Problemi per ragazzini dai 5 ai 15 anni V.I. Arnold Sommario Questofascicolopresenta77problemiutiliasvilupparelacapaci- tàdiragionare,chel’autorehasceltoohacompostodisuopugno. In generale, la loro soluzione non richiede conoscenze diverse da quellechesiacquistanoinunabuonascuolasecondaria.Maper alcuni di essi, venirne a capo, può rivelarsi una sfida anche per moltiprofessori. Il libro si rivolge a studenti, universitari, insegnanti, genitori – a chiunque consideri la cultura del ragionamento una parte essenzialedellosviluppodellapersonalità. 1 Prefazione Ho messo questi problemi su carta a Parigi nella primavera del 2004, quando alcuni Russi residenti a Parigi mi chiesero di aiutare i loro ragazzi a recuperare la cultura del ragionamento propria della tradizione russa. Sonoprofondamenteconvintodelfattochequestaculturasicoltiva perlopiùattraversoriflessioniprecocieautonomesuquestionisempli- ci, ma non banali simili a quelle qui sotto proposte (si raccomandano in modo particolare i problemi 1, 3, 13). La mia lunga esperienza ha dimostrato che, molto spesso, coloro che a scuola sembrano i più tonti li risolvono meglio degli alunni eccellenti, poiché – per la loro sopravvivenza nell’ultimo banco della classe – essi devono pensare di più di quanto richiesto per governare SivigliaeGranadainsieme,comeusavadireFigarodiséstesso,men- tre gli alunni di livello alto, in questo tipo di problemi, non riescono a cogliere che cosa dovrebbe essere moltiplicato per che cosa. Ho anche notato che i bambini di cinque anni risolvono problemi simili meglio di alunni viziati dall’addestramento, che a loro volta, di fronte a quesiti di questo genere, fanno meglio di studenti universi- tari abituati a sgobbare i quali, a loro volta, comunque, battono i loro professori (i peggiori nel risolvere questi semplici problemi sono i vincitori di premio Nobel e medaglia Fields). 2 I problemi 1. A Masha mancano 7 copechi per comprare un libro, a Misha ne manca 1 solo. Mettono insieme i loro soldi per comprare un solo libro da condividere, ma non ce la fanno lo stesso. Quanto costa il libro? 2. Una bottiglia con il tappo di sughero costa 10 copechi, mentre la bottiglia da sola costa 9 copechi più del tappo. Quanto costa la bottiglia senza il tappo? 3. Un mattone pesa una libbra più mezzo mattone. Quante libbre pesa il mattone? 4. Un cucchiaio di vino viene versato da una botte di vino in un bicchiere (non pieno) di tè. Successivamente, uno stesso cucchiaio del miscugliovieneriportatonellabotte.Aquelpuntosianellabotteche nel bicchiere c’è un determinato volume di liquido estraneo (vino nel bicchiere e tè nella botte). In quale dei due c’è il maggior volume di liquido estraneo: nel bicchiere o nella botte? 5. All’albaduevecchiesignorepartonodaAversoB edaB versoA, dirigendosi l’una verso l’altra (lungo la stessa strada). Si incontrano a mezzogiorno, ma non si fermano e ognuna di loro prosegue cammi- nando alla stessa velocità di prima; la prima signora arriva a B alle 16:00 mentre la seconda arriva in A alle 21:00. A che ora era l’alba di quel giorno? 6. L’ipotenusadiuntriangolorettangolo(neltestodiunesamestan- darddiunascuolaamericana)èdi10pollici,l’altezzaadessarelativa è di 6 pollici. Trovare l’area del triangolo. Gli studenti americani, per dieci anni, credettero di aver risolto questo problema senza difficoltà. Poi arrivarono alcuni studenti rus- si da Mosca e nessuno di essi fu in grado di risolverlo (rispondendo 30 pollici quadrati) come avevano fatto i loro compagni americani. Perché? 7. Vasya ha più sorelle che fratelli e precisamente ne ha 2 in più. I genitori di Vasya hanno dunque più figlie che figli maschi. Quante in più? 3 8. C’è un lago rotondo in Sud America. Ogni anno, il 1° giugno un fioreVittoriaRegiacompareproprioinmezzoallago(ilsuosteloviene sudalfondoeisuoipetalisiappoggianosull’acquacomequellidiuna ninfea). Ogni giorno l’area occupata dai petali del fiore raddoppia e finalmente il 1° luglio copre l’intero lago, i petali si staccano e i semi affondano nel lago. Quando l’area occupata dai petali del fiore corrisponde alla metà della superficie del lago? 9. Un contadino deve portare un lupo, una capra e un cavolo, con unabarca,sull’altrarivadiunfiume.Labarcaècosìpiccolacheriesce aportaresoltantounodeitreabordooltrealui.Comepuòtrasportare tutti e tre sull’altra sponda (può fare più viaggi, ma il lupo non può esserelasciatosoloconlacapraelacapranonpuòesserelasciatasola con il cavolo)? 10. Nell’arco della giornata una lumaca sale di 3cm su un palo ma, durante la notte, inavvertitamente, mentre dorme scivola giù 2cm. Il paloèalto10mesullacimadelpalositrovaunaleccornia(perigusti della lumaca). In quanti giorni la lumaca raggiungerà la leccornia? 11. Unesploratoresiallontanadallasuatendacamminando10kmverso Sud, poi si gira verso Est e percorre altri 10km, incontra il suo amico orso, si gira verso Nord e dopo altri 10km si ritrova presso la sua tenda. Di che colore è l’orso e dove sta accadendo tutto ciò? 12. Oggi, a mezzogiorno (12:00), c’è stata alta marea. A che ora cii sarà domani nello stesso posto? 13. Due volumi di Pushkin, il primo e il secondo sono accostati su uno scaffale. Le pagine di ogni volume hanno complessivamente uno spessore di 2cm e per ognuno le due copertine – sia quella frontale che quella finale – hanno uno spessore di 2mm. Una tarma dei libri haperforato,rosicchiando,dallaprimapaginadelvolume1all’ultima pagina del volume 2 perpendicolarmente alle pagine. Quanto è lunga la traccia lasciata dalla tarma? [Questo problema topologico ha una risposta incredibile cioè 4mm ed è assolutamente impossibile per gli accademici, mentre alcuni alunni in età prescolare lo affrontano con agilità.] 4 14. Trovareunoggettochevistodall’altoevistodifronteappaiaco- me disegnato qui sotto. Disegnare il suo profilo (mostrando gli spigoli invisibili del poliedro mediante tratteggio). Vistadall’alto Vistadifronte 15. Quanti modi ci sono di ottenere il numero 64 come somma di dieci numeri naturali maggiori di 1, tra i quali il massimo sia 12? [Modi che differiscono solamente per l’ordine degli addendi devono esser conteggiati una sola volta.] 16. Sovrapponendo poche sbarre simili una sull’altra (potrebbero essere per esempio tessere del domino) si può ottenere una sporgenza di lunghezza x. Qual è il massimo valore che si può ottenere per x?  x 17. La distanza tra due città A e B è di 40km. In uno stesso mo- mento due ciclisti partono il primo da A con una velocità di 10km/h e il secondo da B con una velocità di 15km/h e si muovono l’uno ver- so l’altro. Una mosca parte con il primo ciclista con una velocità di 100km/h,raggiungeilsecondo,toccalasuafronteevolaindietroverso il primo, tocca la sua fronte e torna verso il secondo e così via finché le fronti dei due ciclisti si scontrano e schiacciano la mosca. Quanti km ha fatto in tutto la mosca? B A 5 18. Una tessera del domino copre esattamente due quadrati di una scacchiera. Ricoprire con 31 pezzi del domino tutti i quadrati di una scacchiera8(cid:2)8,tranneduechesitrovinoindueverticiopposti,come è illustrato nella figura. 19. Nellastanzacubicadisegnataquisottounbrucovuolestrisciare dall’ angoloindicato in basso a sinistra all’angolo opposto indicato in altoadestra.Trovareilpercorsopiùbrevelungoleparetidellastanza. 20. Si hanno due recipienti di volume 5 litri e 3 litri. Come si può, usando solamente questi due recipienti, ottenere esattamente un litro in uno di essi?   21. In una famiglia ci sono 5 teste e 14 gambe. Quante persone e quanti cani ci sono in quella famiglia? 22. Tre triangoli equilateri vengono costruiti esternamente sui lati AB, BC e CA di un triangolo ABC. Dimostrare che i loro centri ((cid:3)) individuano un triangolo equilatero. 6 B ∗ ∗ A C ∗ 23. Quali poligoni si possono ottenere sezionando un cubo con un piano? Si può ottenere un pentagono? Un ettagono? E un esagono regolare? 24. Tracciare una linea retta che passi per il centro di un cubo e sia tale che la somma dei quadrati delle distanze da essa degli otto verticidelcubosiaa)massima,b)minima(rispettoadaltreretteche passano per il centro). 25. Un cono circolare retto viene tagliato da un piano lungo una curva chiusa. Due sfere inscritte nel cono sono tangenti al piano, una nel punto A e l’ altra nel punto B. Trovare un punto C sulla linea di taglio in modo che la somma delle distanze CA+CB sia a) massima, b) minima. A B 7 26. Si proietta la superficie della Terra sul cilindro formato dalle rette tangenti ai meridiani nel punto in cui intersecano l’equatore; la proiezione avviene lungo le semirette che sono parallele al piano del- l’equatoreeincidentil’assefraiduepoli.L’areadellaproiezionedella Francia sarà più grande o più piccola dell’area della stessa Francia? 27. Dimostrare che, se p è un primo dispari, il resto della divisione delnumero2p(cid:0)1perpè1.(Esempi:22 =3a+1,24 =5b+1,26 =7c+1, 210(cid:0)1=1023=11(cid:1)93) 28. Un ago lungo 10cm viene gettato a caso su un foglio a righe in cuiladistanzatraduerighevicineèpuredi10cm.Questaazioneviene ripetuta N (un milione) di volte. Quante volte (approssimativamente, amenodiunerrorepercentualmentepiccolo)l’agocadutointersecherà una riga sul foglio? Si può ripetere l’azione (come io feci all’età di 10 anni) con 100 invece che con un milione di lanci. [La risposta a questo problema è sorprendente: 2N. er un ago ricurvo di lunghezza a(cid:1)10cm il numero (cid:25) di intersezioni che si osservano sarà approssimativamente 2aN. Dove (cid:25) pi vale circa (cid:25) (cid:25) 355 (cid:25) 22:] 113 7 29. Tre tra i solidi platonici ci sono poliedri con facce triangolari: il tetraedro (4 facce), l’ottaedro (8 facce), l’icosaedro (20 facce – è interessante provare a disegnarlo: esso ha 12 vertici e 30 spigoli). 8