Ekonomia nr 40/2015 33 Poker – gra szczęścia czy umiejętności? Przegląd analiz teoretycznych i empirycznych oraz wnioski dla regulacji Mikołaj Czajkowski* Streszczenie Na temat tego, czy poker jest grą szczęścia (losową) czy grą umiejętności toczy się w Polsce i na świecie ożywiona dyskusja, także akademicka. Od rozstrzygnięcia tej kwestii uzależnia się zakwalifikowanie pokera na równi z grami hazardowymi i jego penalizację. Artykuł stara się odpowiedzieć na to pytanie na podstawie przeglądu badań teoretycznych, symulacyjnych, eksperymentalnych i empirycznych, poświęconych tematyce gry w pokera, a w szczególności jego najbardziej popularnej odmianie – Texas Hold’em. Wyniki jednoznacznie wskazują, że choć w grze występuje element losowy, w długim okresie to umiejętności odgrywają kluczową rolę, nie mniejszą niż w przypadku niektórych innych dyscyplin sportowych. Poruszany jest problem kwantyfikacji losowości pokera – minimalnego okresu, po jakim umiejętności zyskują przewagę nad szczęściem. Proponowane jest także bardziej pragmatyczne podejście do regulacji, opierające się nie tyle na udziale losowości w grze, ile na rachunku zysków i strat, z uwzględnieniem wyceny kosztów i korzyści zewnętrznych, takich jak wpływy z podatków, miejsca pracy, dobrobyt konsumentów, oraz przestępstwa i uzależnienia związane z pokerem, a w przypadku delegalizacji – pokerowym podziemiem. Słowa kluczowe: poker, Texas Hold’em, szczęście, umiejętności, hazard, legalizacja, przegląd literatury Kody JEL: Z28, C7, K39, D18, D6 DOI: http://dx.doi.org/10.17451/eko/40/2015/80 * Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego, Katedra Mikroekonomii, kontakt: [email protected]. 34 Mikołaj Czajkowski 1.Wstęp Zainteresowanie grą w pokera osiąga w ostatnich latach, również w Polsce, nie- spotykany wcześniej poziom. Coraz więcej ludzi grywa w pokera, zarówno w to- warzyskich grach ze znajomymi, jak i w internecie. W prasie, radio i telewizji pojawiają się poświęcone tej tematyce informacje i relacje z coraz liczniejszych turniejów. Poker wnika także do kultury masowej, co znajduje odzwierciedlenie np. w przenikaniu pokerowego żargonu do języka potocznego, licznych odniesie- niach do tej gry w kinie czy pojawianiu się aplikacji do gry w pokera w komórkach i portalach społecznościowych. Poker od dawna przyciągał uwagę naukowców – w szczególności ekonomi- stów, matematyków i specjalistów od teorii gier. Jedni z twórców tej dyscypliny ekonomii – von Neumann i Morgenstern – twierdzili, że ich przełomowy i inter- dyscyplinarny podręcznik z 1944 roku Theory of Games and Economic Behavior inspirowany był pokerem (Neumann von, Morgenstern 1944). O matematycznej i ekonomicznej analizie pokera pisali noblista Nash wspólnie z Shapleyem (1950), Kuhn (1950) i wielu innych (np. McDonald 1950; Newman 1959; Goldman, Stone 1960; Binmore 1992; Mazalov, Makhankov 2001; Dinkin, Gitomer 2002; Kuhn, Nasar 2002; Schmidt 2002). Trudno o bardziej realistyczny przykład gry, w której wynik zależy nie tylko od przyjętej przez gracza strategii, ale też strategii przyję- tych przez innych graczy, a więc typowego przedmiotu rozważań teorii gier. Poker cieszy się także dużym zainteresowaniem specjalistów od sztucznej in- teligencji. Podjęto wiele prób stworzenia programów komputerowych, które by- łyby w stanie grać w pokera (np. Billings et al. 2002). Jak dotąd żaden program nie jest jednak w stanie grać w pokera tak dobrze jak najlepsi z ludzkich graczy1. Dla porównania jest wiele programów do gry w szachy, które są w stanie grać przynajmniej tak samo dobrze jak arcymistrzowie. W przypadku szachów – gry z pełną informacją – programy komputerowe osiągają przewagę dzięki czystej mocy obliczeniowej, możliwe jest bowiem przeszukiwanie kilku najbliższych wę- złów drzewa gry w poszukiwaniu najlepszych, w danej sytuacji, wyborów. Poker jest grą z niepełną informacją, w której dodatkowo znaczenie ma powtarzalność rozgrywki i oczekiwania odnośnie do strategii przeciwnika – szybkie obliczanie 1 Bowling et al. (2015) stanowi przykład najbardziej zaawansowanego obecnie algorytmu pozwalającego na wyznaczenie „epsilon-Nashowskiej” strategii dla gry z dwoma graczami i ograniczoną wysokością zakładów. Omawiana przez autorów gra ma 3,19×1014 zbiorów informacyjnych, podczas gdy Texas Hold’em w wersji dla dwóch graczy bez limitu wysokości zakładów ma ich 6,38×10161 (przy określonych założeniach dotyczących wartości żetonów posiadanych przez graczy i minimalnej wysokości zakładu). Warto także pamiętać, że wyznaczona strategia jest optymalna tylko przy założeniu, że przeciwnicy są racjonalni – jeśli przeciwnik nie jest racjonalny, to może istnieć inna strategia dająca wyższe wypłaty. Ekonomia nr 40/2015 35 prawdopodobieństwa jest niezbędne, ale dalece niewystarczające do osiągnięcia przewagi. Wydaje się, że poker wymaga szeregu „ludzkich” umiejętności, a opty- malna strategia wymaga w szczególności adaptacji do zachowania przeciwników. Między innymi to ta cecha pozwala ludzkim graczom rozpoznawać i eksploato- wać algorytmy stosowane przez programy komputerowe2. Ogólnie rzecz biorąc, gry (w tym gry hazardowe) można podzielić na gry czy- sto losowe, w których wynik nie zależy od umiejętności, takie jak ruletka, bin- go, jednoręki bandyta czy loterie, oraz na gry, w których element umiejętności występuje. Wyróżniającą cechą tych pierwszych jest to, że wartość oczekiwana nie zależy od podejmowanych decyzji (np. postawienia na czerwone lub czarne). W szczególności w takie gry nie da się z premedytacją przegrać. W przypadku gier umiejętności strategia stosowana przez gracza ma wpływ na jego wynik w długim okresie. Nie oznacza to, że takie gry pozbawione są elementu losowości. Oznacza to tylko, że w długim okresie różnice wynikające z poszczególnych losowań (np. siły rozdanych kart) się niwelują, a zatem wygrywają gracze, którzy są lepsi, a nie ci, którzy mieli szczęście. Ustawa z dnia 19 listopada 2009 r. o grach hazardowych (Ustawa o grach ha- zardowych 2009) delegalizuje grę w pokera na pieniądze pomiędzy graczami i na- kładając liczne wymogi administracyjne i podatkowe, praktycznie uniemożliwia organizację turniejów pokerowych, w których możliwe są do wygrania nagrody. W myśl tej kontrowersyjnej ustawy gra w pokera została potraktowana nawet su- rowiej niż gry hazardowe, takie jak ruletka, bingo czy loterie, które nadal są legal- ne, choć opodatkowane. Także w innych krajach poker bywa traktowany jako gra hazardowa (czy „losowa”), choć ustawodawstwo i wyroki sądów są w tej sprawie bardzo zróżnicowane. Przeglądu istniejących regulacji i wyroków sądów w USA, Wielkiej Brytanii, Niemczech i Holandii dokonują Kelly et al. (2007) oraz Cabot i Hannum (2005). 2 Innymi ważnymi umiejętnościami, którymi powinien charakteryzować się dobry gracz w pokera, a które tak trudno zakodować w postaci programu komputerowego, to: ocena siły własnej „ręki” (w zależności od liczby innych graczy, pozycji, historii wcześniejszych zachowań tych graczy, warunkowego prawdopodobieństwa możliwych rąk przeciwników w kontekście ich obserwowanych zachowań w rozdaniu), ocena potencjału ręki (z uwzględnieniem tzw. implikowanych szans, jako funkcji historii zachowań przeciwników), wybór optymalnego schematu zachowań (z uwzględnieniem wartości oczekiwanej i przewidywań przeciwników dotyczących zachowań gracza), blefowanie (w zależności od prawdopodobieństwa różnych reakcji przeciwnika) i pozostawanie nieprzewidywalnym (kluczowego czynnika pozwalającego na maskowanie siły własnej ręki w długim okresie). Dobra gra w pokera wymaga więc od gracza szeregu umiejętności – zdolności matematycznych, psychologicznych, oceny sytuacji i zachowania w warunkach ryzyka i niepewności, czy odpowiedniego zarządzania funduszami przeznaczonymi na grę (bankroll management). 36 Mikołaj Czajkowski Na temat regulacji gry pokera w Polsce i w innych krajach toczy się ożywio- na dyskusja. Zwolennicy regulacji twierdzą, że poker jest grą losową i wobec tego powinien być traktowany identycznie jak inne gry losowe, takie jak ruletka, jednoręki bandyta czy loterie. Zwolennicy deregulacji utrzymują, że poker to przede wszystkim gra umiejętności, tak jak brydż, wiele dyscyplin sportu czy pozbawione elementu losowości szachy, i w związku z tym regulacja jest nie- wskazana. Jak jest naprawdę – czy poker to gra szczęścia, czy umiejętności? Skoro w po- kera z całą pewnością można z premedytacją przegrać, to osiągany wynik zależy od przyjętej strategii. W związku z tym, w długim okresie w pokera wygrywać będą gracze, którzy są lepsi (ich umiejętności są na wyższym poziomie), a nie ci, którzy mieli szczęście. Interesującym pytaniem jest jednak – jak duży jest element losowości w pokerze, a co za tym idzie – jak długi jest „długi okres”. Ten artykuł stara się odpowiedzieć na to pytanie na podstawie naukowej analizy i dostępnych badań empirycznych, poświęconych zdecydowanie najpopularniejszej odmianie tej gry – No Limit Poker Texas Hold’em. 2. Zasady pokera W pokera w wersji Texas Hold’em gra się w od 2 do 10 osób. Celem gry jest zdo- bycie puli (pot) – sumy zakładów (bet) dokonywanych przez graczy w ciągu jednej gry. Pulę można zdobyć na dwa sposoby – podczas ostatecznego sprawdzenia i po- równania pięciokartowych układów ułożonych z siedmiu dostępnych dla każdego gracza kart (showdown), albo poprzez założenie takiego zakładu, że wszyscy inni gracze spasują, tracąc jednocześnie swoje prawo do partycypacji w puli uzbieranej z wcześniejszych zakładów. W kolejnych rozdaniach dealerem jest kolejny z graczy, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zwykle dwie pierwsze osoby za dealerem muszą złożyć nie- wielki zakład w ciemno, jeszcze przez obejrzeniem swoich dwóch prywatnych kart (te zakłady nazywane są small blind i big blind). Na początku rozdania każ- dy z graczy otrzymuje dwie „prywatne” karty, które pozostają znane tylko jemu. Następnie odbywa się pierwsza runda licytacji. Podczas każdej z rund licytacji każdy z graczy może spasować, czekać albo wnieść zakład, który pozostali gracze muszą co najmniej wyrównać. Runda licytacji kończy się, gdy wszyscy pozosta- jący w grze gracze wyrównali najwyższy zakład (lub postawili wszystkie swoje żetony, jeśli mieli ich za mało). Wysokość łącznych zakładów powiększa pulę, którą można na koniec gry wygrać. Po pierwszej rundzie licytacji dealer odkrywa trzy karty, widoczne dla wszystkich. W kolejności następują: druga runda licytacji, odsłonięcie czwartej karty, trzecia runda licytacji, odsłonięcie piątej karty, czwarta runda licytacji i ewentualnie sprawdzenie. Na koniec każdy z graczy może wybrać Ekonomia nr 40/2015 37 dowolnych pięć spośród siedmiu dostępnych mu kart. Jeśli w grze pozostaje tylko jeden gracz – wygrywa on niezależnie od układów kart. Siła pięciokartowych układów oceniana jest według następującego rankingu: – poker – pięć kart po kolei w jednym kolorze, – kareta – cztery karty tej samej wartości, – full – trzy karty tej samej wartości wraz z parą kart o innej (lecz takiej samej) wartości, – kolor – pięć kart w jednym kolorze, – strit – pięć kart po kolei, – trójka – trzy karty tej samej wartości, – dwie pary – dwie pary kart tej samej wartości, – para – para kart tej samej wartości, – najwyższa karta, przy czym znaczenie ma tylko starszeństwo kart, a nie kolor, w jakim posiada się karty czy układ. O sile układu decyduje najwyższa karta w układzie, a jeśli ta jest taka sama – kolejne. Jeśli dwóch graczy ma taki sam układ, to o zwycięstwie decydują dodatkowe karty pozostające poza układem, ale tylko do łącznej liczby pięciu kart. Jeśli nawet po wzięciu ich pod uwagę układy są takie same, następuje podział puli. Zainteresowany czytelnik może znaleźć bardziej szczegółowy opis zasad, a także analizy optymalnych strategii w licznych podręcznikach przeznaczonych dla graczy (np. Harrington, Robertie 2004, 2005, 2006, 2008a, 2008b; Sklansky, Miller 2006). 3. Uproszczona wersja pokera – argumenty analityczne Istnieje wiele analiz gry w pokera, w których znacznie upraszcza się tę grę, aby umożliwić jej kompletny matematyczny opis i teorio-grową analizę (np. Neumann von, Morgenstern 1944). Celem większości tych prac jest znalezienie optymalnej strategii gracza. Jedną z najciekawszych prac dotyczących umiejętności w pokerze przedstawił Alon (2007). Posługując się uproszczoną wersją gry, przeanalizował, jaki wpływ mają umiejętności, a więc wybór optymalnej strategii, na wyniki gra- czy. W szczególności autora interesowało to, jaka jest przewaga gracza umiejęt- nego nad początkującym. Choć przedstawiony przez niego model jest znacznym uproszczeniem rzeczywistej złożoności pokera, już ta analiza pozwala na wycią- gnięcie wniosków, które przenoszą się także na rzeczywistą grę. Poniżej przedsta- wiono to rozumowanie. Rozważmy grę, w której każdy z dwóch graczy otrzymuje swoje dwie karty, a na stole wykładanych jest od razu pięć wspólnych kart. W tej wersji pokera jest tylko jedna runda licytacji, następująca po odkryciu wszystkich pięć wspólnych 38 Mikołaj Czajkowski kart. Każdy z graczy ma możliwość postawienia jednego żetonu lub spasowania; decyzje podejmowane są jednocześnie. Jeśli przynajmniej jeden z graczy zdecy- dował się postawić – wygrywa ten z graczy pozostających w grze, którzy ma naj- wyższy układ. Załóżmy, że w tę grę gra dwóch graczy – A i B. B jest graczem bez żadnych umiejętności, który gra losowo (z prawdopodobieństwem 1/2 obstawia i z prawdopodobieństwem 1/2 pasuje). A – gracz „profesjonalny” – spodziewa się, jaką strategię stosuje B i wybiera taką strategię, aby w tych warunkach maksyma- lizować swoją wygraną. W tej sytuacji A powinien stawiać tylko wtedy, gdy jego wartość oczekiwana z zakładu jest większa niż zero – wtedy, gdy jego karty są lepsze niż ręka przeciętna. Jeśli A i B stosują strategie takie jak opisano powyżej, to przynajmniej je- den z nich pasuje z prawdopodobieństwem 3/4. A zatem z prawdopodobieństwem 3/4 wygrana A jest równa 0, z prawdopodobieństwem 3/16 jest równa +1, a z praw- dopodobieństwem 1/16 równa -1. Wobec tego, choć cała gra jest grą o sumie ze- rowej, A osiąga oczekiwaną wygraną z każdego rozdania równą 1/8, z wariancją równą 15/64. Umiejętności pozwalają osiągnąć istotną przewagę. Załóżmy teraz, że B zorientował się, że przegrywa, uznał, że strategia A jest lepsza od jego własnej i postanowił ją zastosować – stawia zakład tylko wtedy, gdy jego ręka jest lepsza od przeciętnej. A, gracz posiadający więcej umiejętności, orientuje się, że B zmienił strategię i odpowiednio dopasowuje swoją – decyduje się postawić jeden żeton tylko wtedy, gdy jego ręka jest lepsza niż 3/4 przeciętnych rąk, co maksymalizuje jego oczekiwaną wypłatę. Wynosi ona teraz 1/16 z warian- cją równą 31/256, a więc znów A osiąga przewagę nad B. Warto zwrócić uwagę, że w tej rozgrywce B stosuje dokładnie tę samą strate- gię, którą wcześniej stosował A. Przykład ten pokazuje, że nawet dla tak uprosz- czonej gry wygrywający gracz powinien być w stanie dopasować swoją strategię do strategii przeciwnika (lub przeciwników); obrazuje także znaczenie pozosta- wania nieprzewidywalnym – w przypadku, gdy strategia gracza stanie się czytelna dla innych, mogą oni to wyeksploatować. Choć zasady te zobrazowano za pomocą bardzo uproszczonej wersji pokera, przenoszą się one, choć w znacznie bardziej wyrafinowany sposób, na rzeczywistego pokera. Umiejętności – rozumiane jako umiejętność kalkulacji, adaptacji do strategii przeciwnika, myślenia na wielu po- ziomach i bycia nieprzewidywalnym – są kluczowymi atrybutami gracza, który wygrywa. 4. Empiryczna analiza typowych rozdań pokerowych Hope i McCulloch (2009) prezentują prostą analizę statystyczną przeszło 103 milionów rozdań rozegranych w serwisie PokerStars od 1 grudnia do 2008 roku do 2 stycznia 2009 roku. Analizą objęto tylko gry na pieniądze (nie turnieje i nie Ekonomia nr 40/2015 39 gry na wirtualne pieniądze) o dowolnej liczbie graczy przekraczającej dwóch3. Uwzględniono tylko gry na blindy w wysokości 0,05 USD lub wyższe, przyj- mując, że w grach o niższych stawkach większość graczy jest niedoświadczona i dopiero eksperymentuje z grą, co mogłoby zaburzać wyniki. Celem autorów było sprawdzenie, w jakim stopniu siła ręki jest determinantą wygranej. Jeśli siła otrzy- manych kart (szczęście) ma znaczenie drugorzędne, oznacza to, że o zwycięstwie decydują inne czynniki (umiejętności graczy). Na podstawie zebranych danych Hope i McCulloch pokazują, że w 75,7% przypadków gra kończy się bez ostatecznego sprawdzenia (showdown) – każdy z graczy zna tylko swoje i część lub wszystkie z kart wspólnych, nie zna natomiast kart przeciwników. Sytuacja taka ma miejsce, gdy w grze pozostaje tylko jeden gracz, który automatycznie zgarnia wygraną, niezależnie od układu kart – wszyscy pozostali gracze pasują. W 24,3% przypadków, w których dochodzi do showdown, tylko 50,3% z nich wygranych jest przez gracza, który w danej rozgrywce byłby w stanie utworzyć najmocniejszy układ z wykorzystaniem swoich dwóch kart. Pozostałe wygrywane są przez słabsze układy, w rezultacie wcześniejszego spasowania graczy, którzy mieliby na koniec mocniejsze ręce, lecz z różnych powodów zdecydowali się nie uczestniczyć w dalszej rozgrywce. Autorzy konkludują, że wynik większości gier determinowany jest nie przez siłę rozdanych kart, skoro najczęściej zwycięzcą zostaje jeden z graczy bez porów- nania kart. Tylko w ok. 12% przypadków gracz o najsilniejszym układzie wygry- wa poprzez showdown. Można to traktować jako pierwszą wskazówkę dotyczącą znaczenia umiejętności w grze w pokera. 5. Empiryczna analiza wyników graczy turniejowych Croson et al. (2008) przeanalizowali, na ile deterministyczne są wyniki graczy w najbardziej prestiżowych turniejach pokerowych. Ich celem była weryfikacja, czy kolejność miejsc zajmowanych w turniejach jest losowa, czy relatywnie de- terministyczna, jako benchmark wykorzystując wyniki turniejów w golfa, który powszechnie uważany jest za grę umiejętności. Jeśli niektórzy gracze regularnie zajmują czołowe miejsca, a wyniki turniejów w pokera nie są bardziej losowe niż wyniki turniejów w golfa, wskazuje to na znaczenie umiejętności w grze w pokera. Autorzy przeanalizowali wyniki 899 graczy, którzy dotarli do dwóch stoli- ków finałowych (a więc przynajmniej 18 miejsca) w jednym z 81 turniejów dla 3 Autorzy nie podają niestety, jaka była średnia liczba graczy w rozdaniach zawartych w analizowanej próbie. W internetowych kasynach liczba graczy w typowej rozgrywce wynosi od 6 do 10. 40 Mikołaj Czajkowski profesjonalistów4 rozgrywanych w latach 2001–2005. Analogiczna analiza zosta- ła przeprowadzona dla wszystkich 48 turniejów w golfa organizowanych przez Professional Golfers’ Association. Skonstruowany model ekonometryczny miał na celu weryfikację, czy wcze- śniejsze wyniki graczy są dobrymi zmiennymi objaśniającymi ich kolejne wyniki. Do estymacji wykorzystano klasyczną metodę najmniejszych kwadratów (OLS) z odpornymi błędami standardowymi, aby uwzględnić możliwość heteroskeda- styczności, oraz uporządkowany model probitowy. Modele oszacowano w trzech wersjach, gdzie zmienną objaśnianą było miejsce gracza, zaś zmiennymi obja- śniającymi były: doświadczenie – zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1, jeśli gracz zajął jedno z pierwszych 18 miejsc w jakimkolwiek wcześniejszym turnieju, wyniki – przyjmująca wartość równą liczbie wcześniejszych turniejów, w których gracz zajął jedno z pierwszych 18 miejsc, oraz ranking – zmienna równa średniemu miejscu, które gracz zajął we wcześniej rozegranych turniejach. Wyniki zaprezentowano w Tabeli 1. Tabela 1. Wyniki modelu objaśniającego deterministyczność zajmowanych miejsc w turniejach w pokera i golfa (w nawiasach podano błędy standardowe) Turnieje w pokera Turnieje w golfa -0,781*** -1,420*** doświadczenie (0,278) (0,382) -0,225*** -0,222*** wyniki (0,098) (0,089) 0,203*** 0,033 ranking (0,050) (0,056) 9,810*** 9,707*** 7,189*** 10,270*** 9,743*** 8,566*** stała (0,173) (0,166) (0,490) (0,331) (0,253) (0,595) R2 0,5% 0,9% 2,8% 1,6% 1,2% 0,1% Liczba obserwacji 1494 1494 595 811 811 586 *** – zmienne istotne statystycznie na poziomie 1% Źródło: opracowanie własne na podstawie Croson et al. (2008). Analiza przeprowadzona dla pokera wskazuje, że (1) to, czy gracz kiedykol- wiek wcześniej zajął jedno z pierwszych 18 miejsc w turnieju, (2) to, jak wiele razy zajął wcześniej jedno z pierwszych 18 miejsc i (3) to, które miejsce średnio zajmował we wcześniejszych turniejach pokerowych, w istotny sposób pozwala przewidywać, które miejsce zajmie w kolejnym turnieju. Wcześniejsze sukcesy w istotny sposób pozwalają przewidywać kolejne, co wskazuje, że umiejętności 4 Buy-in co najmniej 3000 USD: World Series of Poker, World Poker Tour, World Poker Open. Ekonomia nr 40/2015 41 graczy mają znaczenie – gdyby gracze bazowali jedynie na szczęściu, taki wynik nie byłby możliwy5. Jak dużo jest umiejętności w grze pokerowych profesjonalistów turniejowych? Na ocenę tego pozwala porównanie wartości współczynników dla pokera i golfa. Współczynniki dla zmiennej doświadczenie nie są istotnie różne statystycznie6, podobnie – współczynniki dla zmiennej wyniki7. Zmienna ranking była dla tur- niejów pokerowych w ogóle nieistotna, w przeciwieństwie do turniejów pokero- wych8, co może wskazywać, że to, jak dany gracz plasuje się w rankingu, ma większe znaczenie dla jego kolejnych wyników w pokerze niż w golfie. Podsumowując, należy również zauważyć, że ogólne dopasowanie obu modeli (R2) jest bardzo niskie. Wskazuje to na to, że przewidywanie wyniku gracza w tur- nieju jest zadaniem trudnym i w dużym stopniu losowym, a przynajmniej trudnym do wyjaśnienia za pomocą obserwowalnych zmiennych. Można jednak stwierdzić, że skoro przyjmuje się, że umiejętności w stosunku do losowości mają istotne zna- czenie w turniejach w golfa, w turniejach w pokera mają przynajmniej taką samą wagę. Stanowi to potwierdzenie sloganu jednego z serwisów pokerowych – Full Tilt Poker: „We play because poker is not a scratch-off ticket, a half-court jum- per, or a knock on wood. It’s no game of luck, poker. It’s a game of patience and well-timed aggression. We know when we play, a little luck helps. But luck can’t explain why final tables have so many familiar faces”. 5 Podobnych wniosków dostarcza analiza Kowalczyka (2015) i Gajderowicz (2011). Kowalczyk (2015) wykorzystał dane z nowszych turniejów WSOP o wszystkich graczach biorących w nich udział (a nie tylko 18 najlepszych), aby zweryfikować, czy różne metody pomiaru umiejętności graczy a priori (np. rankingi profesjonalnych graczy) mogą objaśniać zajmowane przez graczy miejsca lub ich wygrane. Jego wyniki pokazują, że choć miejsce w rankingu nie jest istotną zmienną objaśniającą, sam fakt bycia odnotowanym w rankingu np. 100 lub 500 najlepszych profesjonalnych graczy pozwala spodziewać się lepszego wyniku względem pozostałych graczy. Gajderowicz (2011) przeprowadziła badanie wśród kilkudziesięciu uczestników zorganizowanego w tym celu turnieju pokerowego z nagrodami. Jej wyniki pokazują, że samodzielnie deklarowany przez uczestników poziom umiejętności jest istotną zmienną pozwalającą przewidywać osiągane przez nich rezultaty. 6 Na poziomie 5%, t = 1,35. 7 Na poziomie 5%, t = 0,10. 8 Zależność jest istotna statystycznie na poziomie 5%, t = 2,24. 42 Mikołaj Czajkowski 6. Analiza finansowa wyników profesjonalnych graczy pokerowych Levitt9 i Miles (2011), przeanalizowali wyniki finansowe profesjonalnych gra- czy pokerowych specjalizujących się w grze turniejowej. Wykorzystując dane z 57 prestiżowych turniejów stanowiących tzw. World Series of Poker (WSOP) w 2010 roku, zbadali wyniki finansowe 32 496 graczy, którzy wzięli w nich udział. Uczestnictwo w tych turniejach wymaga wpłacenia opłaty startowej (od 1000 do 50 000 USD). Kwota zebrana z wpłat uczestników przeznaczana jest, po potrące- niu kosztów organizacji w wysokości ok. 7,5%, na nagrody. Łączna pula nagród w analizowanych turniejach wyniosła 185 milionów USD. Struktura nagród w turniejach jest nieliniowa – nagrody otrzymuje zwykle ok. 10% uczestników, przy czym ich wysokość bardzo szybko rośnie. Wywiera to wpływ na optymalne strategie graczy – z jednej strony warto być agresywnym, ponieważ tylko bardzo dobry wynik w turnieju może przynieść korzyści finanso- we, z drugiej strony nie warto podejmować zbędnego ryzyka, ryzykując odpadnię- cie z turnieju ze słabszym wynikiem. Analiza Levitta i Milesa polegała na obliczeniu „zwrotu z inwestycji” (return on investment, ROI) polegającej na wniesieniu opłaty startowej i wzięciu udziału w turnieju, dla graczy a priori sklasyfikowanych jako gracze o wysokich umiejęt- nościach i porównanie ich wyników z pozostałymi graczami. Jako graczy o wyso- kich umiejętnościach sklasyfikowano 720, którzy zajęli jedno z 250 miejsc w ran- kingach najlepszych graczy pokerowych (przygotowanych w 2009 roku przez czasopisma „BLUFF”, „Card Player” oraz serwis internetowy PokerPages.com) oraz graczy, którzy osiągnęli najlepsze wyniki w turniejach WSOP w latach ubie- głych (zwycięzcy wszystkich turniejów z lat ubiegłych oraz 250 graczy, którzy osiągnęli największe wygrane w 2009 roku). Gracze a priori sklasyfikowani jako ci o najwyższym poziomie umiejętno- ści startowali w analizowanych turniejach średnio sześć razy częściej. Około 2/3 wszystkich zanotowanych graczy wystartowało tylko raz; z drugiej strony 10% najaktywniejszych graczy odpowiadało za 45% wszystkich startów. Przeprowa- dzona analiza pokazała, że choć „zainwestowali” oni 10 razy więcej niż pozostali, ich wypłaty były 14 razy wyższe. Łącznie gracze wykwalifikowani osiągnęli wy- nik +11 milionów USD netto, podczas gdy pozostali – -26 milionów USD. Podsu- mowanie wyników zaprezentowano w Tabeli 2. 9 Profesor ekonomii na Uniwersytecie Chicagowskim, znany głównie dzięki swojej działalności popularno-naukowej, w tym za sprawą książki Freakonomics, poświęconej ekonomicznej analizie zjawisk i zachowań ludzkich znanych z codziennego życia i niekoniecznie kojarzonych z ekonomią.