Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno(cid:21)Matemati£ki Fakultet, Departman za Matematiku i Informatiku PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U ANALITI(cid:131)KOJ GEOMETRIJI, ALGEBRI I ANALIZI Master rad Autor: Sini†a Feher Mentor: prof. dr Arpad Taka£i Novi Sad, 27. juni 2017 Sadr”aj PREDGOVOR 2 1 ISTORIJA KOMPLEKSNIH BROJEVA 4 2 NEKE OZNAKE, DEFINICIJE 10 3 KOMPLEKSNIBROJEVIIANALITI(cid:131)KAGEOMETRIJA 14 3.1 Analiti£ka geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Kompleksnim brojevi i geometrija u ravni . . . . . . . . . . . 22 3.3 Dokazivanje identiteta vezanih za trougao . . . . . . . . . . . 31 4 KOMPLEKSNIH BROJEVA I ALGEBRA 36 4.1 Kona£ni zbirovi i sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Sume generisane binomnim obrascem . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Izra£unavanje kona£nih proizvoda . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Kompleksni brojevi i algebra polinoma . . . . . . . . . . . . . 51 4.5 Re†avanje trigonometrijskih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . 59 5 KOMPLEKSNI BROJEVI I ANALIZA 60 5.1 Primena kompleksnih brojeva u re†avanju nekoliko tipova ne- odredjenih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 KOMPLEKSNI BROJEVI I NEJEDNAKOSTI 66 7 TAKMI(cid:131)ARSKI ZADACI I KOMPLEKSNI BROJEVI 71 7.1 PRIMERI PRIPREMNIH ZADATAKA ZA MATEMATI(cid:131)KA TAKMI(cid:131)ENJA . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.2 PRIMERI TAKMI(cid:131)ARSKIH ZADATAKA . . . . . . . . . . . 75 8 OSNOVNI STAV ALGEBRE 81 ZAKLJU(cid:131)AK 84 LITERATURA 85 BIOGRAFIJA 87 KLjU(cid:131)NA DOKUMENTACIJA 88 1 PREDGOVOR Oblast matematike kompleksni brojevi je izuzetno †iroka. Odavno je po- znata izreka (cid:17)najkra¢i put u realnom domenu je kroz kompleksni domen(cid:17). Ova izreka na najslikovitiji na£in odslikava ideju ovog master rada. U radu je obradjeno nekoliko matemati£kih tema uz pomo¢ metoda u kojima se primenjuju kompleksni brojevi. Osim osnovnih de(cid:28)nicija i istorijskog osvrta na nastanak pojma komplek- snog broja prikazana je primena ovih brojeva, na elementarnom nivou, u nekoliko oblasti matematike. Sistemati£no izlo”eno i po poglavljima je obradjeno: Uprvompoglavljujedatoistorijskonastajanjekompleksnogbrojaimotivi koji su proiza†li prvenstveno iz re†avanja algebarskih jedna£ina. Sam pojam kompleksnog broja je neodvojivo vezan za re†avanje algebarskih jedna£ina uz pomo¢ (cid:16)radikala(cid:17). Udrugompoglavljujedatonekolikoelementarnihde(cid:28)nicijakojeutvrdjuju strukturu polja kompleksnih brojeva. Utre¢empoglavljuobradjenesujedna£ineprave, kruga, elipseihiperbole. Poseban osvrt je dat na Apolonijevu kru”nicu. U ovom poglavlju je obra- djeno nekoliko problema koji pokazuju e(cid:28)kasnost primene kompleksnog broja na re†avanje geometrijskih problema u ravni. Ta£nije ovde je prvenstveno ukazana prednost kompleksnih brojeva u re†avanju problema koji zahtevaju (cid:16)rotacije(cid:17). Same rotacije u analiti£koj geometriji su analiti£ki zahtevne! U ovompoglavljujedokazanoinekolikoteoremavezanihzaplanimeriju, dokazi su direktno implicirani algebarskim operacijama sa kompleksnim brojevima. U £etvrtom poglavlju obradjena je primena kompleksnih brojeva na iz- ra£unavanje zbirova i proizvoda trigonometrijskih funkcija. Ova oblast po- kazuje snagu i e(cid:28)kasnost kompleksnih brojeva u punom kapacitetu. Naime, standardne metode bez upotrebe ove metode su uglavnom mnogo zahtevnije i zahtevaju mno†tvo trigonometrijskih transformacija i domi†ljatosti da bi se do†lo do ”eljenog re†enja. U nekoliko primera je pokazano koliko je e(cid:28)kasno kombinovanje algebre sa kompleksnim brojevima u cilju dobijanja vredno- sti trigonometrijskih funkcija za ne tipi£ne vrednosti uglova. Kao jo† jednu primenu kompleksnog broja u algebri obrazlo”eno je na koji na£in mo”emo re†avati trigonometrijske jedna£ine. U petom poglavlju prikazana je primena Ojlerovog oblika kompleksnog broja na re†avanje nekoliko tipova integrala. U primeru 2 je jedan integral re†en na vi†e na£ina iz razloga (cid:16)uporedjivanja jednostavnosti(cid:17). Poglavlje †est je rezervisano za vezu nejednakosti i kompleksnih brojeva. Udvaprimerajedokazananejednakostzatrougaodoksuuostalatriprimera date nejednakosti koje utvrdjuju veze izmedju kompleksnih brojeva. 2 U sedmom poglavlju su dati primeri takmi£arskih zadataka koji uglavnom ilustruju primenu kompleksnih brojeva na planimetriju. Zadaci su pa”ljivo izabrani sa ciljem da iska”u pun kapacitet kompleksnih brojeva. U osmom poglavlju je dokazana fundamentalna teorema algebre (osnovna teorema algebre) koja predstavlja jedan od najzna£ajnijih rezultata u mate- matici. * * * Ovim putem bih da se zahvalim svom mentoru dr. Arpadu Taka£iju i profesorici dr. Djurdjici Taka£i na svim stru£nim savetima, sugestijama i primedbama u toku pripreme ovog master rada. Takodje se zahvaljujem i £lanovima komisije dr. Nenadu Teofanovu i dr. Milici (cid:154)igi¢. Veliku zahvalnost dugujem i svojoj porodici i prijateljima na podr†ci to- kom osnovnih i master studija. Takodje se zahvaljujem i kolegama Draganu Rukavini, Veliboru (cid:154)eliju, Slavici Ze£evi¢, Sini†i Mi†ovi¢u, Stanku Crnobrnji na pomo¢i u pripremanju ispita, kompjuterskoj, lektorskoj i svakoj drugoj podr†ci. Profesori koje nikako ne mogu da izostavim su dr. Aleksandar Pavlovi¢ prvi koga sam upoznao na fakultetu i koji mi je dao sve informacije, savete i uvek bio dostupan za bilo koji problem, kao i dr. Neveni Pu†i¢ na razume- vanju i svakoj pomo¢i pri izboru mentora i prilikom studiranja. Novi Sad, jun 2017. Sini†a Feher 3 1 ISTORIJA KOMPLEKSNIH BROJEVA Kompleksni brojevi su se pojavili usled potrebe da se re†e kubne jedna- £ine, a ne kvadratne kao †to je ustaljeno verovanje. Ovu tvrdnju mo”emo potkrepiti istorijskim £injenicama. Abu Abdula Muhamed bin Musa Al-Huarizmi (780-850) u svom delu Al- gebra nudi re†enja za kvadratne jedna£ine razli£itih tipova. Ta re†enja se po- klapaju sa onim koje se danas u£e u †kolama, odnosno striktno su ograni£ena na pozitivna re†enja. Dokazi su geometrijske prirode. Kao izvore najvero- vatnije je koristio gr£ka i indijska matemati£ka otkri¢a. Prema re£ima G. J. Trumera, pod kalifom Al Mamunom, Al-Huarizmi je postao £lan (cid:16)Ku¢e Mu- drosti(cid:16) (Dar al-Hikma), odnosno prete£e modernih akademija nauka koja je bilaosnovanauBagdadu. "Ku¢aMudrosti(cid:16) jeverovatnijeosnovanaodstrane kalifaHarumaal-Ra†ida, medjutimsvojvisokstatusdugujeal-Mamunu, veli- kom pokrovitelju obrazovanja i nauke. Upravo je za al-Mamuna al-Huarizmi napisao svoj astronomski esej, a i sama Algebra je takodje posve¢ena ovom vladaru. Algebarske metode koje su ve¢ bile poznate arapima su u Italiju uvedene putem latinskog prevoda Algebre Al-Huarizmija od strane Gerarda od Kre- mone (1114-1187), kao i kasnije kroz radove Leonarda iz Pize (1170-1250), poznatijeg kao Fibona£i. Oko 1225, za vreme predsedavanja Fredrika II na Siciliji, Leonardo iz Pize je doveden pred cara. Lokalni matemati£ar je njemu postavio nekoliko problema, koje je Leonardo uspeo da re†i. Jedno od tih problema je bilo i re†enje jedna£ine x3 +2x2 +10x = 20 Uop†tena kubna jedna£ina x3 +ax2 +bx+c = 0 se mo”e svesti na jednostavniju formu x3 +px+q = 0 smenom promenljive x(cid:48) = x + 1a. Ova smena promenljive se prvi put 3 javlja krajem 14-og veka u dva anonimna manuskripta iz Firence. Ako se uvrste jedino pozitivni koe(cid:28)cijenti i pozitivne vrednosti promen- ljive x, javljaju se tri slu£aja koji se zajedno nazivaju nepravim kubnim jedna£inama (1) x3 +px = q 4 (2) x3 = px+q (3) x3 +q = px Prvi koji je re†io jedna£inu (1) (a mo”da i (2) i (3)) je bio Scipione del Fero, profesor na Univerzitetu u Bolonji do svoje smrti 1526. godine. Na svojoj samrtni£koj postelji, del Fero je formulu poverio svom u£eniku Anto- niju Mariji Fioreu. Fiore je izazvao Tartalju na matemati£ko takmi£enje i no¢ pre tog okr†aja, Tartalja je takodje ponovo otkrio tu formulu i pobedio na takmi£enju. Nakon toga je Tartalja formulu (ali ne i njen dokaz) predo£io Djerolamu Kardanu, koji se zakleo na tajnost. Znaju¢i formulu, Kardano je uspeo da rekonstrui†e dokaz. Kasnije je Kardano saznao da je del Fero znao formulu i on je to potvrdio intervjui†u¢i rodjake koje su mu dali uvid u Ferove dokumente. Kardano je tada formule za sva tri slu£aja objavio u knjizi Ars Magna 1545. godine. Vredi pomenuti da je Kardano naveo del Fera kao prvog autora, i Tartalju kao nekoga koje uspeo da kasnije dodje do formule nezavisno od njih dvojice. Ote”avaju¢a okolnost u slu£aju (2) koja nije prisutna u re†enju slu£aja (1) je mogu¢nost javljanja kvadratnog korena negativnog broja unutar nu- meri£kog izraza koji daje formula. Izvodjenje je slede¢e: smenom x = u+v u x3 = px+q se dobija x3 −px = u3 +v3 +3uv(u+v)−p(u+v) = q Postaviti 3uv = p iznad kako bi se dobilo u3 +v3 = q i, takodje, u3v3 = (p)3. Odnosno, zbir i proizvod dva kuba su poznati. Ovo se koristi kako bi 3 se formirala kvadratna jedna£ina koja je laka za re†avanje: (cid:114) (cid:114) 1 1 x = u+v = q +ω + q −ω 2 2 gde je (cid:114) 1 1 ω = ( q)2 −( p)3 2 3 Takozvani nesvodljivi slu£aj (casus irreducibilis, latinski) se javlja kada je izraz ispod korena u izrazu ω negativan. Kardano je izbegao raspravu o ovom slu£aju u Ars Magni. Mo”da je, po njegovoj logici, ovo izbegava- nje i bilo opravdano (neta£nim) poklapanjem izmedju nesvodljivog slu£aja i nedostatka pravog, pozitivnog re†enja za kub. 5 √ Kardano je bio prvi koji je uveo kompleksne brojeve a+ −b u algebru, medjutim sumnjao je u tu svoju odluku. U Poglavlju 37 Ars Magne posta- vljen je slede¢i problem: "Kako podeliti 10 na dva dela, tako da je proizvod ta dva dela 40?". Kada postavimo ovaj zadatak imamo: x+y = 10 xy = 40 Posle nekoliko transformacija: 40 y = x 40 x+ = 10 x Dobijamo kvadratnu jedna£inu: x2 −10x+40 = 0 (cid:131)ija su re†enja: √ √ x = 5+ −15 i x = 5− −15 1 2 Kako u to vreme nisu znali †ta je to koren iz negativnog broja nisu znali †ta da rade sa ovim rezultatom. RafaelBombelijeautorAlgebre(L’Algebra),tritomaizdataizmedju1572 √ i 1579. Bombeli uvodi notaciju za −1 i naziva je (cid:16)piu di meno(cid:16). Razma- tranje vezano za kubove u Algebri se nastavlja na Kardanoa, medjutim sada je nesvodljivi slu£aj razmotren u potpunosti. Bombeli razmatra jedna£inu x3 = 15x+4 za koju Kardanoova formula daje (cid:113) √ (cid:113) √ x = 3 2+ −121+ 3 2− −121 Bombeli prime¢uje da je re†enje kubne jedna£ine x = 4, i zatim tuma£i izraz izveden Kardanovom formulom kao jo† jedan izraz za x = 4 na slede¢i na£in. On postavlja jednakost (cid:113) √ 3 2+ −121 = a+bi iz koje zakljucuje da je 6 (cid:113) √ 3 2− −121 = a−bi i dobija, putem algebarskih transformacija, a = 2 i b = 1. Stoga je x = a+bi+a−bi = 2a = 4 Nakon ove procedure, Bombeli nagla†ava: (cid:16)Iz prva mi se £inilo da je ovo verovatnije zasnovano na so(cid:28)zmu nego na istini, medjutim ja sam tragao sve dok nisam na†ao dokaz.(cid:16) Rene Dekart (1596-1650) je bio (cid:28)lozof £ije delo, Geometrija (La Geome- trie, fran), uklju£uje i njegovu primenu algebre na geometriju, iz koje poti£e moderna Kartezijanska geometrija. Dekarta su prijatelji podstrekivali da objavi svoje radove i on je napisao esej o nauci pod naslovom ‘Diskusija o metodi za dobrim vodjenjem razumom i potrage za istinom u naukama’ . Postojala su tri dodatka ovom delu, Dioptrija, Meteori i Geometrija. Esej je objavljen u Lajdenu 1637. godine. Dekart je povezivao imaginarne brojeve sa geometrijskom nemogu¢no†¢u. Ovo se mo”e videti iz geometrijske kon- strukcije koju je upotrebio da re†i jedna£inu z2 = az−b2, gde su promenljive a i b2 obe pozitivne. Dekart je uveo re£ imaginaran: ‘Zabilokojujedna£inumo”emozamislitionolikokorenakolikotonjenste- pen dopu†ta, medjutim u mnogim slu£ajima nema te koli£ine koja odgovara onome †to mo”emo zamisliti’. D”on Volis (1616-1703) u svom delu Algebra prime¢uje da negativni bro- jevi, †to je dugo bilo vidjeno sa sumnjom od strane matemati£ara, imaju savr†eno dobro (cid:28)zi£ko obja†njenje bazirano na liniji sa ozna£enom nulom, gde su negativni brojevi oni sa leve strane te nule, a pozitivni oni sa desne strane. On je takodje na£inio neke korake ka davanju geometrijske interpre- tacije korenu -1. Abraham de Moavr (1667-1754) je napustio Francusku sa 18 godina kako bi na†ao religijsko uto£i†te u Londonu, gde je postao prijatelj sa Njutnom. 1698. godine on pominje da je Njutn znao za verziju onog †to mi danas nazivamo de Moavrovom teoremom £ak od 1676. godine: (cos(θ)+isin(θ))n = cos(nθ)+isin(nθ) gde je n celobrojna vrednost. O£igledno je Njutn koristio ovu formulu za prora£une kvadratnih korena koji se javljaju u Kardanoovim formulama, u nesvodljivom slu£aju. De Moavr je bio upoznat sa i koristio formulu koja danas nosi njegovo ime, †to je jasno iz njegovih spisa uprkos tome †to on tu formulu nije nikada eksplicitno ispisao. 7 √ L. Ojler (1707-1783) je uveo notaciju i = −1, i gra(cid:28)£ki prikazao kom- pleksne brojeve kao ta£ke sa trougaonim koordinatama, medjutim on ipak nije dao zadovoljavaju¢e utemeljenje †to se ti£e kompleksnih brojeva. Ojler je koristio formulu x+iy = r(cos(θ)+isin(θ)), i gra(cid:28)£ki je predstavio korene od zn = 1 kao vektore pravouglog mnogougla. On je de(cid:28)nisao kompleksni eksponent i dokazao identitet eiθ = cos(θ)+isin(θ). Kaspar Vesel (1745-1818), Norve”anin, je bio prvi £ovek koji je do†ao do prikladnog prikaza kompleksnih brojeva i objavio ga. Desetog marta 1797. godine Vesel je svoj rad pod nazivom (cid:16)O analiti£kom prikazu smera(cid:16) koji je prezentovao Danskoj Kraljevskoj Akademiji Nauka. Rad je objavljen u Akademijinim Memoarima iz 1799. Kvalitet rada je toliko visoko ocenjen da je ujedno postao i prvi nau£ni rad koji je izdao izdava£ koji nije £lan akademije. Veselov rad, napisan na danskom, je ostao neprime¢en do 1897. godine, kada ga je prona†ao antikvar i kada je njegovu vrednost prepoznao danski matemati£ar Sofus Kristian Juel. Veselov pristup je koristio ono †to mi danas nazivamo vektorima. On ko- risti geometrijsko sabiranje vektora (zakon paralelograma) i de(cid:28)nisano mno- ”enje vektora u smislu onoga sto danas nazivamo sabiranjem polarnih uglova i mno”enjem magnituda. (cid:154)an-Rober Ar”an (1768-1822) je bio knjigovodja iz Pariza, i nije poznato dalijebiomatemati£kiobu£en. 1806Ar”anjeizdaoletakuslobodnoj†tampi i ograni£enom tira”u, i pri tome se nije potpisao. Naslov je bio "Esej o geo- metrijskoj interpretaciji imaginarnih veli£ina". Jedna od kopija je zavr†ila u rukama matemati£ara A. Le”endra (1752-1833), koji dati esej spominje u pi- smu Fransoi Francesu, profesoru matematike. Posle Fransoove smrti, njegove spise nasledjuje brat Jakes, matemati£ar i profesor ratne umetnosti. On je prona†ao Le”endrovo pismo koje opisuje Ar”anov matemati£ki rezultat, me- djutim Le”endr nigde ne spominje Ar”ana. Zakes izdaje £lanak 1813. godine u Analima Matematike (fran), gde opisuje osnove kompleksnih brojeva. U zadnjem paragrafu Jakes odaje priznanje Le”endrovom pismu, i poziva nepo- znatog autora da se predstavi javnosti. Ar”an je £uo za ovo i njegov odgovor je †tampan u slede¢em izdanju ”urnala. Vilijam Rovan Hamilton (1805-1865) je u svom memoaru iz 1831. go- dine de(cid:28)nisao uredjene parove realnih brojeva (a,b) kao uredjen par. On je de(cid:28)nisao sabiranje i mno”enje parova: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) i (a,b)(c,d) = (ac−bd,bc+ad). Ovo je zapravo algebarska de(cid:28)nicija kompleksnih brojeva. Karl Fridrih Gaus (1777-1855). Postoje indicije da je Gaus u svom po- sedu imao geometrijsku reprezentaciju kompleksnih brojeva £ak od 1796., ali ih nije objavio sve do 1831. godine; kada je svoje ideje dao na proveru 8 Kraljevskom Dru†tvu Gotingena. Gaus je uveo termin kompleksni broj. U pismu iz 1811. godine, Gaus Beselu pominje teoremu koja kasnije po- staje poznata kao Ko†ijeva teorema. Ovo nikada nije publikovano, nego je kasnije otkriveno od strane Ko†ija i Vajer†trasa. Augustin-Lui Ko†i (1789-1857) je zapo£eo teoriju kompleksnih funkcija u memoaru iz 1814. godine, koji je predao Francuskoj Akademiji Nauka. Termin analiti£ka funkcija nije pomenut u tom memoaru, medjutim sam koncept je tu. Memoar je objavljen 1925. godine. Integrali po konturama se takodjenalazeumemoaru,medjutimPoasonjeprvi1820. godineobjaviorad sa putanjom koja nije na realnoj liniji. Ko†i je konstruisao skup kompleksnih R[x] brojeva . x2+1 9