POLITECNICO DI TORINO Laurea Magistrale in Ingegneria Civile Orientamento Strutture Tesi di Laurea Magistrale Instabilità dell’equilibrio elastico nelle strutture ad arco: indagine teorica e sperimentale Relatori Candidata Prof. Alberto Carpinteri Angela Siciliano Dr. Amedeo Manuello Bertetto Dr. Fabio Bazzucchi Marzo 2018 Niente nella vita va temuto, dev’essere solamente compreso. Ora è tempo di comprendere di più, così possiamo temere di meno. Marie Curie Ai miei genitori Ringraziamenti Desidero ringraziare tutti coloro che sono stati indispensabili per la realizzazione del presente lavoro di tesi. Grazie al Prof. Alberto Carpinteri per l’oppurtunità che mi ha concesso, permet- tendomi di approfondire le conoscenze relative agli argomenti trattati nei suoi corsi. Grazie al Dr. Manuello che ha supervisionato e guidato tale lavoro con pazienza e disponibilità. Grazie al Dr. Bazzucchi, una guida preziosa e indispensabile affinchè tale lavoro potesse prendere forma. Porterò sempre con me: i suoi consigli, gli insegnamenti, gli input che hanno suscitato in me la curiosità di indagare su tali argomenti. Grazie al Dr. Gianfranco Piana per i suoi inestimabili consigli e suggerimenti. Vorrei ringraziare la mia famiglia che mi ha sostenuto e ha creduto in me. Un ulteriore ringraziamento va agli amici, quelli d’infanzia e quelli conosciuti durante l’esperienza universitaria. Ringrazio soprattutto quelli che hanno vissuto con me quest’esperienza rendendola più piacevole e allegra. Il loro incoraggiamento nei mo- menti di difficoltà è stato sicuramente prezioso. Ringrazio mia sorella Katia, con la quale ho condiviso l’esperienza universitaria; per uno strano gioco del destino abbiamo cominciato e concludiamo insieme quest’espe- rienza. È stata sicuramente un punto di riferimento importante con cui condividere gioie e fatiche di questo percorso. Sommario L’analisi d’instabilità è di particolare rilevanza per alcune tipologie strutturali quali archi o gusci soggetti prevalentemente a compressione. Questi sistemi sono molto diffusi grazie allo loro versatilità dovuta alla possibilità di assumere configu- razioni spaziali capaci di coprire superfici considerevoli e garantire flessibilità. Le principali tipologie d’instabilità dell’equilibrio elastico a cui possono essere sog- gette le strutture sono: l’instabilità Euleriana e l’instabilità per Snap-Through. Tali instabilità possono interagire, provocando un collasso per una condizione di carico minore rispetto a quella in cui i due fenomeni sono considerati separatamente. La struttura analizzata nel presente lavoro è l’arco di Von Mises. Quest’ultimo è il modulo base riscontrabile sia in strutture alla macroscala che alla microscala (MEMS, nanotubi di carbonio). L’obiettivo della tesi è quello di proseguire gli studi sul fenomeno dell’interazione tra instabilità euleriana e snap-through e validare il fenomeno dal punto di vista sperimentale. Nel primo capitolo vengono riportati una breve genesi storica degli studi sull’in- stabilità e un inquadramento del fenomeno dal punto di vista fisico. Il secondo capitolo è dedicato alle analisi numeriche che sono state effettuate, me- diantel’ausiliodelsoftwareFEMLusas15.1,permettereapuntolastrutturaoggetto delle prove sperimentali. Al fine di valutare il carico critico di un’ampio range di configurazioni strutturali sono state condotte delle analisi non lineari al variare dei parametri: snellezza, grado di ribassamento e imperfezioni geometriche. Nella terzo capitolo il problema dell’interazione, con riferimento all’arco di von Mi- ses, viene affrontato utilizzando approcci teorici e numerici originali sfruttando i concetti classici della scienza delle costruzioni. Nellaprimapartedelcapitolo3sièdefinitaun’energiadideformazionecriticaconsi- derando la deformabilità membranale della struttura mentre nella seconda parte del capitolo il problema viene affrontato in termini dinamici sia nella fase antecedente al carico critico che nella fase post-buckling. La fase pre-critica è stata esaminata in termini vibrazionali valutando l’andamento delle frequenze proprie della struttura fino al raggiungimento del carico critico. ii Il comportamento post-buckling è stato investigato in quanto l’instabilità per snap- through coinvolge notevoli quantità di energia cinetica rilasciata durante lo scatto, che possono essere limitate in modo tale da evitare propagazioni di instabilità locali. L’analisi post-buckling ha consentito la definizione di un parametro di velocità con la quale il sistema raggiunge la configurazione di equilibrio ribaltata e, per i sistemi che ricadono sulla curva d’interazione tale parametro è una costante. Un riscontro numerico è stato ottenuto attraverso la definizione del modello del semiarco di Von Mises sul software Working Model 2D che permette l’analisi di sistemi meccanici in movimento. Nell’ultima parte della tesi viene illustrata l’attività sperimentale svolta per inda- gare il fenomeno dell’interazione tra l’instabilità euleriana e l’instabilità per snap- through. I test sperimentali hanno fornito dei risultati confrontabili con quelli deri- vanti dai modelli numerici in termini di carico massimo a cui la struttura può essere sottoposta. Indice 1 Introduzione 1 1.1 Instabilità delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Stato dell’arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Campi d’interesse del fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Buckling delle strutture reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Obiettivo della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Coupled Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Riduzione del carico critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Interazione tra Snap-Through e Buckling . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Instabilità Euleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Snap-Through . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Interazione tra Instabilità Euleriana e Snap-Through per l’ar- co di Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Curva d’interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5 Effetto delle imperfezioni sull’interazione . . . . . . . . . . . . 21 2 Modelli numerici 23 2.1 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Elemento BTS3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Analisi geometricamente non lineare, GNIA . . . . . . . . . . 25 2.2 Imperfezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Percorsi d’equilibrio F-η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Riduzioni di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Influenza dei parametri h/d e λ . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 INDICE ii 3 Aspetti energetici e dinamici 36 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Analisi d’instabilità: Energia di deformazione critica . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Fenomeno dell’interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Effetto della snellezza e del grado di ribassamento . . . . . . . 40 3.3 Analisi dinamica pre-critica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Interazione tra Snap-Through e Buckling Euleriano . . . . . . 44 3.3.2 Analisi numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3 Effetto della snellezza sulle frequenze . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.4 Validazione FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Analisi dinamica post-buckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4.1 Effetto dell’interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.2 Validazione numerica: Working Model 2D . . . . . . . . . . . 55 3.5 Relazione E - E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 def,cr k,cr 3.6 Oscillazioni post-critiche lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Test Sperimentali 61 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Setup sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.1 Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2 Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.3 Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4.1 Effetto del vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.2 Effetto del cavo di collegamento al martinetto . . . . . . . . . 72 4.4.3 Comportamento reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5 Conclusioni 79 Capitolo 1 Introduzione 1.1 Instabilità delle strutture 1.1.1 Stato dell’arte L’instabilità elastica è uno dei problemi centrali nel progetto degli elementi strut- turali snelli soggetti a compressione. Il primo ad interessarsi a questo problema fu Eulero nel 1744, il quale introdusse il concetto di carico critico per una colonna snel- la soggetta a compressione. Al raggiungimento del carico critico la struttura subisce grandideformazioniepuòperderelastabilità. Unaparticolaretipologiad’instabilità dell’equilibrio elastico è detta Snap-Through ST. A differenza del Buckling Euleria- no EB, che tiene conto solo della deformabilità flessionale, nello Snap-Through si prende in considerazione soltanto la deformabilità membranale. Queste due tipologie d’instabilità possono avere un’interazione che comporta una ri- duzione del carico critico. L’instabilità accoppiata, detta anche Interactive Buckling (IB) oppure Coupled Instability (CI), venne studiata per la prima volta da Koiter nel 1945, il quale elaborò la moderna teoria sulla stabilità strutturale. Koiter chiarì il comportamento post-critico delle strutture applicando il metodo delle variazioni a sistemi elastici continui dotati di imperfezioni iniziali e dimostrò che l’effetto di queste è strettamente legato al comportamento post-critico della struttura. Mentre per quanto riguarda i sistemi discreti Thompson sviluppò una teoria gene- rale utilizzando le coordinate generalizzate [1]. Successivamente Roorda dimostrò che il comportamento instabile dei sistemi strut- turali può essere influenzato da differenti tipi di imperfezioni quali difetti nella geo- metria iniziale della struttura oppure nella disposizione del carico o ancora nelle proprietà del materiale. Egli sviluppò appunto una teoria, mediante l’uso delle