38 DerSatzvonSTEINERundLEHMUS . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Beispiel1.39 Poker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Beispiel1.40 Eulersche'-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Beispiel1.41 Leproblemedesrencontres;MONTMORT . . . . . . . . . . . . . 124 Beispiel1.42 Surjektioneneinerm-Mengeaufeiner-Menge . . . . . . . . . . 126 Beispiel1.43 Domino-Steine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Beispiel1.44 MittlereTeileranzahldererstennnatürlichenZahlen . . . . . . 130 Beispiel1.45 Summenformelnfürm-tePotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Beispiel1.46 MenschenimHotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Beispiel1.47 FünfPunktemüssen’ssein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Beispiel1.48 Teilergibtesimmerwieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Beispiel1.49 NeuesvonderMärchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Beispiel1.50 PunkteimEinheitsquadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Beispiel1.51 Monotonieim„HappyEnding“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Beispiel1.52 PolynomialeMerkwürdigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Beispiel2.1 Loreley-Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Beispiel2.2 Lotto-DesignsI–HillClimbing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Beispiel2.3 StetigeVerzinsung–BERNOULLIsTraumvomReichtum . . . . 176 Beispiel2.4 QuadraturderParabelnachARCHIMEDES. . . . . . . . . . . . . . 181 Beispiel2.5 Das„momentane“VerschwindenstetigerFunktionen . . . . . . . 186 Beispiel2.6 CAUCHYscherIntegralsatzfürRechteckenachGOURSAT . . . . 190 Beispiel2.7 VollparadoxeInduktion–PIN-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Beispiel2.8 Binomialkoeffizienteneinmalanders . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Beispiel3.1 InfiniterAbstieg:InkommensurabilitätimPentagon . . . . . . . . 209 p Beispiel3.2 DescenteInfinieunddieIrrationalitätvon n . . . . . . . . . . . 213 Beispiel3.3 DescenteInfinieunddiePELLscheGleichung . . . . . . . . . . . 213 Beispiel3.4 DescenteInfinieundpythagoräischeDreiecke . . . . . . . . . . . 217 Beispiel3.5 Umfüllversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Beispiel3.6 Sehnenvierecke–PAPPOS-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Beispiel3.7 Lotto-DesignsII–Rückwärtsarbeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Beispiel3.8 STEINERundLEHMUSII–Analysis-Synthesis-Prozedur . . . . 230 Beispiel3.9 DivideandConquer–Auseinsmach’zwölf . . . . . . . . . . . . 237 Beispiel3.10 Ziffernspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Beispiel3.11 Lotto-DesignsIII–Modularisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . 246