MIMESIS / LA SCALA E L’ALBUM N. 35 Collana e sezione dirette da Luigi Perissinotto comitato scientifico Franco Biasutti (Università di Padova) Silvana Borutti (Università di Pavia) Giuseppe Cantillo (Università Federico II di Napoli) Franco Ferrari (Università di Salerno) Massimo Ferrari (Università di Torino) Elio Franzini (Università Statale di Milano) Hans-Helmuth Gander (Albert-Ludwigs-Universitaet Freiburg) Jeff Malpas (University of Tasmania, Australia) Salvatore Natoli (Università di Milano-Bicocca) Stefano Poggi (Università di Firenze) Ramon Garcia Rodriguez (Universidad Complutense de Madrid) filippo costantini PENSARE L’INFINITO Filosofia e Matematica dell’Infinito in Bernard Bolzano e Georg Cantor MIMESIS Il volume è stato pubblicato con il contributo del Dipartimento di Filosofia e Beni culturali dell’Università “Ca’ Foscari” di Venezia. MIMESIS EDIZIONI (Milano – Udine) www.mimesisedizioni.it [email protected] Collana: La scala e l’album n. 35 Isbn: 9788857538150 © 2016 – MIM EDIZIONI SRL Via Monfalcone, 17/19 – 20099 Sesto San Giovanni (MI) Phone: +39 02 24861657 / 24416383 Fax: +39 02 89403935 INDICE prefazione di Paolo Pagani 11 introduzione 19 ringraziamenti 23 parte prima BERNARD BOLZANO 1. logica e matematica in Bolzano 29 1.1 Breve panoramica sulla logica di Bolzano 29 Proposizioni e rappresentazioni in sé 30 Bolzano e il mentitore 34 Carattere eterno delle verità in sé 35 Analiticità e validità 37 Compatibilità 39 Deducibilità 40 Probabilità 43 Relazione di fondazione (Abfolge) 44 1.2 La matematica nel pensiero di Bolzano 45 1.3 Quale relazione tra matematica e logica? 50 2. il concetto di “infinito” e primi conati insiemistici 53 2.1 Il concetto bolzaniano di “insieme” 54 2.2 Il concetto di “infinito” 58 2.3 Rapporti di grandezza tra insiemi 61 3. dalla matematica alla filosofia della natura 65 3.1 I concetti di “successione” e di “continuo” 65 3.2 La continuità dello spazio e del tempo 67 3.3 Breve intermezzo: Zenone vs Weierstrass 73 3.4 La continuità nell’ambito delle sostanze 82 La natura del movimento 83 4. l’infinito attuale 89 4.1 L’intero come “somma di tutte le cose” 89 Che cos’è l’infinito attuale 88 Coerenza di tale posizione all’interno della filosofia bolzaniana: applicazione dei concetti matematici all’ambito del reale 92 Il concetto di Dio 92 Discussione sull’infinito hegeliano 94 4.2 Negazione dialettica e negazione analitica 96 4.3 Le rappresentazioni negative 100 4.4 La rappresentazione in sé “qualcosa” 105 Sull’infinito attuale e il principio di non contraddizione 109 4.5 Appendice al capitolo 4: Hume o Euclide? 110 parte seconda GEORG CANTOR 5. dai numeri reali alla teoria degli insiemi 115 5.1 Le “sezioni” di Dedekind 117 5.2 La teoria dei reali di Cantor e sviluppi insiemistici 122 6. insiemi, numeri cardinali e ordinali 129 6.1 Il concetto di “insieme” 129 6.2 I numeri cardinali 140 Un’ulteriore definizione per astrazione 145 Ancora Bolzano! 149 Riflessività come infinità di un insieme 151 6.3 I numeri ordinali 153 7. numeraBile e continuo 157 7.1 Insiemi numerabili 157 7.2 Non numerabilità del continuo: la diagonalizzazione 163 7.3 Figure geometriche a più dimensioni 166 Borges, Cantor e l’eterno ritorno 171 8. teoria del transfinito 173 8.1 Insiemi lineari di punti 173 8.2 Numeri ordinali transfiniti 177 8.3 Numeri cardinali transfiniti 184 Differenza tra i numeri finiti e i numeri infiniti 188 Transfinito e irrazionalità 189 8.4 Il principio del dominio e le sue implicazioni filosofiche 191 L’assoluto non è un insieme 194 Matematica e libertà 196 8.5 Questioni filosofiche sollevate dal transfinito 198 9. le antinomie logiche 207 9.1 Esposizione informale dei tre principali paradossi 207 Il paradosso di Burali-Forti 207 Il paradosso di Russell 209 Il paradosso di Cantor 210 L’approccio cantoriano alle antinomie 211 9.2 La struttura logica delle antinomie: l’inclosure schema 213 9.3 Che cosa ci dicono i paradossi? 215 Estensibilità indefinita 216 Perché l’estensibilità indefinita? 217 Qual è il significato della indefinita estensibilità? 219 Spunti metafisici a partire dai paradossi 223 parte terza LA TEORIA ASSIOMATICA DEGLI INSIEMI ZFC 1. Ogni insieme può essere bene ordinato: la dimostrazione di Zermelo del 1904 231 2. Il sistema assiomatico Zermelo-Fraenkel 238 Breve nota sulla questione della nozione definita 245 3. Alcuni interessanti sviluppi della logica matematica inerenti alla teoria assiomatica degli insiemi 246 4. Nota conclusiva: quale rapporto tra le teorie assiomatiche e i paradossi? 248 conclusioni 251 BiBliografia 255 Ai miei genitori