Wolfgang Arendt · Karsten Urban Partielle Differenzial- gleichungen Eine Einführung in analytische und numerische Methoden 2. Auflage Partielle Differenzialgleichungen Wolfgang Arendt · Karsten Urban Partielle Differenzialgleichungen Eine Einführung in analytische und numerische Methoden 2. Auflage Wolfgang Arendt Karsten Urban Institut für Angewandte Analysis Institut für Numerische Mathematik Universität Ulm Universität Ulm Ulm, Deutschland Ulm, Deutschland ISBN 978-3-662-58321-0 ISBN 978-3-662-58322-7 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-58322-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2010, 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Für Frauke und Almut Vorwort VorwortzurerstenAuflage Zahlreiche Vorgänge in Natur, Medizin, Wirtschaft und Technik werden durch partielleDifferenzialgleichungen(PDGen)beschrieben.Dieserklärtdasenorme InteresseanPDGen,dassichu.a.anderriesigenZahlvonVeröffentlichungenin diesemGebietzeigt.Esüberraschtdahernicht,dassesaufdemMarkteinegroße AnzahlvonLehrbücherngibt.WarumalsonocheinLehrbuch? Die Umstellung der bisherigen Diplom-Studiengänge auf Bachelor und Master hatauchzueinerVeränderungderklassischenVorlesungszyklengeführt.Wenn manvonVeranstaltungenimbisherigenUmfangausgeht,dannistdasZieleiner breiten mathematischen Ausbildung, die laut den Bologna-Beschlüssen gleich- sam berufsqualifizierend sein soll, fast nicht zu erreichen. Will man sowohl die BreitedermathematischenAusbildungerhaltenalsauchWahlmöglichkeitenfür Studierende sichern, dann kann man dies z.B. durch einführende Vorlesungen realisieren,diemehrereThemenmiteinanderverbinden.AnalysisundNumerik vonPDGeneignensichfüreinesolcheVerbindung.FürderartigeVeranstaltun- gensindjedochkaumeinführendeLehrbücheraufdemMarkt. DieseKombinationistinhaltlichbegründet.EsliegtinderNaturderSache,dass PDGenaufallgemeinenGebieten(wiemansiefürdieAnwendungbraucht)nicht exakt gelöst werden können. Was damit gemeint ist, wird im Buch genau er- läutert. Man ist in solchen Fällen auf Näherungsverfahren auf dem Computer angewiesen, also auf numerische Methoden. In den letzten Jahren hat sich aber immer mehr gezeigt, dass besonders gute numerische Methoden auf modernen ErkenntnissenausderAnalysisvonPDGenberuhen.DaheristdieKombination vonanalytischenundnumerischenMethodensowohlinnerhalbderMathematik alsauchindenjeweiligenAnwendungenvongroßerBedeutung. Wir haben versucht, ein einführendes Lehrbuch zu schreiben, das die Aspekte AnalysisundNumerikkombiniertundaufeinanderabstimmt.DieAuswahlder Inhalte ist durch diese Kombination geprägt. Dabei versuchen wir auch, eine BrückezudenAnwendungenzuschlagen.DasBuchbeginntmiteinemKapitel überModellierung,alsoderÜbersetzungeinesspeziellenAnwendungsproblems in die Sprache der Mathematik, hier also speziell in eine PDG. Wir beschreiben die Kategorisierung von PDGen und stellen danach elementare Lösungsmetho- den zusammen. Es stellt sich heraus, dass sowohl die Modellierung als auch numerische Verfahren auf die Verwendung von Hilbert-Räumen führen. Unse- reEinführungzeigt,dassdieentsprechendenMethodenauchmathematisch„die richtigen“ sind. Wir beschreiben die Hilbert-Raum-Methode möglichst einfach undbeschränkenunsaufzentraleKlassenvonPDGen(elliptischeundparaboli- scheGleichungen).BesondersfürdienumerischenVerfahrensindAussagenüber VIII Vorwort diemaximaleRegularitätvonLösungenvongroßerBedeutung.Nebendenklas- sischennumerischenVerfahren(FiniteDifferenzenundFiniteElemente)fürellip- tischeundparabolischeProblemegebenwirabschließendeinigeHinweise,wie manauchmitHilfevoncomputerbasiertenFormel-Manipulationssystemenwie (cid:2) etwaMapleR zumindesteinigePDGenlösenkann. Schließlich haben wir ein Thema in das Buch aufgenommen, das in besonderer Weise für Studierende der Wirtschaftsmathematik von Interesse ist. Die Bewer- tung von risikobehafteten Produkten auf dem Finanz- und Versicherungsmarkt erfordert eine tiefere mathematische Analyse. Gerade in der Finanz- und Versi- cherungswirtschaftwerdenheutezunehmendPDG-basierteModelleeingesetzt. WirbehandelnindiesemBuchexemplarischdieBlack-Scholes-Gleichung. EinpaarWortezurGliederungdesBucheskönntendessenNutzungerleichtern. EsbestehtausdreiTeilen: A ElementareMethodenundModellierung(Kapitel1bis3) B Hilbert-Raum-Methoden(Kapitel4bis8) C NumerischeundcomputerbasierteMethoden(Kapitel9und10) Teil A kann völlig unabhängig gelesen werden, er vermittelt in konkreten Si- tuationen ein Gefühl für das Wesen von PDGen und enthält insbesondere die obenerwähnte UntersuchungderBlack-Scholes-Gleichung. TeilB hatwachsen- den Schwierigkeitsgrad, was den Inhalt und die Darstellung angeht. Er enthält eine Einführung in Hilbert- und Sobolev-Räume, die zunächst in einer Dimen- sionbetrachtetwerden.EineBesonderheitistdiekonsequenteVerwendungvon Sobolev-RäumenzurBehandlungvonharmonischenFunktionenunddesDirich- let-Problems. In Teil C wird u.a. eine Einführung in die Methode der Finiten Elemente gegeben. Durch Einschränkung auf lineare Dreieckselemente in zwei Raumdimensionen haben wir eine einfache Situation gewählt, in der aber die wesentlichenIdeentransparentwerden.JedesKapitelendetmiteinerSammlung von Aufgaben, die vielfach zusätzliche Information geben. Lösungen befinden sichaufderHomepagedesBuches.Mit∗gekennzeichneteAbschnitteenthalten nützlicheZusatzinformationen. OhnedieHilfezahlreicherKollegen,FreundeundMitarbeiterwärediesesBuch sichernichtentstanden.WirdankendemSpektrumAkademischerVerlag,beson- dersDr.AndreasRüdingerundBiancaAltonfürdieMöglichkeit,diesesBuchzu schreiben, und für die Unterstützung bei der Umsetzung. Für zahlreiche wert- volleHinweisedankenwirunserenKollegenTomterElst,WilhelmForst,Stefan Funken, Rüdiger Kiesel, Werner Kratz, Stig Larsson und Delio Mugnolo. Wei- terhin danken wir Thomas Richard (Scientific Computers) sowie unseren Mit- arbeitern Markus Biegert, Iris Häcker, Daniel Hauer, Sebastian Kestler, Michael Lehn,RobinNittka,MarioRometsch,ManfredSauter,KristinaSteih,TimoTonn undFarazToorundunserenStudentenfürvielehilfreicheBemerkungen,Ergän- zungenundsorgfältigesKorrekturlesendesManuskriptes.PetraHildebrandgilt unserbesondererDankfürdiesehrsorgfältigeUmsetzungdesManuskriptesin LATEXunddieErstellungzahlreicherGraphiken. Ulm,im WolfgangArendt Februar2010 KarstenUrban Vorwort IX VorwortzurzweitenAuflage MitdererstenAuflagediesesBucheshabenwiringewissemSinneNeulandbe- treten:SowohldieAnalysisalsauchdieNumerikpartiellerDifferenzialgleichun- genwurdenanhandderjeweilseinfachstenFälledargestelltundkombiniert.Wir freuen uns, dass dieses Konzept angenommen wurde und danken dem Verlag fürdieInitiativezurzweitenAuflage. Neben der Korrektur einiger Druckfehler wurden Ergänzungen vorgenommen. DiesebetreffenAnalysisundNumerikvonzeitabhängigenProblemen,insbeson- dere die Beschreibung variationeller Methoden in Raum und Zeit. Damit tra- genwirauchdergroßenBedeutungdieserMethodeninderjüngstenForschung Rechnung.WeiterhinhabenwirnumerischeExperimentefürzeitabhängigePro- blemehinzugefügt.DieentsprechendenProgrammesindüberunsereInternetsei- tenverfügbar. Für Verbesserungsvorschläge hinsichtlich der ersten Auflage und Hinweise zu dieser Auflage danken wir Dr. Ferdinand Beckhoff, Dr. Silke Glas (Univ. Ulm), Stefan Hain (Univ. Ulm), Prof. Dr. Norbert Köckler (Univ. Paderborn), PD Dr. MarkusKunze(Univ.Konstanz),Dr.TobiasNau(Univ.Ulm)undPDDr.Patrick Winkert (TU Berlin). Petra Hildebrand hat uns sehr kompetent bei der Neuge- staltungsämtlicherAbbildungenunterstützt,wofürwirihrsehrdankbarsind. Ulm,im WolfgangArendt Oktober2018 KarstenUrban Über die Autoren Wolfgang Arendt studierte in Berlin, Nizza und Tübingen MathematikundPhysik.NachderPromotionundHabilita- tioninTübingenwarerachtJahrelangProfessoranderUni- versitätvonBesançon.Von1995bis2018leiteteerdasInstitut fürAngewandteAnalysisderUniversitätUlm.Seitdemister dort als Seniorprofessor tätig. Seine Arbeitsgebiete sind die FunktionalanalysisunddieTheoriederpartiellenDifferenzi- algleichungen.WolfgangArendtverbrachteForschungsauf- enthalte in Berkeley, Nancy, Oxford, Zürich, Sydney, Auck- land und an der Stanford University. Er ist Editor-in-Chief derZeitschrift„JournalofEvolutionEquations“. KarstenUrbanhatMathematikundInformatikinBonnund Aachen studiert. Nach Promotion und Habilitation an der RWTH Aachen wurde er 2002 an die Universität Ulm beru- fen. Seit 2003 leitet er dort das Institut für Numerische Ma- thematik.Erforschtu.a.übernumerischeVerfahrenfürpar- tielleDifferentialgleichungen,insbesondereinteressierenihn konkreteAnwendungeninNaturwissenschaftundTechnik. NebenGastprofessureninPavia,UtrechtundamM.I.T.ver- brachteerForschungsaufenthalteinTurin,Cambridge,Mar- seilles,GöteborgundanderCornellUniversity.ImJahr2005 erhielterdenLehrpreisdesLandesBaden-Württemberg.Er istEditor-in-ChiefderZeitschrift„AdvancesinComputatio- nalMathematics“. Inhaltsverzeichnis 1 ModellierungoderwiemanaufeineDifferenzialgleichungkommt 1 1.1 MathematischeModellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Transportprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 DieWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 DieBlack-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Jetztwirdesmehrdimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∗ 1.7 Esgibtnochmehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 KlassifikationpartiellerDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . 29 ∗ 1.9 KommentarezuKapitel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 KategorisierungundCharakteristiken 33 2.1 CharakteristikenvonAnfangswertproblemenaufR . . . . . . . . . 34 2.2 GleichungenzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ∗ 2.3 NichtlineareGleichungenzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . 47 ∗ 2.4 GleichungenhöhererOrdnungundSysteme . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 ElementareLösungsmethoden 53 3.1 DieeindimensionaleWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Fourier-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 DieLaplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 DieWärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 DieBlack-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.6 Integraltransformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.7 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4 Hilbert-Räume 115 4.1 UnitäreRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3 Vollständigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4 OrthogonaleProjektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5 LinearformenundBilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6 SchwacheKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.7 StetigeundkompakteOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.8 DerSpektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137