Werner Poguntke Keine Angst vor Mathe Werner Poguntke Keine Angst vor Mathe Hochschulmathematik für Einsteiger 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr. Werner Poguntke Geboren 1949 in Duisburg-Homberg. 1972 Diplom und 1974 Promotion in Mathematik an der TH Darmstadt. Von 1974 bis 1985 wiss. Mitarbeiter und Hochschulassistent an der TH Darmstadt. 1981 Habilitation im Fachbereich Mathematik der TH Darmstadt. 1985 bis 1988 Industrietätigkeit bei TELENORMA/Frankfurt. 1988 bis 1994 wiss. Mitarbeiter im Fachbereich Elektrotechnik der Fernuni- versität Hagen. Seit 1994 Professor für Angewandte Informatik an der FH Südwestfalen. 1. Auflage 2004 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Mai 2006 Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver- lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun- gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-8351-0025-4 ISBN-13 978-3-8351-0025-1 Vorwort „Es geht darum, alles so einfach wie möglich zu machen. Aber nicht einfacher.“ Albert Einstein Wenn mindestens eine der folgenden Aussagen auf Sie zutrifft, dann dürfte das vorliegen- de Buch für Sie von Interesse sein: ฀ Sie müssen sich nach längerer Zeit zwangsweise wieder mit Mathematik beschäftigen, beispielsweise als Erstsemester an der Hochschule. ฀ Sie benötigen in Ihrem Beruf Mathematikkenntnisse, die aus der Schulzeit längst ver- gessen oder verdrängt sind. ฀ Sie waren „in Mathe immer schlecht“, finden das aber heute bedauerlich, weil Sie ein weltoffener und wissbegieriger Mensch sind und wissen, dass jede moderne Technikent- wicklung auch stark auf Mathematik beruht. Das folgende Zitat des Mathematikers und Kabarettisten Dietrich Pauli finde ich sehr tref- fend: „Deutschland war leider schon immer das einzige Land der Welt, in dem man ungestraft da- mit kokettieren kann, dass man in Mathe schon immer schlecht war. Und dafür auch noch bewundert wird und, je nach sozialem Umfeld, als besonders sensibel, metaphysisch oder engagiert gilt.“ Aber es gibt Hoffnung: Immer häufiger wird über mathematische Themen berichtet (sogar in Tageszeitungen, in bild der wissenschaft sowieso), die Bedeutung für Schlüsseltechnologien wird inzwischen allgemein gesehen. Beim Verfassen des Buches hatte ich primär die „Verbundstudierenden“ des Landes Nord- rhein-Westfalen im Auge, die ich hauptberuflich unterrichte. Beim Verbundstudium handelt es sich um eine Art Fernstudium an Fachhochschulen, wobei allerdings an jedem zweiten Sams- tag Präsenzveranstaltungen in der Hochschule stattfinden. Hier sind die Erstsemester im Schnitt ein paar Jahre älter als sonst an den Hochschulen, der (meist ungeliebte) Mathematik- unterricht liegt z. T. viele Jahre zurück. Man kann sich vorstellen: Bevor man als Lehrender zum Studienbeginn überhaupt dazu kommt, den für die anderen Fächer notwendigen Mathe- matikstoff zu vermitteln, hat man wochenlang damit zu tun, alte Vorbehalte und Ängste ge- genüber der Mathematik abzubauen. Das vorliegende Buch soll dazu eine zusätzliche Hilfe sein. Da die geschilderte Situation auf viele andere Menschen in ähnlicher Form zutrifft, hege i Aus: Mitteilungen der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Heft 2/2003. 6 Vorwort ich die Hoffnung, dass das Buch über meine Studentinnen und Studenten hinaus auf Interesse stößt. Inhaltlich ist das Buch insofern „bodenständig“, als es vorwiegend Grundlagen der Mathema- tik aufgreift, die man zu Beginn eines Studiums eigentlich beherrschen sollte – Beispiele sind der Begriff des Logarithmus oder das Rechnen mit einer Unbekannten. Diese Themen werden in knapper, jedoch (hoffentlich) lebendiger und verständlicher Form aufgegriffen. Der Leser mag selbst beurteilen, ob er nicht besser ein altes Schulbuch zur Hand genommen hätte... Das Buch will jedoch kein alternatives Schulbuch sein, es soll vor allem den etwas „älteren“ Menschen (so ab 20 Jahre) ansprechen, der dies alles „schon mal gehört“ hat. Dazu gehört, dass immer wieder die Bedeutung, aber auch die Grenzen der Mathematik aufgezeigt werden. Ich weiß, es gibt sehr gute Schulbücher – aber auf Fragen der Art „Existiert die Zahl (cid:83) wirk- lich?“ oder „Was sagt die Wahrscheinlichkeitstheorie eigentlich über die reale Welt?“ wird recht selten eingegangen. Vielleicht ist es auch zu schwierig, solche Fragen in der Schule zu thematisieren. Dabei sind es nach meiner Auffassung gerade solche Überlegungen, die ein gelockertes Verhältnis zur Mathematik und Spaß an diesem Fach zulassen. Auf der anderen Seite ist die Beschäftigung mit Mathematik oft auch Arbeit, beim Lesen des Buches wird es immer wieder „Durststrecken“ geben! Und nun viel Erfolg und Spaß mit diesem Buch! Wuppertal, im Juli 2004 Werner Poguntke Die vorliegende zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage enthält ein zusätzliches Kapitel zu Integralen sowie Abschnitte zu komplexen Zahlen und Vektoren. Die vorgenommenen Änderungen sind nicht zuletzt aufgrund der vielen konstruktiven Kritik an der Erstauflage vorgenommen worden. Besonders danken möchte ich für zahlreiche Anre- gungen meiner Mitarbeiterin Sabine Schiller sowie Herrn Ulrich Sandten vom Teubner- Verlag. Wuppertal, im Februar 2006 Werner Poguntke Inhalt Einleitung………………………………………………………………………….………8 1 Zahlen……………………………………….…………………………………………9 2 Rechnen………………………………………………………………………………23 3 Gleichungen und Ungleichungen…………………………………………………….46 4 Funktionen und ihre Ableitungen…………………………………………………….62 5 Gleichungssysteme…………………………………………………………………...98 6 Geometrie…………………………………………………………………………....118 7 Zählen………………………………………………………………………………..152 8 Messen……………………………………………………………………………….177 9 Raten…………………………………………………………………………………193 10 Endlich und Unendlich – Die neuen Probleme mit der Endlichkeit…………………210 Lösungen der Aufgaben………………………………………………………………….224 Literaturhinweise und Lesetipps…………………………………………………………251 Sachverzeichnis………………………………………………………………………….255 Einleitung Das Buch enthält in insgesamt zehn Kapiteln diejenigen Mathematik-Grundlagen, welche ich persönlich entsprechend der Intention des Buches für die wichtigsten halte. Gegenüber der ersten Auflage ist ein Kapitel über Integrale hinzu gekommen, welches mit „Messen“ über- schrieben ist. Neben den Kapiteln 2 bis 9, mit denen man in vielen anderen Fachgebieten sowie in zahlreichen Bereichen des täglichen Lebens direkt etwas „anfangen“ kann (weil man dort beispielsweise rechnen muss), stehen Kapitel 1 über Zahlen und Kapitel 10 zum Thema des Unendlichen, die eher dazu dienen, ein Verständnis für einige Grundfragen der Mathema- tik zu vermitteln. Dem unterschiedlichen Charakter der Kapitel entsprechend finden sich am Ende der Kapitel auch unterschiedliche Arten von Übungsaufgaben. Während die Kapitel 1 und 10 Wissensfra- gen enthalten, anhand derer der Leser sich die diskutierten Themen noch einmal vergegen- wärtigen kann, enden Kapitel 2 bis 9 mit jeweils einer Reihe von Übungs- bzw. Sachaufga- ben, wobei bei letzteren die Herausarbeitung der mathematischen Problemstellung mit zur Aufgabe gehört („Textaufgaben“). Am Ende des Buches finden sich dann Lösungen aller Aufgaben. Manche Leser werden vielleicht das eine oder andere Thema vermissen, die von mir getroffe- ne Auswahl ist – wie gesagt – natürlich subjektiv. Gegenüber der ersten Auflage sind neben dem Kapitel über Integrale eigene Abschnitte zu den komplexen Zahlen sowie zu Vektoren eingefügt worden. Die meisten dieser Ergänzungen sprechen auf den ersten Blick vorwiegend den technisch orientierten Leser an, sie spielen jedoch heute auch in vielen anderen Bereichen eine große Rolle (beispielsweise die Integrale in der fortgeschrittenen Finanzmathematik). Auf mathematische Beweise wird innerhalb der Kapitel weitgehend verzichtet. Da das Bewei- sen jedoch zum Kern aller Mathematik gehört (im Sinne von: aus Bekanntem oder als be- kannt Vorausgesetztem nach streng logischen Gesetzen weitere wahre Aussagen ableiten), kann man diesen Aspekt nicht völlig weglassen. Es sind daher einige Beweise in sogenannten „Extrakästen“ untergebracht, um den restlichen Textfluss nicht zu unterbrechen und dem Leser die Möglichkeit zu geben, diese Teile zu überspringen. Neben einigen wenigen Bewei- sen finden sich auch zusätzliche historische Bemerkungen, Erklärungen zu Bezeichnungswei- sen etc. in solchen Extrakästen – immer mit dem Angebot an den Leser, dies ggf. (zunächst) zu ignorieren. 1 Zahlen 1.1 Die reellen Zahlen Die Zahlen 1,2,3,4,5, ... , die man beim Abzählen irgendwelcher Gegenstände verwendet, bezeichnet man als natürliche Zahlen. Diese Folge der natürlichen Zahlen endet nie. Man kann dies auch so ausdrücken: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Das Unendliche spielt in der Mathematik eine große Rolle und wird in diesem Buch an vielen Stellen auftau- chen. Was ist eine Zahl, beispielsweise die Zahl 3? Man kann sich die 3 als die abstrakte Eigen- schaft denken, die z. B. 3 Äpfel, 3 Autos und 3 Träume gemeinsam haben. Mit dieser Aussa- ge ist man auch schon beim Kern der Unterscheidung der Mathematik von den Naturwissen- schaften wie Physik und Chemie: Während man in den Naturwissenschaften reale Dinge untersucht wie herunterfallende Gegenstände, fließenden Strom oder freigesetzte Wärme bei einer chemischen Reaktion, handelt die Mathematik von abstrakten Dingen und deren Bezie- hungen zueinander. Dass dies keine Spielerei, sondern für die Realität von großer Bedeutung ist, wird an dem folgenden simplen Beispiel sofort klar: Die Mathematik sagt: 2+2=4. Damit weiß man ein für allemal, dass (cid:120) 2 Autos plus 2 Autos 4 Autos ergeben (cid:120) 2 Äpfel plus 2 Äpfel zusammen 4 Äpfel sind (cid:120) usw. Die Abstraktheit der natürlichen Zahlen wird besonders deutlich, wenn man eine riesige Zahl hinschreibt wie 7563899945362347464321. Kein Mensch wird jemals so viele Objekte abzählen, wie diese Zahl angibt – und doch zwei- felt niemand an der Existenz dieser Zahl. Das liegt daran, dass wir uns seit unserer Kindheit an die abstrakte Tätigkeit des Immer-Weiter-Zählens (also: Es gibt immer eine nächste Zahl) gewöhnt haben. Die Mathematik sieht es als ihre Hauptaufgabe, formale strukturmäßige Zusammenhänge zwischen den von ihr betrachteten Objekten (also auch den Zahlen) zu untersuchen - dazu gehört das Rechnen. Dabei besteht stets der Anspruch, dass die betrachteten Objekte in der Realität von Interesse sind bzw. dort interpretiert werden können. Mathematische Fragestel- lungen sind immer weiter „von der Realität entfernt“ als solche aus den Naturwissenschaften (z. B. der Physik), weshalb viele Menschen der Meinung sind, dass von den Mathematikern hauptsächlich weltfremde und unnütze Fragen behandelt werden. 10 1 Zahlen Allerdings bezweifelt niemand, dass es nützlich ist, rechnen zu können. Mit den Grundre- chenarten werden wir uns im nächsten Kapitel beschäftigen. Im vorliegenden Kapitel geht es nur um die Frage, welche weiteren Zahlen (ausser den natürlichen) es gibt. Die natürlichen Zahlen werden durch Hinzunahme der Null und der negativen ganzen Zahlen -1, -2, -3, -4, -5,... zu den ganzen Zahlen erweitert. Dass die Einbeziehung der negativen ganzen Zahlen nützlich ist, kann man schon Grundschülern klar machen: Wenn ich 3 € in der Hosentasche habe, bin ich im Besitz von 3 €; wenn ich nichts in der Hosentasche habe, bin ich im Besitz von 0 €; wenn ich ausserdem meinem Freund 3 € schulde, bin ich im Besitz von –3 €. (Und wenn ich dann 5 € von meinem Großvater bekomme und meine Schulden abbe- zahle, habe ich noch 2 € übrig, etc.) Mathematiker mögen (unter anderem) Scherze, in denen ihre Begriffsbildungen auf reale Situationen übertragen werden, wo es keinen Sinn ergibt bzw. zu übertrieben präzisen oder sogar absurden Aussagen führt. Hier ist ein Beispiel zu den ganzen Zahlen: Wenn in einem Bus 7 Fahrgäste sitzen und an der nächsten Haltestelle 11 aussteigen, so müssen danach 4 Fahrgäste einsteigen, damit der Bus wieder leer ist. Durch die Einführung der negativen Zahlen hat man auch erreicht, dass man alle Gleichun- gen der Form a(cid:14)x(cid:32)b, bei denen a und b natürliche Zahlen sind, nach x auflösen kann. (Mit dieser Feststellung greifen wir dem Abschnitt 3 vor, in dem ausführlicher über Gleichungen gesprochen wird.) Beispielsweise hat die Gleichung 5(cid:14)x(cid:32)7 die Lösung x(cid:32)2, hier werden noch keine negativen Zahlen gebraucht. Wenn man aber die Gleichung 20(cid:14)x(cid:32)17 nachx auflösen will, kommt man zu x(cid:32)(cid:16)3, man braucht also die negativen Zahlen. Die ganzen Zahlen ... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... können durch Punkte auf der sogenannten Zahlengeraden (vgl. Abb. 1.1) veranschaulicht werden. Die Zahlengerade ist eine Gerade mit willkürlich gewähltem Nullpunkt und Ein- heitspunkt 1. Die positiven Zahlen werden vom Nullpunkt aus nach rechts und die negativen Zahlen vom Nullpunkt aus nach links abgetragen. … … -3 -2 -1 0 1 2 3 Abb. 1.1: Die Zahlengerade 1.1 Die reellen Zahlen 11 Brüche p Als nächstes kommen die Brüche. Den Quotienten mit q(cid:122)0 zweier beliebiger, positiver q oder negativer, ganzer Zahlen p und q bezeichnet man als Bruchii. Mit Brüchen können „Bruchteile“ eines Ganzen in ihrer Größe beschrieben werden – beispielsweise steht der Bruch 3 für „drei Viertel“ (eines Kuchens, eines Glases Wasser usw.). Es sind die Brüche 4 von allen ganzen Zahlen definiert mit Ausnahme der Division durch die Zahl Null. Man kann die ganzen Zahlen als spezielle Brüche sehen: Bei der Darstellung der ganzen Zahlen als Bruch besitzt der Nenner speziell den Wert q(cid:32)1, beispielsweise kann 5 als 5 („fünf Eintel“) 1 geschrieben werden usw. Für die Interpretation des Rechnens mit Brüchen ist wichtig zu wissen, dass die Multiplikati- on dem „Bruchteil von“ entspricht: Zum Beispiel wird „3 von 7“ berechnet als 3(cid:152)7. 4 4 Die Brüche werden auch als rationale Zahlen bezeichnet. Gleichungen der Form a(cid:152)x(cid:32)b mit gegebenen ganzen Zahlen a und b und a(cid:122) 0 sind innerhalb der rationalen Zahlen unein- geschränkt lösbar. Bei der geometrischen Darstellung kann man nun die Zahlengerade erweitern, indem man p jeder rationalen Zahl einen Punkt zuordnet. Für (cid:33)0 ist dies der Endpunkt der vom Null- q p p p punkt aus nach rechts (für (cid:31)0 nach links) abgetragenen Strecke der Länge . Mit ist q q q p p dabei der Betrag von gemeint, d. h. wenn (cid:31)0 ist, wird das negative Vorzeichen wegge- q q lassen (siehe auch Abb. 1.2). p q p q … … -p/q 0 p/q Abb. 1.2: Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden Auf diese Weise erhält man eine unendliche Punktmenge mit der Eigenschaft, dass diese Punkte „überall dicht“ liegen. Mit dieser Formulierung ist gemeint, dass zwischen irgend p zwei Punkten stets noch ein weiterer Punkt liegt. Wird nämlich der rationalen Zahl 1 der q 1 ii Im Folgenden werden Brüche meist mit geraden Bruchstrichen als p geschrieben, gelegentlich auch q mit schrägen als p . q