M azeta atèmática N.0 0162 Publicação quadrimestral da Sociedade Portuguesa de Matemática Ano LXXI I Novembro 2010 r4,20€ « Curvas duma bola de bilhar solitária 34 I Espaço-tempo de Minkowski: a física como geometria [José Natário] 37 I O cubo de Rubik aos 30 anos [Pedro J. Freitas] índice Editorial por Jorge Buescu Atractor [À volta da roda] Recreio I por Jorge Nuno Silva [Razão e bom gosto: Martin Gardner] Artigo Convidado I por Eduardo Marques de Sá [Curvas duma bola de bilhar solitária] Canto Délfico por Alexander Kovacec e Amílcar Branquinho• [Construções sem régua] Na Linha de Frente por Fabio Chalub Apanhados na Rede I por António Machiavelo [Espécies mutantes de dominós] Bartoon RRflMRHR^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^I [Os triângulos de Herão e as curvas elípticas]BBBBMBBiBIB Vjp contadosHHHHHHHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiH •Mn [Felix Klein: Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior] [O Espaço-tempo de Minkowski: a física como geometria] I por José Natário 37| [O cubo de Rubik aos 30 anos] I por Pedro J. Freitas -J Q Que E... Ipor António Serra [A função Gama?] [Regras de boa vizinhança] I por Ana Paula S. Dias e Eliana Manuel Pinho JiZl [O maior centro de formação de matemática do País tem mais cinco formações em 2010/2011] por Centro de Formação SPM Já reparou que um anúncio na Gazeta é visto por mais de 2.000 leitores, todos eles potenciais interessados em Matemática? Nenhum se desperdiça! A Gazeta é o local próprio para anunciar tudo quanto respeite a actividades matemáticas: programas de Mestrado e Doutoramento, livros, workshops ou debates, acontecimentos que interesse dar a conhecer e que devam ficar registados para o futuro... O que não é publicitado é como se não existisse! Impar Par Descontos: Os Sócios Institucionais da Sociedade Portuguesa de 1 página 590,00 € 490,00 € Matemática têm direito a um desconto de 15%. 1/2 página 390,00 € 290,00 € Encartes: É possível enviar encartes. Para mais detalhes consultar 1/4 página 220,00 € 170,00 € a página na web: http://www.spm.pt 1/8 página 120,00 € 120,00 € [Aos valores indicados deverá ser adicionado o IVA à taxa legal em vigor.] aitorial por Jorge Buescu [Universidade de Lisboa] De quatro em quatro anos, no pino do Verão, cruciais sobre a rapidez de convergência longe do é o mesmo. Colegas entusiasmados discutem equilíbrio no sentido da física estatística de veementemente as suas opiniões. Abrem sites na Boltzmann e Landau. E Châu, na área da geometria Internet dedicados a apostas sobre os vencedores. algébrica, provou o chamado Lema Fundamental do O clímax é atingido perante milhares de espectadores Programa de Langlands, do qual a única coisa certa é e, poucas horas depois, o sucesso está estampado em que terá, sem dúvida, implicações - ainda é cedo para todos os media, electrónicos ou em papel, e os jovens saber quais. vencedores são recebidos como verdadeiros heróis Segundo facto: desde 1990, os franceses obtiveram nos seus países, desmultiplicando-se em entrevistas e seis medalhas Fields em 12. Não há coincidências: o exibindo orgulhosamente as medalhas conquistadas. sistema francês promove a excelência. Entre nós, um Futebol? Jogos Olímpicos? Não! Matemática. vaporoso conceito de "equidade" é interpretado como Coincidindo com os anos do Campeonato Mtmdial significando que todos os alunos e professores são de Ftitebol (tema da última capa da Gazeta), realiza-se iguais - não são! Se algo deve ser meritocrático, é o quadrienalmente em Agosto o Congresso ensino. Contudo, o nivelamento faz-se por baixo: de Internacional de Matemáticos. Em 2010 decorreu ano para ano, de reforma em reforma, o nível médio em Hyderabad, India. E é sempre uma organização vai soçobrando por um plano inclinado. Isto é a morte esmagadora: milhares dos melhores matemáticos de quaisquer veleidades de "excelência". Portugal do mundo acorrem aos ICM. E uma honra para toda a teria muito a aprender com a França: não parece, vida ser convidado para realizar uma sessão plenária contudo, existir vontade política para que isso no ICM. aconteça. E é no ICM que são atribuídos os prémios mais importantes em matemática: as medalhas Fields. Ao contrário dos Prémios Nobel, não são prémios de carreira mas de juventude, para estimular jovens Com o presente número da Gazeta Aa Matemática matemáticos que tenham obtido resultados encerra-se um ciclo. A actual Direcção termina o seu excepcionais a prosseguirem na senda da excelência - mandato em Dezembro e cederá, com a sensação a serem Cristianos Ronaldos da Matemática. Este ano de dever cumprido, o lugar aos jovens. O meu os distinguidos foram o francês Cédric Villani, o agradecimento pessoal a todos, que me seria vietnamita de escola francesa Ngô Báu Châu, o nisso impossível nomear individualmente mas entre os Stanislav Smirnov e o israelita Elon Lindenstrauss. quais estão tantos autores quantos nestes três anos As suas realizações são brevemente descritas na ajudaram neste percurso. Haverá naturalmente uma Secção de Notícias. renovação da equipa editorial, da organização e dos Dois factos saltam, no entanto, imediatamente conteúdos. Haverá novos desafios estimulantes, à vista. O primeiro é a forma como estes prémios como colocar a Gazeta online, conseguir uma boa realçam a misteriosa mas extraordinária ligação entre articulação com alunos do Secundário (como a matemática mais estratosférica e o seu potencial nas Monteiro defendia ser prioritário!) e tantos outros aplicações, sobretudo à física teórica. Lindenstratiss a que o novo Director, o Prof. Rogério Martins, se tem resultados profundos em Teoria Ergódica, que dedicará. O desafio maior continua, no entanto, a ser tem a sua origem (e implicações práticas!) na Física. o de sempre: levar aos corações de todos os que Smirnov desenvolveu métodos motivados pelo estiverem disponíveis as razões do amor pela Ciência sistema de Ising. Villani desenvolveu resultados a que nos dedicamos. W Atractor No âmbito de uma colaboração acordada entre a Gazeta e o Atractor, este é um espaço da responsabilidade do Atractor, relacionado com conteúdos j interactivos do seu site (www.atractor.pt). Quaisquer reacções ou sugestões serão bem-vindas para [email protected]. "V A volta da roda Quem me dera que a minha vida fosse um carro de bois/Que vem a chiar, manhãzinha cedo, pela estrada,/E que para de onde veio volta depois/Quase à noitinha pela mesma estrada./Eu não tinha que ter esperanças - tinha só que ter rodas... Alberto Caeiro Ntim veículo de quatro rodas circulares, cada par O que significa isto? Dada uma curva plana e delas está unido por um eixo que passa pelos centros fechada C, a largura de C numa direcção fixada r das rodas. O formato da roda garante que todos os é o comprimento do segmento de recta que se pontos do seu bordo estão à mesma distância do seu obtém projectando em r cada ponto de C centro, pelo que o eixo se desloca sem oscilações. Mas, perpendicularmente à recta r. Diz-se que a largura se pretendermos transportar um objecto pesado, da curva é constante se esse comprimento for o mesmo o sistema de rodas unidas por um eixo pode não para todas as direcções do plano. ser suficientemente robusto e, por isso, é frequente Por exemplo, uma circunferência de diâmetro utilizarem-se rolamentos: os objectos são d tem largtira constante d. Mas esta não é uma transportados numa plataforma que rola sobre propriedade que a caracterize, pois há infinitas outras cilindros de igual secção. Também deste modo o curvas que a satisfazem. A mais simples é o triângulo transporte decorre sem oscilações, mas agora a de Reuleaux, que se obtém, a partir de um triângulo propriedade responsável por este movimento suave equilátero de lado L, se desenharmos três arcos de é o facto de a circunferência ter largura constante. circunferência com raio L e centro em cada um dos vértices do triângulo. Verifiquemos que a curva assim obtida tem largtira constante L. Uma recta suporte de uma curva é uma linha que tem, pelo menos, um ponto de intersecção com a curva e tal que esta fica inteiramente de um dos lados da recta. Note-se que uma recta suporte pode não ser uma recta tangente e uma recta tangente não ser 3* uma recta suporte; e que uma curva fechada tem 2 W Atractor [À volta da roda] exactamente duas rectas suporte em cada direcção: elas podem ser encontradas colocando a curva entre duas rectas paralelas a essa direcção e deslizando-as, mantendo o paralelismo, até tocarem a curva. Uma construção análoga a esta desenha polígonos de Reuleaux com um número ímpar de lados que são Voltemos ao triângulo de Reuleaux. arcos de circunferência; e, permitindo arcos de raios Consideremos uma direcção e o par de rectas suporte distintos, podemos obter polígonos com um número do triângulo de Retileatix nessa direcção. Se uma par de lados. Contudo, existem outros processos destas rectas é tangente a um ponto interior a um de construir curvas de largtira constante sem recorrer dos arcos de circunferência, traçado com centro num a arcos de circunferência [1], vértice, então a outra recta suporte passa por esse vértice e a distância entre elas é o raio da circunferência, L. Se ambas as rectas suporte intersectam a curva em vértices, então elas são tangentes a extremos de arcos de circunferência distintos e a distância entre as duas rectas suporte também é L. Em ambos os casos, a largura da curva na direcção perpendicular à das rectas suporte é o comprimento L do lado do triângulo equilátero que originou o de Reuleaux. Na imagem em cima estão moedas cujos bordos são curvas de largura constante com os cantos arredondados. Tal arredondamento pode obter-se por processo análogo ao que descreveremos para o triângulo de Reuleaux. Depois de se desenhar um triângulo equilátero [ABC], de lado L, prolongam-se os seus lados e, com centro em cada um dos vértices, traçam-se arcos de circunferência de raio r (arbitrário) compreendidos entre os prolongamentos dos lados do triângulo. Em seguida, com centro nos vértices, traçam-se arcos de raio L+r a unir estes pequenos Se agora considerarmos duas direcções arcos. perpendiculares e o par de rectas suporte em cada direcção, elas formam um quadrado onde o triângulo de Reuleaux pode ser rodado sem perder contacto com qualquer dos lados do quadrado. (Esta propriedade é válida para todas as curvas de largura constante e, reciprocamente, se ela é satisfeita, então a curva tem largtira constante.) Mas, ao contrário da circunferência, durante este movimento o centro geométrico do triângulo de Reuleaux não fica fixo, porque não está a igual distância de pares de rectas suporte paralelas. Atractor [À volta da roda] As ctirvas de largura constante satisfazem várias propriedades da circunferência e partilham algum do seu protagonismo. Por exemplo, todas as curvas com largtira constante L são convexas e têm igual perímetro [2] (o da circunferência de diâmetro L, isto é, TtL). Para qualquer direcção, cada uma das duas rectas suporte intersecta a curva num só ponto, sendo o segmento que une estes dois pontos de contacto perpendicular às rectas suporte [1]. Além disso, sabemos que, entre todas as curvas de largura constante L - que possuem, portanto, o mesmo perímetro -, a que engloba maior área Suponhamos, por exemplo, que usamos rodas é a circunferência [3]; a que delimita menor área é o quadradas. Como deverá ser a estrada, para que triângulo de Reuleaux [4], alguém que se desloque num carro apoiado em eixos unindo rodas quadradas tenha um movimento horizontal (sem andar aos altos e baixos)? Pode provar-se [5] que uma tal estrada é feita de arcos de catenária invertidos. Perímetro =3 —L \=nL J I 3 £ Área = (ti - 4Í)l2 Entrada perfeita para o triângulo de Reuleaux Na exposição Matemática Viva há um carrinho com rodas exóticas cujos bordos são várias curvas de largtira constante (de valor igual para todas elas). O utilizador, que se encontra sobre uma tábua, ao dar à manivela, desliza sem oscilações numa estrada plana. Podemos agora perguntar qual a forma da estrada adequada a uma roda sem largtira constante. Pretende-se que, durante o movimento, a roda e a estrada se mantenham em contacto, que o comprimento percorrido no bordo da roda seja igual Na exposição Matemática Viva está também ao descrito sobre a estrada e, além disso, que o centro patente um módulo em que três rodas de formatos geométrico da roda se desloque na horizontal (sem distintos emparelham com uma mesma estrada, oscilações). perfeita para as três rodasEl Referências: [1]Rademacher, Toeplitz "The Enjoyment of Mathematics", Princeton University Press (1970) [2]Honsberger, "Ingenuity in Mathematics", MAA(1970) [3]Niven, "Maxima and Minima without Calculus", MAA, Dolciani Mathematical Expositions 6 (1981) [4]Bonnesen, Fenchel, "Theory of Convex Bodies", BCS Associates (1987) [5]Hall, Wagon, "Roads and Wheels", Mathematics Magazine, vol. 65, na5,283-301 (1992) 4k por Jorge Nuno Silva [Universidade de Lisboa] Razão e bom gosto: Martin Gardner Em 22 de Maio passado desapareceu Martin Gardner, o maior divulgador da matemática de sempre. Martin nunca frequentou nenhuma aula de matemática, para além do ensino secundário. Contudo, a sua curiosidade e a sua vontade levaram-no a conseguir expor com clareza conceitos que, reconhece, só apreendeu com dificuldade. Ao longo da sua vida escreveu perto de 200 livros sobre vários temas, da matemática à filosofia, passando pela magia. Em todos podemos apreciar a sua cristalina racionalidade. Em Dezembro de 1956 surge um trabalho sobre Hexaflexagons (inventado por alguns estudantes de Princeton, entre os quais R. Feynman) nas páginas da Scientific American, que foi um êxito. O seu autor, Martin Gardner, veio a ser convidado a escrever uma coluna regular a partir de Janeiro de 1957, a célebre "Mathematical Games" que terminou em 1981. Ao longo destes 25 anos, Martin Gardner tornou-se o maior expoente da divulgação matemática. Algtms resultados, e alguns matemáticos, foram expostos por Gardner pela primeira vez. A correspondência que encetou com grandes matemáticos do século passado revelou-se muito enriquecedora, permitindo originalidade, alcance e correcção aos trabalhos publicados. Estreitou relações com Piet Hein, Conway, Rnuth, Diaconis, Graham, Harary, Golomb, Penrose e muitos outros. Martin Gardner (1914-2010) Entre os temas notáveis que surgiram nas colunas da SA pela mão de Gardner, conta-se o jogo do Hex, de Piet Hein e John Nash (Julho de 1957), o Jogo da Vida, de Conway (Outubro de 1970), Eleusis, o Jogo de Abbott (Outubro de 1977), a Arte de M. Escher (Abril de 1966), a Criptografia de Chave Pública (1977), os Fractais de Mandelbrot (Agosto de 1985), etc. Esta coluna de "Jogos Matemáticos" teve um sucesso ímpar. Como Graham disse: "Ele transformou milhares de crianças em matemáticos e milhares de matemáticos em crianças." Este sucesso não se limitou ao meio matemático, foram inúmeros os leigos que ganharam gosto por temas matemáticos com a leitura de Gardner. Como Richard Guy escreveu, "Gardner brought more math to more millions than anyone else". Recreio [Razão e bom gosto: Martin Gardner] SCIENTIFIC SCIEiNTIPIC AM KKlCAN AMERICAN Uma das suas grandes virtudes residia em relacionar a matemática com muitas outras áreas, de forma natural mas nunca superficial. Os seus artigos foram coligidos em livros que têm sido sucessivamente reeditados. THE SOBNTIHC Wll llirw BHtK OF MARTIN ^^ Mathematical L GARDNERS Puzzles & NEW Mathema tical Diversions MATHEMATICAL ruzzles & DIVERSIONS Diversions FROM ¥ SCIENTIFIC AMERICW riSS™; Min-tii iGardnerm u A stia paixão pela matemática recreativa levou-o a defender a sua utilização na sala de aula, como método para cativar os alunos. Numa das suas entrevistas conta como, ainda muito novo, foi surpreendido pela professora de Matemática quando investigava o Jogo do Galo. Foi repreendido: "Aqui na aula só nos ocupamos de assuntos matemáticos." A sua opinião, muitos anos depois, continuava a ser a de que o Jogo do Galo é um óptimo instrumento didáctico, que permite leccionar sobre vários temas curriculares de uma forma agradável. Além disso, frisava, "quem não conhece este jogo?" Interessado em magia desde cedo, publicou muitos artigos e livros nesta matéria, mantendo-se sempre um elemento activo na respectiva comunidade. O reconhecimento a Martin Gardner é geral, mas dos matemáticos e dos mágicos ele recebe um carinho especial. Martin Gardner foi homenageado no Pavilhão do Conhecimento, em Lisboa, aquando da "Noite do Professor", em 7 de Setembro passado. Esta homenagem incluiu uma exposição, um conjunto de actividades dinamizadas por vários matemáticos e um espectáculo de magia1. Desde 1993 que se realiza regularmente em sua honra, em Atlanta, nos EUA, um encontro sobre Matemática Recreativa e Magia. Trata-se do "Gathering for Gardner" (G4G) que recentemente realizou a sua nona edição (G4G9), em Março de 2010. O principal responsável é Tom Rodgers, sendo a última comissão organizadora composta também pelo matemático E. Berlekamp e pelo mágico M. Setteducati. O logótipo do G4G9 Um encontro de índole semelhante começa a ganhar corpo na Europa, realizando-se nos anos ímpares em Portugal. O "Recreational Mathematics Colloquium I" aconteceu na Universidade de Évora, numa organização conjunta com a Associação Ludus e a SPM (http://hu1icum.org/rm09/). A próxima edição é já em 2011 (,http://ludicum.org/rmll/). 1Iittp^Zzvzvmat. mat.fc.ul.pt/~pisihm/Gardner_no_PC/index. html m rtjg CTJwidado por Eduardo Marques de Sá [Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra] Curvas duma bola de bilhar solitária Como é que se movem um berlinde, um planeta e uma bola de bilhar? Quando o astro se despe de mares e montanhas, as diferenças são poucas, como Newton postulou... O tamanho não interessa! Mas, se a bola escorrega na mesa de pano, as curvas são outras. Jogue bilhar de sofá e saiba das equações que mostram o como e o porquê. Uma bola de bilhar pode descrever curvas e a bola roda segundo um eixo de direcção fixa no complicadas sobre a mesa de jogo. O bilharista espaço, eixo esse fixo relativamente à própria matéria experiente sabe disso e treina intensamente os da bola. Por muitos trejeitos que faça no lançamento, o pormenores técnicos de controlo dessas curvas: a resultado é garantido, q.b., caso a sua bola não tenha posição do corpo, dos braços e mãos que produzem a assimetrias muito pronunciadas e as velocidades que tacada, a inclinação do taco, o ponto de ataque na bola, lhe imprima não sejam muito elevadas. a força adequada e o modo de a exercer; se a coisa corre mal, se a trajectória não for a pretendida, repete e De facto, a bola não está sujeita apenas à força da gravidade; ela desloca-se num fluido, o ar, que exerce altera quanto baste. Uma prática e uma arte sobre a sua superfície forças subtis e complexas cujos experimentais de que aqui se mostram alguns efeitos os bons jogadores (de ténis, de futebol, de fundamentos teóricos. basebol) sabem controlar. A velocidades baixas, tais Face à complexidade do jogo, o objectivo deste forças são negligenciáveis, mas um pontapé violento e artigo é bem modesto: deduzir as equações das curvas com efeito numa bola de futebol fá-las intervir de modo descritas por uma bola de bilhar na ausência de decisivo, determinando trajectórias torças do centro da choques com tabelas e outras bolas. Para isso será bola e alterações do eixo de rotação. O futebol lunar vai preciso vasculhar um pouco as leis da Mecânica ser muito menos interessante! Clássica tal como foram descobertas por Newton nos A mesma experiência, quando feita com um seus Principia (1687), apuradas matematicamente por objecto bem assimétrico - como um pau tosco, um Euler, nos seus tratados Mecânica (1736) e Teoria Ao disco, um martelo ou uma bola de râguebi - que Moinmento dos Corpos Rígidos (1765) e levadas no séc. repetidamente se arremesse com força, tem XIX à forma que hoje conhecemos. Na parte resultados algo diferentes; a trajectória parabólica, introdutória, já a seguir, não poderiam faltar ainda vá, mas a rotação tem o seu quê de caótico: varia referências ao sistema planetário pois foi ele a de aspecto dum lançamento para outro, é difícil motivação central de Newton e dos que se lhe discernir um eixo de rotação, muitas vezes rodam seguiram. bamboleando-se... Qtianto mais toscos, mais Se não estiver muito vento, experimente lançar ao toscamente voam, aparentemente sem regras. Parece, ar uma bola - pode ser um berlinde ou uma bola de mas não é assim: há leis bem definidas do movimento futebol, de bilhar ou de basquete - e observe dois de qualquer sólido, matematicamente muito fenómenos: o seu centro descreve a tradicional interessantes e difíceis, de que vamos falar. trajectória parabólica de ascensão e queda dos graves W lei explicada mais adiante. Um momento-chave da Para medir posições de pontos em movimento, e suas velocidades e acelerações, vai ser preciso um demonstração acima esboçada é o facto de a resultante sistema de referência, Oxyz, ortonormado, com da totalidade das forças aplicadas em pontos do orientação directa, e que possamos considerar "em sistema ser igual à resultante das forças exteriores, e repouso". Cada ponto P é então identificado pelo seu apenas dessas, pois a terceira lei de Newton (a da acção vector posicionai OP; a sua velocidade, denotada vP, é a e reacção) implica o cancelamento das forças geradas derivada de OP (em ordem ao tempo) e a sua no interior do sistema. As forças interiores não aceleração é a derivada de v. Note que o "repouso" é P contribuem, pois, para a trajectória do baricentro. um conceito relativo: o nosso referencial pode estar em Para ilustrar, pensemos mim veículo que se desloca no repouso relativamente à Terra, mas ela roda em torno do seu eixo e orbita o Sol, que por sua vez orbita o espaço sideral, na ausência de forças exteriores, e que centro da Via Láctea, e esta dirige-se sabe-se lá para em determinado momento explode, por forças onde, em direcção a Andrômeda. O que internamente geradas. Como a resultante das forças verdadeiramente interessa é podermos supor, para exteriores é sempre nula, a velocidade do baricentro efeitos práticos, que as leis de Newton se aplicam ao tem derivada sempre nula, pelo que ele se desloca nosso referencial. com movimento rectilíneo uniforme; a explosão A notação uaw representa o produto vectorial dos fragmenta o sistema, os estilhaços e gases da explosão vectores u e w. Recorde-se que a definição é dada de seguem os mais diversos caminhos, mas o baricentro modo a que ÍA]=k, onde i, j, k denotam, como do sistema de todas essas partículas migrantes segue habitualmente, os versores dos eixos Ox, Oy, Oz, respectivamente. sempre com velocidade constante. Numa abordagem simplificada, podemos definir sistema material como agregado dum número finito de Rotação dum sólido. De acordo com Ku ler, o pontos materiais, P1, P2,..., Pk, com massas mir Wi2,..., m^ movimento dum sólido pode decompor-se em dois: concebidos como os átomos que o constituem. O tim movimento do seu baricentro G, dito de translação baricentro, ou centro de massa, do sistema é o ponto G de G, e uma rotação do sólido em torno de G. A dado por mOG=m OP-^m OP+...+mOP, onde m é a l l 2 2 k k expressão "rodar em torno de G" designa um massa total do sistema. A ideia dum sólido ou dum movimento do sólido em que G se supõe fixo, melhor fluido como um contínuo de matéria é uma abstracção matemática à qual aplicaremos, sem complexos, as dizendo, um movimento observado no referencial conclusões a seguir descritas, apesar das dificuldades Gxyz, dito baricêntrico, que tem origem G e eixos teóricas que o contínuo sempre levanta. paralelos aos do nosso referencial "em repouso"; neste novo referencial, que acompanha o sólido no seu A primeira Lei. Derivando duplamente ambos os movimento, o baricentro está imóvel. membros da equação definidora de G e aplicando a Imagine uma esfera que se move, mantendo-se cada átomo a famosa segunda lei de Newton do imóvel o seu centro. Por muito caótico que o movimento dos corpos, obtemos a equação movimento seja, vale o seguinte teorema, também de diferencial Euler: se, em certo instante, algum ponto da esfera se move, existem exactamente dois pontos da sua superfície dVr -> que estão imóveis, e esses pontos são antípodas; eles m-f=9í„ Clt determinam o chamado eixo instantâneo de rotação da esfera. O teorema permite definir, de modo óbvio, eixo onde 9?, designa a resultante das forças que, do exterior, instantâneo de rotação de qualquer sólido em torno do se exercem sobre o sistema. De acordo com a referida seu baricentro. lei newtoniana, a equação diferencial em destaque lê- se assim: o baricentro move-se como se fosse um ponto Uma câmara de filmar que faz um grande plano material de massa igual à massa total do sistema, actuado duma bola de futebol, seguindo-a no seu movimento, ilustra bem o referencial baricêntrico. Em imagens pela resultante das forças exteriores que se exercem sobre o televisivas obtidas por este método, é perceptível o eixo sistema. Este enunciado, a que costuma chamar-se de rotação baricêntrica e as suas variações complexas primeira lei universal da Mecânica, mostra que o provocadas pelo atrito do ar. baricentro é um centro dinâmico do sistema, e esta Vá a um bazar e traga de lá um giroscópio, centralidade dinâmica é reforçada por uma segunda brinquedo fascinante para os miúdos e para quem W