. ·, t •.l ' ( ~ - . [>'RE e A L.e u L·o (Éliseo Cruz Mediría - Rafael Mélrtínez Planell - Nilsa l. Toro Ramos . - Pedro Vás:quez Urbano-:-·. .· · ff/.s 1 • ' Scanned by CamScanner 1 ) ( PRECÁLCULO { ¡:--~--- ---------~------,- .· ==i Primera Edición Rafael Martínez Planell Nilsa l. Toro Ramos Pedro Vásquez Urbano Eliseo Cruz Medina Universidad de Puerto Rico en Mayagüez Este proyecto es auspiciadop or el Departamentod e Ciencias Matemáticas Scanned by CamScanner 41 Primera Edición 2014 Arte de Portada Nicole M. Acarón Toro Derechos Reservados Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el penniso previo por escrito del Departamento de Ciencias Matemáticas de la Universidadd e Puerto Rico en Mayagüez. Scanned by CamScanner TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO O: CONCEPTOS DE ÁLGEBRA 0.1 EXPONENTES Y RADICALES 2 0.2 FACTORIZACIÓN 13 0.3 ECUACIONES 21 0.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 37 0.5 NOTACIÓN DE INTERVALO 47 0.6 DESIGUALDADES 50 , CAPITULO 1: FUNCIONES 1.1 INTRODUCCIÓN A FUNCIONES 62 1.2 GRÁFICAS DE FUNCIONES 75 1.3 PENDIENTES, RECTAS, Y FUNCIONES LINEALES 97 1.4 RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO 127 1.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES 141 1.6 FUNCIONES DE POTENCIA 155 1.7 ARITMÉTICA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 175 1.8 FUNCIONES INVERSAS 195 Scanned by CamScanner ,, • ·!b~ r·-~ ' .l . CAPÍTULO 2: TRANSFORMACIONES 2.1 TRASLACIONES Y REFLEXIONES 221 2.2 ESTIRAMIENTOS Y ENCOGIMIENTOS 257 2.3 FUNCIONES CUADRÁTICAS 281 CAPÍTULO 3: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 3.1 FUNCIONES EXPONENCIALES 305 3.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL 325 3.3 FUNCIONES LOGARÍTMICAS 335 3.4 LEYES DE LOGARITMOS 349 3.5 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 357 CAPÍTULO 4: POLINOMIOS Y FUNCIONES RACIONALES 4.1 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR DE 2 367 4.2 GRAFICAS DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS 379 4.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y TEOREMA DEL FACTOR 391 4.4 CEROS RACIONALES Y FUNCIONES POLINÓMICAS 401 4.5 NÚMEROS COMPLEJOS 409 4.6 CEROS COMPLEJOS Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 419 4.7 FUNCIONES RACIONALES 429 Scanned by CamScanner Capítulo O CONCEPTOS DE ÁLGEBRA RESUMEN DEL CAPÍTULO 0.1. Exponentes y Radicales 0.4. Solución de Problemas A. Repaso A. Repaso B. Exponentes B. Problema de Números C. Radicales C. Problema de Geometría 0.2. Factorización D. Problema de Dinero A. Repaso E. Problema de Distancia-Velocidad B. Factorizar Sacando Factor Común Tiempo C. Factorizar un Trinomio de la Fonna F. Problema de Inversión G. Problema de Mezclas x2 + bx +c D. Factorizar un Trinomio de la Forma 0.5. Notación de Intervalo A. Repaso ax2 + bx + e por Tanteo 0.6. Desi!1,1.ialdades E. Factorización por Fórmulas A. Repaso F. Factorización por Agrupación B. Desigualdades Lineales 0.3. Ecuaciones C. Desigualdades Simultáneas A. Repaso D. Desigualdades No Lineales B. Ecuaciones Lineales E. Desigualdades con Valor Absoluto C. Ecuaciones Cuadráticas D. Otros tipos de Ecuaciones 1. Ecuaciones con Variable en el Denominador 2. Ecuaciones con Radicales 3. Ecuaciones con Valor Absoluto 1 Scanned by CamScanner - 2 Capítulo O / Conceptos de Álgebra 0.1 EXPONENTESY RADICALES Repaso Números Reales Exponentes La multiplicación o el producto de un número por sí mismo repetidamente se escribe mediante notación exponencial o de potencia. Si a pertenece a los números reales, y n pertenece a los números naturales (enteros positivos) entonces 11 factnres a" = a x a x a x ... x a. Se llama base al número a y exponente al número 11. Ejemplo I Escriba sin exponentes. a. 3~ =3·3·3·3·3=243 b. c. (-2}' =(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16 d. -2° =- (2·2·2·2 )=- 16 Además, de hablar de los exponentes naturales que son llamados también exponentes enteros positivos, se definen el exponente cero y los exponentes enteros negativos. Expo11e11et Cero Si a 1' O es cualquier número real, entonces aº = l Eje11p1lo 2 a. 3° = l (¾)° b. = I E.\pm1e11et Negativo Si u 1' O es cualquier número real y II es un entero positivo, entonces 0-" = __!_. _ a" Scanned by CamScanner 0.1 Exponentes y Radicales 3 Ejemplo 3 Reescriba sin exponentes negativos. ª· 4-1 = _!_ 4 (%r7 b. 3 1 c. X -1 =- X Las siguientes reglas son útiles para trabajar con la notación exponencial. Reglas de los Expo11e11tes Sean las bases a y b números reales y los exponentes m y n enteros positivos. Regla Descripción l. am. a"= am+n Al multiplicar con la misma base se suman los exponentes. 2. -a "' =a m-n Al dividir con la misma base se restan los exponentes. a" Al elevar una potencia a otra potencia se multiplican los 3. (a'")" =a••·" exponentes. Al elevar un producto a una potencia se elevan cada uno de 4. (ab)" =a"b" los factores a la potencia. ( J " Al elevar un cociente a una potencia se elevan tanto el 5. :!_ =:!._ b~ O b b" ' numerador como el denominador a la potencia. Tabla O.!.! Ejemplu 4 Simplifique usando las reglas de los exponentes. a. x3x5 = x3'5 = X~ b. / 419 = 1--'•9 =/5 7 c. -U: ¡-= a 7-4 = a J u d. ( //' )' = b = 4,b /¡24 c. (2xf =25x5=32x5 f. Scanned by CamScanner 4 Capítulo O/ Conceptos de Álgebra Ejemplo 5 Simplifique expresiones con exponentes. J a. (c :~ 3 )( ~: Solución 3 c4d3¡({:_=¡ (c4d¡(3~) ( )3 Regla 4 di ) cJ ) di ) ( cJ c:~ =( 3 Regla 3 )( ~:' ) =(::)(d; 6 Agrupar los factores con la misma base ) =(::) (::) Regla 1 Regla 2 Definición de exponente negativo Solución Regla 4 = (8l/ <,V 9)(1 ]6 u -1,V --') Regla 3 1 (, -<, ') -2 Agrupar los factores con la misma base = 8·- UU \IV 16 1 o 7 Regla 1 = - 11 V 2 1 7 Definición exponente cero = - V 2 Scanned by CamScanner 0.1 Exponentes y Radicales 5 Radicales Se definió lo que significa 3" si 11 es un entero, sin embargo va a hacer falta extender la definición de 2 5 exponente a los números racionales, como por ejemplo el exponente en 3 . Por esto, ahora se van a considerar los radicales. El símbolo ✓ es llamado el radical o signo del radical y representa la raíz cuadrada principal o positiva. La expresión dentro del radical es llamada el radicando y el índice del radical es 2. Se define la raíz cuadrada de un número positivo para que ésta siempre sea un número positivo y para que revierta la operación de elevar al cuadrado. Raíz Cuadrada La raíz cuadrada principal de un número no-negativo a se denota por ✓a. Es un número no-negativo que multiplic ado por sí mismo da a, o sea: ✓a = b si y solo si b2 = a y b ~ O Ejemplo 6 a . .fl6= 4 porque 42 =16 y 4'.20'.. M * b. = J(-4)2 -4 porque la definición de raíz cuadrada exige que ésta sea no-negativa. N * El ejemplo anterior muestra que en general a (con a = -4) pues por definición una raíz cuadrada no puede ser negativa. Por otro lado, observe que, si a '.2O'. , entonces por definición ✓a es un número Fa= Faf que multiplicado por si mismo da a, en símbolos ✓a a. O sea, ( =a. Como la definición de raíz cuadrada exige que una raíz cuadrada sea no-negativa va a ser útil introducir notación que asegura que un número no es negativo. Esa es la notación de valor absoluto. Valor Absoluta a[ El valor absoluto de un número real a se denota por [ y se define por: lal = { a si o '.2O'. -a si a< O Ejemplo 7 a. 14[=4 b. 1-41= -(-4) = 4 Scanned by CamScanner