8 9 Preuve d’une conjecture de 9 1 Frenkel-Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen n a J 3 Ngˆo Bao Chˆau 2 ] G Abstract A . We prove a conjecture of Frenkel-Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen on h t some exponential sums related to the geometric Langlands correspon- a dence. Our main ingredients are the resolution of Lusztig scheme m of lattices introduced by Laumon and the decomposition theorem of [ Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber. 1 v 9 1 L’´enonc´e 0 1 1 0 Soient k = Fq un corps fini, O = k[[̟]] le corps des s´eries formelles `a une 8 variable ̟ et F son corps des fractions. Soient d et n deux entiers naturels. 9 A la suite de Lusztig ([6]), consid´erons le sch´ema X de type fini sur k dont / d h l’ensemble des k-points est celui des r´eseaux R ⊂ On tels que dim(On/R) = t a d. L’action de GL(n,O) sur l’ensemble de ces r´eseaux peut ˆetre vue comme m l’action d’un groupe alg´ebrique G avec G (k) = GL(n,O/̟dO), sur X . : d d d v Les orbites de cette action sont en nombre fini. Pour chaque n-partition i X λ de d, c’est-`a-dire λ = (λ ≥ ··· ≥ λ ≥ 0) avec |λ| = λ + ···+ λ = d, 1 n 1 n r notonsX l’orbitedeG passantparler´eseau̟λOn ou` ̟λ d´esignelamatrice a λ d diagonale diag(̟λ1,...,̟λn). On a la stratification en parties localement ferm´ees X = X qui refl`ete la d´ecomposition de Cartan |λ|=n λ S GL(n,F) = GL(n,O)̟λGL(n,O). a λ1≥···≥λn En effet, on a X (k) = GL(n,O)̟λGL(n,O)/GL(n,O). λ 1 Pour chaque λ, notons X¯ l’adh´erence de l’orbite X dans X . Rappelons λ λ d que X ⊂ X¯ si et seulement si µ ≤ λ selon l’ordre partiel habituel entre les µ λ n-partitions de d : µ +···+µ ≤ λ +···+λ 1 i 1 i pour tout i = 1,...,n−1 ([6]). Fixons un nombre premier ℓ diff´erent de la caract´eristique p de k. Soit Q¯ ℓ une clˆoture alg´ebrique de Q . Notons A le complexe d’intersection ℓ-adique ℓ λ de X¯ . λ Pour chaque α ∈ Nn tel que |α| = d, notons S la partie localement α ferm´ee de X dont l’ensemble des k-points est celui des r´eseaux R ⊂ On tels d que pour tout i, on a i i−1 i−1 i−1 (R∩ e O)/(R∩ e O) = ( e O⊕̟αie O)/ e O j j j i j M M M M j=1 j=1 j=1 j=1 ou` (e ) d´esigne la base standard de On. La stratification X = S i d |α|=d α refl`ete la d´ecomposition d’Iwasawa S GL(n,F) = N(F)̟αGL(n,O), αa∈Zn ou` N d´esigne le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures unipo- tentes de GL(n). En effet, on a S (k) = N(F)̟αGL(n,O)/GL(n,O). α La fonction trace de Frobenius de A s’identifie naturellement `a une fonc- λ tion A `a support compact dans GL(n,F) qui est bi-GL(n,O)-invariante. λ Fixons un caract`ere additif non trivial ψ : k → Q¯× et notons θ : N(F) → Q¯× ℓ ℓ le caract`ere d´efini par n−1 θ(n) = ψ( res(n d̟)). i,i+1 X i=1 Consid´erons l’int´egrale I(̟α,A ) = A (n̟α)θ(n)dn, λ Z λ N(F) ou` la mesure de Haar normalis´ee dn de N(F) attribue `a N(O) la mesure 1. Dans [4], Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan et Vilonen ont d´emontr´e le th´eor`eme suivant. 2 Th´eor`eme 1 Si α 6= λ, on a I(̟α,A ) = 0. λ Si α = λ, on a I(̟λ,A ) = qhλ,δi λ ou` 1 δ = (n−1,n−3,...,1−n) 2 et ou` n hλ,δi = λ δ . i i X i=1 Lorsque la suite α = (α ,···,α ) n’est pas d´ecroissante, on peut trouver 1 n n′ ∈ N(F) ∩ ̟αGL(n,O)̟−α tel que θ(n′) 6= 1. Or, comme A est bi- λ GL(n,O)-invariante, on a A (n̟α)θ(n)dn = A (nn′̟α)θ(n)dn Z λ Z λ N(F) N(F) = θ(n′)−1 A (n̟α)θ(n)dn Z λ N(F) doncI(̟α,A ) = 0. Lecasint´eressant est doncceluiou` αest unen-partition λ de d. Dans ce cas, on a N(F)∩̟αGL(n,O)̟−α ⊂ N(O) si bien que le caract`ere N(F) → k d´efini par n−1 n 7→ res(n d̟) i,i+1 X i=1 induit un morphisme h : S → G . Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan et Vilonen α α a ont conjectur´e dans [4] l’´enonc´e suivant. Th´eor`eme 2 Si α 6= λ, on a RΓ (S ⊗ k¯,A ⊗h∗L ) = 0. c α k λ α ψ 3 Si α = λ, on a RΓ (S ⊗ k¯,A ⊗h∗L ) = Q¯ [−2hλ,δi](−hλ,δi). c α k λ α ψ ℓ ¯ Ici, k d´esigne une clˆoture alg´ebrique de k et L le faisceau d’Artin-Schreier ψ sur G associ´e `a ψ. a,k On peut d´eduire de cet ´enonc´e g´eom´etrique le th´eor`eme de Frenkel- Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen cit´e plus haut, via la formule des traces de Gro- thendieck. Voici les grandes lignes de la d´emonstration du th´eor`eme 2. On consid`ere d’abord le cas plus facile α = λ. On d´emontre que si µ < λ l’intersection S ∩X est vide si bien que celle de S avec le support de A λ µ λ λ est incluse dans X . On d´emontre aussi que S ∩ X est un espace affine λ λ λ et que le morphisme h restreint `a S ∩X est constant `a valeur 0 d’ou` le α λ λ r´esultat dans le cas α = λ. C’est le contenu de la section 2. Pourd´emontrerl’assertionconcernantlecasα 6= λ,onutiliselar´esolution suivante du sch´ema X . Cette r´esolution a ´et´e introduite par Laumon dans d un contexte l´eg`erement diff´erent ([5]). Soit X˜ le sch´ema de type fini sur k d dont l’ensemble des k-points est celui des drapeaux de r´eseaux On = R ⊃ R ⊃ ··· ⊃ R = R 0 1 d tels que dim(R /R ) = 1. Le morphisme π : X˜ → X d´efini par i−1 i d d (R ⊃ R ⊃ ··· ⊃ R ) 7→ R 0 1 n n est une r´esolution semi-petite au sens de Goresky et MacPherson. De plus, elle est ´equivariante relativement `a l’action de G si bien qu’on a d 1 Rπ Q¯ [dim(X )]( dim(X )) = A ⊠V ∗ ℓ d d λ λ 2 M λ ou` les V sont des Q¯ -espaces vectoriels, grˆace au th´eor`eme de d´ecomposition λ ℓ ([1])et`acequelessous-groupesstabilisateursdansG sonttousg´eom´etriquement d connexes. Par comparaison avec la construction de Lusztig de la correspondance de Springer, on voit que V est l’espace de la repr´esentation du groupe λ sym´etrique S correspondant `a la partition λ de d ([6],[2]). On utilisera d 4 seulement le fait que la dimension V est ´egal au nombre de λ-tableaux stan- λ dards. Il suffit clairement de d´emontrer que RΓ (S ⊗ k¯,Rπ Q¯ ⊗h∗L ) c λ k ∗ ℓ λ ψ 1 = V [−2hλ,δi−d(n−1)](−hλ,δi− d(n−1)). λ 2 ˜ ˜ Pour cela, on ´etudie la g´eom´etrie de S = S × X . On a λ λ Xd d RΓ (S ⊗ k¯,Rπ Q¯ ⊗h∗L ) = RΓ (S˜ ⊗ k¯,h˜∗L ) c λ k ∗ ℓ λ ψ c λ k λ ψ ˜ ou` h est le morphisme compos´e h ◦(π| ). λ λ S˜λ On d´emontre que S˜ est une r´eunion disjointe de parties localement λ ferm´ees S˜ qui sont des espaces affines de mˆeme dimension τ 1 hλ,δi+ d(n−1) = hλ,(n−1,...,1,0)i 2 ou` τ parcourt l’ensemble des suites (αi)d avec αi = (αi)n ∈ Nn v´erifiant i=0 j j=1 • αi−1 ≤ αi pour i = 1,...,d et pour j = 1,...,n ; j j • |αi| = n αi = i pour i = 0,...,d ; j=1 j P • αd = λ. Si l’une de ces suites αi n’est pas d´ecroissante, on d´emontre comme dans le cas ´evoqu´e plus haut ou` λ n’est pas d´ecroissante, que RΓ (S ⊗ k¯,˜h∗L ) = 0. c τ k λ ψ Les τ dont les membres α sont tous des suites d´ecroissantes d’entiers na- i turels, correspondent bijectivement aux λ-tableaux standards. C’est le con- tenu de la section 3. 2 Etude de S α Pourtoutα ∈ Nn,S estisomorphe`aunespaceaffinedontonpeutconstruire α les coordonn´ees explicites `a l’aide de l’uniformisante ̟. Notons O¯ = O⊗ k¯ k et F¯ = F ⊗ k¯. k 5 Lemme 2.1 Pour tout r´eseau R ∈ S (k¯), il existe une unique matrice tri- α angulaire sup´erieure de la forme ̟α1 x ··· x 1,2 1,n  ̟α2 ··· x  2,n x =  ... ...     ̟αn   ¯ ou` les x sont des polynˆomes en ̟ `a coefficients dans k de degr´e strictement i,j inf´erieur `a α , telle que R = xO¯n. i ¯ D´emonstration. Du fait que R ∈ S (k), il se d´ecompose en α R = R′ ⊕(̟αne +y)O¯ n ou` n−1 R′ = R∩ ejO¯ ∈ Sα′(k¯) M j=1 avec α′ = (α ,...,α ) et ou` y ∈ n−1e O¯ est bien d´etermin´e modulo R′. 1 n−1 j=1 j Le lemme r´esulte de ce que l’esLpace vectoriel Vα′ form´e des ´el´ements de la forme n−1x e ou` x sont des polynˆomes de degr´e strictement inf´erieur j=1 j j j `a α est sPuppl´ementaire `a tout R′ ∈ S′(k¯) dans n−1e O¯. (cid:3) j α j=1 j L Corollaire 2.2 S est isomorphe `a l’espace affine de dimension α hα,(n−1,...,1,0)i. Lemme 2.3 1. Soient µ et λ deux n-partitions de d avec µ < λ. On a S ∩X = Ø. λ µ 2. L’intersection S ∩X est un espace affine de dimension 2hλ,δi. λ λ 3. La restriction de h `a S ∩X est constante de valeur 0. λ λ λ D´emonstration. 6 1. Soit R = xO¯n ∈ (S ∩ X )(k¯) ou` x est une matrice comme dans le λ µ lemme pr´ec´edent et ou` µ et λ sont deux n-partitions de d. Tous les mineurs d’ordre i de x sont alors divisibles par ̟µn−i+1+···+µn. En con- sid´erant la sous-matrice form´ee des i derni`eres lignes et des i derni`ere colonnes, on obtient l’in´egalit´e λ +···+λ ≥ µ +···+µ n−i+1 n n−i+1 n d’ou` µ ≥ λ. 2. Supposons maintenant que µ = λ. Consid´erons la sous-matrice (i + 1)×(i+1) de x incluant le coefficient x avec j < n−i et incluant j,n−i les i derni`eres lignes ainsi que les i derni`eres colonnes de x. Il r´esulte de la condition port´ee sur les mineurs que le polynˆome x est divisible j,n−i par ̟λn−i. Si les coefficients x sont divisibles par ̟λk pour tout j < k, alors j,k x ∈ N(O¯)̟λ si bien que xO¯n ∈ (S ∩X )(k¯). λ λ Il s’ensuit que S ∩X est isomorphe `a l’espace affine de dimension λ λ hλ,(n−1,...,1,0)i−hλ,(0,1,...,n−1)i = hλ,(n−1,n−3,...,1−n)i. 3. On a d´emontr´e que (S ∩X )(k¯) = N(O¯)̟λO¯n λ λ si bien que la restriction de h `a S ∩ X est constante et de valeur λ λ λ nulle. (cid:3) Corollaire 2.4 On a un isomorphisme RΓ (S ⊗ k¯,A ⊗h∗L ) = Q¯ [−2hλ,δi](−hλ,δi). c λ k λ λ ψ ℓ D´emonstration. On sait d’apr`es le lemme pr´ec´edent que S ∩X¯ = S ∩X λ λ λ λ si bien que la restriction de A `a S est isomorphe `a Q¯ [2hλ,δi](hλ,δi) sup- λ λ ℓ port´e par l’espace affine S ∩X de dimension 2hλ,δi. (cid:3) λ λ 7 3 Etude de ˜ S λ Posons S˜ = S × X˜ . L’ensemble des k¯-points de S˜ est l’ensemble des λ λ Xd d λ drapeaux de r´eseaux O¯n = R ⊃ R ⊃ ··· ⊃ R = R 0 1 d ¯ ou` dim (R /R ) = 1 et ou` R ∈ S (k). k¯ i−1 i λ Un tel drapeau´etant fix´e, Pour chaque i = 0,...,d, il existe αi ∈ Nn avec |αi| = i tel que R ∈ S (k¯) Le sch´ema S˜ est ainsi stratifi´e selon la donn´ee i αi α d’une matrice τ = (αi)0≤i≤d ∈ N(d+1)n telle que j 1≤j≤n • αi−1 ≤ αi ; j j • n αi = i ; j=1 j P • αd = λ. ˜ Notons S la strate correspondant `a τ. D´esignons par h la restriction de τ λ h ◦π| `a S . λ S˜λ τ Proposition 3.1 S’il existe un d′ avec 1 ≤ d′ ≤ d − 1 tel que la suite (αd′) n’est pas d´ecroissante, alors on a j 1≤j≤n RΓ (S ⊗ k¯,˜h∗L ) = 0. c τ k λ ψ D´emonstration.Soitτ′ = (αi′)0≤i≤d′ lasous-matriceform´eedesd′+1premi`eres j 1≤j≤n colonnes de τ. Notons π′ : Sτ → Sτ′ le morphisme d´efini par π′(R0 ⊃ R1 ⊃ ··· ⊃ Rd) = (R0 ⊃ R1 ⊃ ··· ⊃ Rd′). On va d´emontrer que Rπ′ h˜∗L = 0 ce qui implique par la suite spectrale de ∗ λ ψ Leray que RΓ (S ⊗ k¯,˜h∗L ) = 0. c τ k λ ψ Fixons un point g´eom´etrique R• = (R0 ⊃ ··· ⊃ Rd′ = R′) ∈ Sτ′(k¯). Le groupe GL(R′)∩N(F¯) vu comme k¯-groupe alg´ebrique de dimension in- finie, agit naturellement sur la fibre π′−1(R•) = {R′ = Rd′ ⊃ Rd′+1 ⊃ ··· ⊃ Rd | ¯ dim (R /R ) = 1 et R ∈ S (k)}. k¯ i−1 i i αi 8 Lemme 3.2 Si αd′ n’est pas d´ecroissante, pour tout R′ ∈ Sαd′(k¯), il existe un sous-groupe G ⊂ GL(R′)∩N(F¯) a,k¯ tel que la restriction du caract`ere N(F¯) → G d´efini par a,k¯ n−1 n 7→ res( n d̟) i,i+1 X i=1 `a ce sous-groupe est l’identit´e de G . a,k¯ ′ D´emonstration du lemme. Consid´erons d’abord le cas R′ = ̟αd O¯n. Il existe un entier j tel que αd′ < αd′ . Le sous-groupe form´e des ´el´ements n ∈ N(F¯) j j+1 tels que n = 0 avec k < l, (k,l) 6= (j,j+1) et n ∈ G ̟−1d̟ stabilise k,l j,j+1 a,k¯ ′ le r´eseau ̟αd O¯n et donc remplit toutes les conditions requises par le lemme. Si R = xO¯n pour un certain x ∈ N(F¯), il suffit de conjuguer le G a,k¯ pr´ec´edent par x. (cid:3) Fin de la d´emonstration de la proposition. Notons Z = π′−1(R ) et h la • restriction de h˜ `a Z. On a une action ξ de G sur Z tel que h(ξ(t,z)) = λ a ¯ ¯ t+h(z) pour tout t ∈ k et z ∈ Z(k). En particulier, on a un isomorphisme ξ∗h∗L →˜ h∗L ⊠L . ψ ψ ψ La proposition r´esulte de lemme g´en´eral suivant qui est d´ej`a implicite dans [3]. Lemme 3.3 Soit Z un sch´ema de type fini sur k¯, muni d’une action ξ : G × Z → Z. Soit F un complexe born´e sur Z muni d’un isomorphisme a ξ∗F = L ⊠F. Alors on a RΓ (Z,F) = 0. ψ c D´emonstration. Consid´erons le diagramme commutatif G ×Z −−−Ξ−→ G ×Z a a prGa   prGa     Gy −−−−→ Gy a a Id 9 ou` Ξ(t,z) = (t,ξ(t,z)) est un isomorphisme. L’isomorphisme Ξ∗(Q¯ ⊠F)→˜ L ⊠F ℓ ψ induit par adjonction un isomorphisme Q¯ ⊠F→˜ Ξ (L ⊠F) ℓ ∗ ψ et donc un isomorphisme Q¯ ⊠RΓ (Z,F)→˜ L ⊠RΓ (Z,F) ℓ c ψ c lequel ne peut exister que si RΓ (Z,F) = 0. (cid:3) c Proposition 3.4 Si pour tout i = 0,...,d, αi est une suite d´ecroissante alors on a un isomorphisme RΓ (S ⊗ k¯,h˜∗L ) c τ k λ ψ = Q¯ [−2hλ,(n−1,...,1,0)i](−hλ,(n−1,...,1,0)i). ℓ D´emonstration. La proposition r´esulte du lemme suivant. Lemme 3.5 1. Pour tout τ, S est isomorphe `a un espace affine de di- τ mension hλ,(n−1,...,1,0)i. 2. Si de plus, pour tout i, αi est une suite d´ecroissante alors la restriction ˜ de h `a S est constante `a l’image nulle. λ τ D´emonstration. 1. Pour tout i = 1,...,d, vu les contraintes port´ees sur les αi, il existe j un unique j tel que αi = αi−1 +1. On peut en fait voir τ comme une j j application {1,2,...,d} → {1,2,...,n} telle que pour tout j = 1,...,n, on a |τ−1(j)| = λ . j 10