PATTERN RULES, PATTERNS, AND GRAPHS: ANALYZING GRADE 6 STUDENTS’ LEARNING OF LINEAR FUNCTIONS THROUGH THE PROCESSES OF WEBBING, SITUATED ABSTRACTIONS, AND CONVERGENT CONCEPTUAL CHANGE By Ruth A. Beatty A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy Department of Human Development and Applied Psychology Ontario Institute for Studies in Education of the University of Toronto © Copyright by Ruth A. Beatty, 2010 PATTERN RULES, PATTERNS, AND GRAPHS: ANALYZING GRADE 6 STUDENTS’ LEARNING OF LINEAR FUNCTIONS THROUGH THE PROCESSES OF WEBBING, SITUATED ABSTRACTION, AND CONVERGENT CONCEPTUAL CHANGE Doctor of Philosophy, 2010 Ruth A. Beatty Department of Human Development and Applied Psychology University of Toronto Abstract The purpose of this study, based on the third year of a three-year research study, was to examine Grade 6 students’ previously developed abilities to integrate their understanding of geometric growing patterns with graphic representations as a means of further developing their conception of linear relationships. In addition, I included an investigation to determine whether the students’ understanding of linear relationships of positive values could be extended to support their understanding of negative numbers. The theoretical approach to the microgenetic analyses I conducted is based on Noss & Hoyles’ notion of situated abstractions, which can be defined as the development of successive approximation of formal mathematical knowledge in individuals. I also looked to Roschelle’s work on collaborative conceptual change, which allowed me to examine and document successive mathematical abstractions at a whole-class level. I documented in detail the development of ten grade 6 students’ understanding of linear relationships as they engaged in seven experimental lessons. The results show that these learners were all able to grasp the connections among multiple representations of linear relationships. The students were also able to use their grasp of pattern sequences, graphs and tables of value to work out how to operate with negative numbers, both as the multiplier and as the additive constant. As a contribution to research methodology, the use of two analytical frameworks provides a model of how frameworks can be used to make sense of data and in particular to pinpoint the interplay between individual and collective actions and understanding. ii Acknowledgements I am so grateful for all of the people in my life who have supported this endeavour. I wish to thank: Dr. Joan Moss. You and I have travelled such a long way. Thank you for your kindness, your energy, warmth, humour, intelligence, and enthusiasm. Thank you for allowing me to believe in myself. It has been such pleasure learning from you, and working with you. Dr. Carolyn Kieran. You are the Queen of Algebra. Thank you for your ongoing support, your generosity of time and your continued interest in this work. Dr. David Pimm. Thank you for being such an outstanding mentor and friend, and for the long conversations as I attempted to formulate and articulate my thoughts. Thank you for always providing new and intriguing perspectives! Dr. Earl Woodruff, for having the courage to read both my M.A. final work, and the PhD beast! Dr. Eunice Jang. Your sparkling brilliance lights up everyone around you. Thank you for making me think about concepts and issues outside of my obsession. Dr. John Mason. Thank you for your continued interest in this work, and for your insightful analysis and constructive feedback. Thank you for opening the door to new interpretations. Dr. Cathy Bruce. For always being at the end of an email, for your ongoing support, encouragement and friendship. Thank you for being spectacular! To Kate Taylor, without whom none of this work would have been possible. You are a gifted teacher – thank you for making this study so successful. iii To my amazing support network, without whom this would not have been possible. To my Thesis Defense Team: Monique Herbert; Saad Chahine; Tomoko Arimura; and Olessya Falunchuk. Thank you for keeping me sane! Thanks for your support, kindness and friendship, for taking care of minor details (like arranging the data projector!) and for prepping me for the defense. Thank you to OISE friends who have journeyed with me: Toni Doyle, Jing Zhang, Sejal Patel, Dawn Pollon, Kathleen Hipfner-Boucher, Bev Caswell, and Liz Rentzelos. A very special thank you to Christine Davidson, friend and editor extraordinaire, who has gotten all of us through! To Anne McGuire and Sonia Satov for their tireless support (1,0,0,0,1,1,0 etc) generosity, and unbounded intellectual energy! “The girls at the back” Julie McDonnell, Aislinn Smail, Corey Berry and Christy Johnson who have helped me maintain a sense of humour and balance through this process. Thank you all for the joy and love you bring to my life. To Lakehead friends Frances Helyar, Lex Scully, Yvette DeBeer, Daphne Bonar, Linda Rodenburg, Bruce Boyes, and Sonia Mastrangelo. Thank you to friends and colleagues who have supported all of my work in “real” schools! Pat Milot, Glynnis Flemming, Sue Wilson, Sean Hanna, Tara Flynn, Rich McPhearson, Richard Gallant, Dr. John Ross, Myrna Ingalls, Judy Dussiaume, Greg Clark, Ross Issenegger. Special thanks to Elizabeth Morley and Richard Messina and all of the amazing teachers and principals I have had the privilege to work with over the past several years. And thank you to all the students I had the good fortune to work with – you are the inspiration for all of us and I am so grateful for your honesty, enthusiasm, and brilliance. iv Finally to my family, Ralph Beatty, Eileen Beatty, Stephen Beatty, Rafe Beatty, Olivia Beatty, Jack Beatty and Finn Beatty. Thank you for giving me a solid base from which to aim as high as possible. I love you all. v !"#$%&'(&)'*+%*+,! "#$%&"'%(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((())! "'*+,-./01/2/+%$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((()))! .3$%!,4!%"#./$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((5! .3$%!,4!4316&/$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((5))! 7(!3+%&,06'%3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7! 7(7!/"&.8!".1/#&"((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7! 7(9!3+%/&:&/%"%3,+$!,4!;/"&.8!".1/#&"<((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9! 7(=!28!:&/>3,6$!&/$/"&'?(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@! 7(A!03$$/&%"%3,+!$%608(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((B! 7(C!,>/&>3/-!,4!03$$/&%"%3,+!'?":%/&$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7D! 9(!&/>3/-!,4!%?/!.3%/&"%6&/(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7=! 9(7!%?/!$%608!,4!.3+/"&!&/."%3,+$?3:$!"+0!+/1"%3>/!+62#/&$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7=! 9(7(7!!"#$%&'()$*+$,-.#/0$0#,/&-*.%"-1%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222234$ 9(7(9!5-++-6',&-#%$7-&"$80/1"-6/,$0#10#%#.&/&-*.%$*+$,-.#/0$0#,/&-*.%"-1%2222222222222222222222222222222222222222222222222239$ 9(7(=!:*,;-.8$,-.#/0$#<'/&-*.%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223=$ 9(9!%?/!$%608!,4!+/1"%3>/!+62#/&$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7E! 9(=!$,'3,F'6.%6&".!:/&$:/'%3>/$!,4!./"&+3+1(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((99! 9(=(7!:*6-*>6',&'0/,-%?2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@@$ 9(=(9!:-&'/&#($,#/0.-.822222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@4$ 9(=(=!A#BB-.8$/.($%-&'/&#($/B%&0/6&-*.222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@C$ 9(=(A!A#BB-.82222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@=$ 9(=(C!:-&'/&#($/B%&0/6&-*.2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@D$ 9(=(@!E*.;#08#.&$6*.6#1&'/,$6"/.8#2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@F$ =(!,>/&>3/-!,4!:&/>3,6$!8/"&$G!&/$/"&'?!"+0!&/$6.%$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=9! =(7!8/"&!,+/H!1&"0/!4,6&!$%608(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((==! =(7(7!G.%&0'6&-*.22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222244$ =(7(9!H#%',&%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222224D$ 9(@!8/"&!%-,H!1&"0/!43>/!$%608(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=E! =(9(7!G.%&0'6&-*.2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222224D$ =(9(9!H#%',&%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222229@$ =(=!$622"&8!,4!:"$%!&/$/"&'?(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((A9! A(!0/>/.,:2/+%!,4!%?/!%?3&0!8/"&!./$$,+!$/I6/+'/((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((AA! A(7!%?/!./$$,+!$/I6/+'/(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((AC! A(9!./$$,+!7J!2"*3+1!',++/'%3,+$!"2,+1!&/:&/$/+%"%3,+$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((AE! A(9(7!I#%%*.$3222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222229D$ A(=!./$$,+$!9FAJ!/K:.,&3+1!.3+/"&!&6./$!%?"%!?">/!3+%/&$/'%3+1!%&/+0!.3+/$(((((((((((((((((((((((((((((((AB! A(=(7!I#%%*.$@222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222229F$ A(=(9!I#%%*.$422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222C3$ A(=(=!I#%%*.$922222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222C@$ A(A!./$$,+$!CFEJ!3+',&:,&"%3+1!+/1"%3>/!+62#/&$!(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((C=! A(A(7!I#%%*.$C22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222C9$ A(A(9!I#%%*.$=22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222C9$ A(A(=!I#%%*.$D22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222CC$ A(C!$622"&8!,4!3+$%&6'%3,+".!0/$31+!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((CE! vi A(@!$622"&8!,4!03$$/&%"%3,+!&"%3,+"./!"+0!?8:,%?/$/$!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((CL! A(E!&/$/"&'?!I6/$%3,+$!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@D! C(!2/%?,0,.,18((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@9! C(7!0/$'&3:%3,+!,4!%?/!,>/&"..!&/$/"&'?!3+>/$%31"%3,+(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@=! C(9!$"2:.3+1!:&,'/06&/$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@A! C(=!$%60/+%!:&,43./$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@C! C(A!0"%"!',../'%/0!:&3,&!%,!"+0!"4%/&!./$$,+!32:./2/+%"%3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@@! C(A(7!J0#K1*%&$80/1"-.8$?#/%'0#2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222==$ C(A(9!J0#K1*%&$-.&#0;-#7%$7-&"$%#,#6&#($"-8"$/.($,*7$/6"-#;-.8$%&'(#.&%22222222222222222222222222222222222222222222222=D$ C(C!0"%"!',./'%/0!06&3+1!./$$,+!32:./2/+%"%3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@L! C(C(7!L-(#*&/1#($6,/%%0**?$*B%#0;/&-*.$(/&/222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=M$ C(C(9!E,/%%0**?$B/%#($%&'(#.&$-.&#0;-#7%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=F$ C(C(=!N&"#0$(/&/222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=F$ C(@!0"%"!"+".8$3$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@B! C(@(7!O'/,-&/&-;#$/./,)%-%$10*6#('0#%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=F$ C(@(9!O'/.&-&/&-;#$/./,)%-%$10*6#('0#%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222D3$ C(@(=!P-Q#($/./,)%-%$10*6#('0#%2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222D3$ C(E!/%?3'".!',+$30/&"%3,+$!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((E9! @(!'?":%/&!$3KJ!&/$/"&'?!I6/$%3,+!,+/!&/$6.%$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((E=! @(7!:"&%!,+/!M!',++/'%3,+$!"2,+1!&/:&/$/+%"%3,+$!,4!.3+/"&!&/."%3,+$?3:$(((((((((((((((((((((((((((((EC! @(7(7!I#%%*.$3232222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222DC$ @(7(9!I#%%*.$32@2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222MR$ @(7(=!I#%%*.$3242222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222M=$ @(7(A!S0*'1$%-&'/&#($/B%&0/6&-*.%$+*0$1/0&$*.#22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222MF$ @(9!:"&%!%-,!M!&6./$!-3%?!3+%/&$/'%3+1!%&/+0!.3+/$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((B=! @(9(7!I#%%*.$@232222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222F3$ @(9(9!I#%%*.$@2@2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222FD$ @(9(=!I#%%*.$@2422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223R@$ @(9(A!I#%%*.$42322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223RM$ @(9(C!I#%%*.$42@2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222334$ @(9(@!I#%%*.$923222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222233D$ @(9(E!I#%%*.$92@222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222233M$ @(9(L!I#%%*.$92422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223@4$ @(9(B!:'??/0)$*+$,#%%*.%$3$&*$9222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223@C$ @(=!:"&%!%?&//!M!+/1"%3>/!+62#/&$H!:"%%/&+!&6./$!"+0!1&":?$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((79L! @(=(7!I#%%*.$C2322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223@M$ @(=(9!I#%%*.$=23222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222239R$ @(=(=!I#%%*.$=2@22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223C3$ @(=(A!I#%%*.$=2422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223C3$ @(=(C!I#%%*.$D2322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223CM$ @(=(@!I#%%*.$D2@22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223DR$ A(=(E!:'??/0)$*+$,#%%*.%$C$&*$D222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223D3$ E(!'?":%/&!$/>/+J!&/$/"&'?!I6/$%3,+!%-,!&/$6.%$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7EC! E(7!:"&%!,+/M!%?/!2/"+3+1!,4!%?/!:,3+%!,4!3+%/&$/'%3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((7EC! E(7(7!S0/1"-6/,$0#10#%#.&/&-*.%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223DD$ E(7(9!!/B,#%$*+$;/,'#%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223FD$ E(7(=!T<'/&-*.%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@RF$ E(7(A!:'??/0)$U$-.&#0%#6&-.8$&0#.($,-.#%2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@3F$ E(9!:"&%!%-,M!+/1"%3>/!+62#/&$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((997! E(9(7!V./0)$/.($B-./0)$W,-?-&#($?',&-1,-6/&-;#X$'.(#0%&/.(-.8$*+$.#8/&-;-&)222222222222222222222222222222222222@@4$ vii E(9(9!V./0)Y$B-./0)Y$/.($?',&-1,-6/&-;#$'.(#0%&/.(-.8$*+$.#8/&-;-&)222222222222222222222222222222222222222222222222222222@4D$ E(9(=!:'??/0)$U$.#8/&-;#$.'?B#0%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@CF$ L(!'?":%/&!/31?%J!&/$/"&'?!I6/$%3,+!%?&//!&/$6.%$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9@D! L(7!:"&%!,+/!M!3+%/&$/'%3+1!%&/+0!.3+/$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9@D! L(9!:"&%!%-,!M!+/1"%3>/!+62#/&$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9@=! B(!'?":%/&!+3+/J!&/$/"&'?!I6/$%3,+!4,6&!&/$6.%$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9@@! B(7!:"&%!,+/M6+0/&$%"+03+1!1&":?3'".!&/:&/$/+%"%3,+$!,4!.3+/"&!&/."%3,+$?3:$!(((((((((((9@E! B(7(7!J0#$&#%&$0#%',&%2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@=D$ B(7(9!:'??/0)$*+$10#$&#%&$0#%',&%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@=F$ B(7(=!J0#$&#%&$-.&#0;-#7%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@D3$ B(7(A!J*%&$&#%&$0#%',&%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@D9$ B(7(C!:'??/0)$*+$1*%&$&#%&$0#%',&%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@DC$ B(7(@!J*%&$&#%&$-.&#0;-#7%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@DD$ B(7(E!J0#$&*$1*%&$%6*0#$6*?1/0-%*.%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@MR$ B(7(L!:'??/0)$*+$0#%',&%$1/0&$*.#222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@M@$ B(9!:"&%!%-,M6+0/&$%"+03+1!+/1"%3>/!+62#/&$!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9L9! B(9(7!$N.#$(-?#.%-*./,$'.(#0%&/.(-.8222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@M4$ B(9(9!$H',#%$7-&"$/$1*%-&-;#$?',&-1,-#0$/.($/$.#8/&-;#$6*.%&/.&22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@M9$ B(9(=!H',#%$7-&"$/$.#8/&-;#$?',&-1,-#0$/.($/$1*%-&-;#$6*.%&/.&222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@MM$ B(9(A!V./0)$*0$B-./0)$6*.6#1&-*.$*+$.#8/&-;-&)2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@MF$ B(9(C!I-.#/0$?*(#,K/0#/$?*(#,$*+$*1#0/&-*.%$7-&"$.#8/&-;#$.'?B#0%222222222222222222222222222222222222222222222222222@F3$ B(9(@!Z0#/$?*(#,$%-&'/&#($/B%&0/6&-*.%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@F4$ B(9(E!:'??/0)$*+$0#%',&%$1/0&$&7*22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@F=$ 7D(!'?":%/&!%/+J!03$'6$$3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9BE! 7D(7!',+%/+%!6+0/&$%"+03+1!(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9BE! 7D(7(7!!"#$/(;/.&/8#%$*+$%&/0&-.8$7-&"$,-.#/0$80*7-.8$1/&&#0.%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@FD$ 7D(7(9!S0/1"-6/,$0#10#%#.&/&-*.%$*+$,-.#/0$0#,/&-*.%"-1%222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222@FM$ 7D(7(=!:*,;-.8$,-.#/0$#<'/&-*.%2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222224R3$ 7D(7(A!G?1,-6/&-*.%$-.$&#0?%$*+$&#/6"-.8$/.($,#/0.-.8$.#8/&-;#$.'?B#0%222222222222222222222222222222222222222222224R@$ 7D(9!4&"2/-,&*$!4,&!"+".8$3$!,4!$%60/+%!6+0/&$%"+03+1(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=D@! 7D(9(7!E*.;#08#.&$6*.6#1&'/,$6"/.8#$U$&"#$%*6-/,,)$6*.%&0'6&#($./&'0#$*+$,#/0.-.822222222222222222222224RD$ 7D(9(9!A#BB-.8222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222243R$ 7D(9(=!G.(-;-('/,$%-&'/&#($/B%&0/6&-*.%22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222433$ 7D(=!6%3.3N3+1!%-,!4&"2/-,&*$!%,!%&"'*!$%60/+%!./"&+3+1(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=7A! 7D(A!46%6&/!03&/'%3,+$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=7C! 7D(C!03443'6.%3/$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=7E! 7D(@!.323%"%3,+$((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=7L! "::/+03K!"!-/##3+1!"+0!$3%6"%/0!"#$%&"'%3,+((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((==7! "::/+03K!#!:&/O:,$%!$6&>/8((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((==9! "::/+03K!'!./$$,+$!7FE((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((=AD! viii List of Tables Table Page Number 1. NCTM topic strands for early algebra 3 2. Kaput’s forms of algebraic reasoning 5 3. Study foci of the first 2 years of my research 9 4. Examples of webbing/situated abstraction from a previous 28 study 5. Key components of the Grade Four instructional sequence 36 6. Components of the instructional sequence for Grade Five 41 7. Profiles of participating students 65 8. Participants’ CTBS scores. 66 9. Situated abstractions forged at the group level during Lesson 89 1. 10. Students’ contexts for narrative problems comparing two 124 linear rules. 11. Situated abstractions forged at the group level about rules that 125 have trend lines that intersect. 12. Students’ contexts for narrative problems for rules with a 167 negative multiplier. 13. Group situated abstractions of negative numbers. 173 14. Mandy’s situated abstractions. 180 15. Teah’s situated abstractions. 185 16. Ilse’s situated abstractions. 188 17. Alan’s situated abstractions. 192 18. Pete’s situated abstractions. 196 19. Jack’s situated abstractions. 201 20. Amy’s situated abstractions. 205 21. Andrew’s situated abstractions. 208 22. Anne’s situated abstractions. 214 23. John’s situated abstractions. 218 24. Teah’s situated abstractions. 225 25. Mandy’s situated abstractions. 227 26. Andrew’s situated abstractions. 231 27. Amy’s situated abstractions. 235 28. Ilse’s situated abstractions. 240 29. Pete’s situated abstractions. 244 30. Jack’s situated abstractions. 247 31. John’s situated abstractions. 251 32. Anne’s situated abstractions. 255 33. Alan’s situated abstractions. 258 34. Convergent, divergent situated abstractions for each student – 262 intersecting trend lines. 35. Convergent, divergent situated abstractions for each student – 264 negative numbers. 36. Content areas assessed by the graphing measure. 268 ix 37. Individual scores for students in each of the four areas. 269 38. Mean scores for each section of the survey for students of 269 high, mid and low achievement levels. 39. Individual posttest scores for the four areas assessed. 275 40. Mean posttest score by achievement level. 275 41. Roschelle’s features of convergent collaboration. 310 x