UFRGS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo Maria Alice Gravina Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação para obtenção do título de Doutor em Informática na Educação Orientadora: Prof ª. Dra. Lucila M. Costi Santarosa Co-orientadora: Prof ª. Dra. Liane Tarouco Porto Alegre, setembro de 2001. A Cecília e Vinícius, meus vínculos perenes. Eles bem compreenderam meu empenho na realização deste trabalho e minha conseqüente ausência, em muitos momentos de suas vidas, durante o período de doutorado. III AGRADECIMENTOS À professora Lucila Costi Santarosa, orientadora, pelas inúmeras discussões que sempre apontaram às necessárias clareza e coerência de idéias, fundamentais ao término da tese. Também pelas conversas amigas, com seu olhar holístico de vida, que muito me ajudaram em momentos difíceis. À professora Liane Tarouco, co-orientadora, por seu empenho em viabilizar estágio de pesquisa junto à Université Joseph Fourier. Ao professor Dalcídio Claudio pelo decidido apoio proporcionador de inter- câmbio acadêmico-científico internacional à alunos ainda em fase de doutorado, do qual usufrui. Aos pesquisadores da Equipe Informatique et Apprentissage des Mathéma- tiques, do Laboratoire IMAG-Leibniz da Université Joseph Fourier, pela calorosa aco- lhida e frutuosas discussões acadêmicas. Em particular à professora Colette Laborde, com quem discuti sobre o propósito e a pertinência da tese. A Airton Cattani e Ana Wilma Tijiboy, companheiros de doutorado, pelos estudos à três em que melhor entendemos a complexidade de um doutorado em área interdisciplinar. Também pelo apoio amigo nos solitários momentos de trabalho. Aos treze alunos da disciplina de Geometria I do curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS que prontamente se engajaram como sujeitos desta investigação. E também aos alunos, de turmas anteriores, pela contribuição ao delineamento do pro- blema sob investigação. Com todos eles aprendi, um pouco mais, sobre o complexo processo de construção de conhecimento. Aos colegas e funcionários do Departamento de Matemática Pura e Aplica- da da UFRGS, ao facilitarem condições para a realização deste trabalho. A Carlos Alberto Gravina, pela paciente revisão do texto, desenho dos grá- ficos e editoração. À PROPESQ / UFRGS pelo apoio financeiro parcial. À FAPERGS, pelo apoio financeiro que permitiu estágio de pesquisa du- rante a fase final de tese junto à Equipe Informatique et Apprentissage des Mathémati- ques do Laboratoire IMAG-Leibniz da Université Joseph Fourier. Em especial ao Luiz Fernando, pelos muitos mergulhos no entendimento da matemática e, também, da vida. III IV SUMÁRIO Lista de figuras.............................................................................................................VII Resumo ........................................................................................................................XIII Abstract........................................................................................................................XIV 1 O FENÔMENO DE INTERESSE................................................................................1 2 SUBSÍDIOS TEÓRICOS .............................................................................................9 2.1 A natureza da matemática............................................................................................9 2.2 O processo de construção de conhecimento...............................................................18 2.2.1 Aspectos cognitivos...............................................................................................18 2.2.2 Tecnologia informática..........................................................................................35 2.3 A situação didática.....................................................................................................42 3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM GEOMETRIA .........................51 3.1 Da geometria empírica à geometria dedutiva ..............................................................51 3.2 As dificuldades...........................................................................................................58 3.2.1 O desenho, a linguagem e os conceitos geométricos ............................................59 3.2.2 O significado de uma demonstração......................................................................64 3.2.3 O processo de demonstração.................................................................................71 3.3 Os ambientes de geometria dinâmica.........................................................................82 3.3.1 As possibilidades...................................................................................................88 3.3.2 Pensamento visual e argumentação.......................................................................92 4 A INVESTIGAÇÃO ..................................................................................................99 4.1 O problema central........................................................................................................99 4.2 A metodologia: Engenharia Didática.......................................................................100 4.3 Detalhamento e implementação da Engenharia Didática.........................................101 4.3.1 Análise preliminar...............................................................................................101 4.3.2 Concepção da situação didática, análise a priori e formulação de hipóteses......102 4.3.2.1 A seqüência de atividades e a análise a priori..............................................104 IV V 4.3.2.2 A formulação de hipóteses...........................................................................116 4.3.3 Experimentação e análise a posteriori...................................................................117 4.3.3.1 A experimentação.........................................................................................118 4.3.3.2 A análise a posteriori...................................................................................122 5 RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................189 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................197 ANEXOS......................................................................................................................208 Anexo 1.........................................................................................................................211 Anexo 2.........................................................................................................................217 Anexo 3.........................................................................................................................255 V VI LISTA DE FIGURAS 1 O FENÔMENO DE INTERESSE 1.1 Interface do software Cabri-Geometry II......................................................................6 2 SUBSÍDOS TEÓRICOS 2.1 Estruturas lógicas e funcionamento cognitivo............................................................25 2.2 Construção de conhecimento e tecnologia informática..............................................37 2.3 Os equilíbrios / desequilíbrios do sujeito...................................................................42 2.4 O sujeito e o saber, na teoria das situações didáticas................................................47 2.5 O desenrolar da situação didática...............................................................................48 3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM GEOMETRIA 3.1 Correspondência entre os quatro primeiros níveis de pensamento geométrico do modelo de VAN HIELE e os estágios de desenvolvimento cognitivo da teoria piagetiana..........................................................................................................54 3.2 Teorema de Pitágoras.................................................................................................60 3.2 Correspondência entre estágios de desenvolvimento cognitivo e categoria de provas..................................................................................................68 3.4 Complexidade do processo de demonstração.............................................................71 3.5 Componentes proposicional e figural de um teorema................................................72 3.6 Problema utilizado para categorizar erros dos alunos em argumentações dedutivas......................................................................................73 3.7 Tratamento do componente figural: reinterpretação e reconstrução..........................74 3.8 Reconstrução do componente figural.........................................................................75 3.9 Extensão de desenho...................................................................................................75 VI VII 3.10 Reconstrução / extensão / reconstrução no tratamento do desenho...........................76 3.11 Relação entre as características das subcomponentes dos desenhos e o desempenho dos alunos........................................................................................78 3.12 Relação entre conceitos / classificações em FISCHBEIN, BALACHEFF, ZYKOVA, DUVAL e em PIAGET...........................................................................79 3.13. Interface de software de geometria dinâmica........................................................... 83 3.14 Quadrados construídos com controle geométrico (à esquerda) e sem controle geométrico (à direita).................................................................................................84 3.15 Desenho de quadrado com procedimento geométrico................................................85 3.16 Relação funcional entre objetos, armazenada pelo software......................................85 3.17 Ângulos em movimento: de adjacente a suplementar................................................86 3.18 Explicação de CLAIRAUT, utilizando figura dinâmica............................................87 3.19 Explicação de LEGENDRE, utilizando figura dinâmica...........................................87 3.20 Raciocínio de aluno, de natureza transformacional...................................................94 3.21 Demonstração do teorema da soma dos ângulos de um triângulo, feita por aluna utilizando o recurso de “desenho em movimento”.............................95 3.22 Generalização do teorema clássico, “o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo eqüidista dos vértices do triângulo”.................................96 3.23 O dinamismo e a mudança de ponto de vista.............................................................97 4 A INVESTIGAÇÃO 4.1 Engenharia Didática: fases da investigação.............................................................101 4.2 Análise a priori, atividade 1 : no primeiro quadrilátero (...)..................................105 4.3 Análise a priori, atividade 2: uma possível construção (...)...................................106 4.4 Análise a priori, atividade 3, primeira parte: a construção inicia com o triângulo (...)..................................................................................................109 4.5 Análise a priori, atividade 3, parte 2: a construção inicia com triângulo (...) ............................................................................................................109 4.6 Análise a priori, atividade 4, primeira parte: a construção inicia com quadrilátero (...) .......................................................................................................110 4.7 Análise a priori, atividade 4, segunda parte: a construção das três caixas pretas inicia com um dos segmentos (...) .................................................................111 4.8 Análise a priori, atividade 5, primeira parte: o ponto L é uma rotação do ponto S, de um certo ângulo fixo, em torno de um ponto fixo. .........................112 4.9 Análise a priori, atividade 5, segunda parte: o ponto L é a imagem homotética de S, com centro de homotetia em F......................................................113 4.10 Análise a priori, atividade 6. Um problema de minimização..................................114 VII VIII 4.11 Análise a priori, atividade 7: os segmentos AP1 e P1Q1 são congruentes e perpendiculares, bem como os segmentos AP2 e AQ2; o ponto T é ponto médio de Q1Q2.........................................................................................................115 4.12 Interpretação inadequada do desenho de círculos tangentes De desenho representando dois círculos tangentes (...)............................................119 4.13 Dificuldade advinda de imagem mental prototípica do segmento altura de um triângulo Tendo sido apresentada a definição (...)...........119 4.14 Interpretação inadequada do desenho Em desenho apresentado com proposital imprecisão (...)........................................................................................ 119 4.15 Desenho livre de formas geométricas.....................................................................123 4.16 Desenho livre lúdico................................................................................................123 4.17 Análise a posteriori, Atividade 1, quadrilátero 1, grupos 1 e 3.............................124 4.18 Análise a posteriori, Atividade 1: quadrilátero 1, grupos 2, 7 e 8........................126 4.19 Análise a posteriori, Atividade 1, quadrilátero 1, grupos 1 e 3.............................127 4.20 Análise a posteriori, Atividade 2, quadrilátero 1, grupo 6....................................128 4.21 Análise a posteriori, Atividade 2. Explicitação dos fatos declarados na construção......................................................131 4.22 Análise a posteriori, Atividade 2. Demonstrações relativas aos quadriláteros 2 e 3.....................................................134 4.23 Análise a posteriori, Atividade 3: objeto inicial círculo e objeto inicial triângulo...........................................................................................135 4.24 Análise a posteriori, Atividade 3. Construção usando arcos de círculo.................135 4.25 Análise a posteriori, Atividade 3. Construção particularizando o triângulo ................................................................136 4.26 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa preta” 1. Construção satisfatória ............................................................................................137 4.27 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa preta” 1. Construção insatisfatória .........................................................................................137 4.28 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa-preta” 1. Construção e fatos estáveis implícitos insatisfatórios.............................................138 4.29 Análise a posteriori, Atividade 3. Construção inadequada, revelada pelo dinamismo da figura ................................ 139 4.30 Análise a posteriori, Atividade 3. Identificção da condição de tangência, por via de dinamismo da figura..................139 4.31 Análise a posteriori, Atividade 3. Construção adequada da “caixa preta” 2..................................................................140 4.32 Análise a posteriori, Atividade 3. Explicação de natureza empírica1............................................................................141 VIII IX 4.33 Análise a posteriori, Atividade 3. Argumentação apoiada em fatos estáveis implícitos................................................142 4.34 Análise a posteriori, Atividade 3. Extensões e reconstruções de desenho suporte à demonstração dos teoremas do círculos circunscrito e inscrito ao triângulo...................................143 4.35 Análise a posteriori, Atividade 7. Dinamismo na “estratégia dos piratas” ....................................................................146 4.36 Análise a posteriori, Atividade 7. Dinamismo evidenciando a independência dos pontos A e T ................................147 4.37 Análise a posteriori, Atividade 7. Construção de nova estratégia..................................................................................147 4.38 Análise a posteriori, Atividade 7. Construção sobrepondo as duas estratégias .............................................................148 4.39 Análise a posteriori, Atividade 7. Extensões de desenho visando a emergência de subconfigurações .........................149 4.40 Análise a posteriori, Atividade 7. Tentativa de demonstração em caso particular ........................................................150 4.41 Análise a posteriori, Atividade 7. Novas extensões de desenho com destaque à subconfigurações .............................150 4.42 Análise a posteriori, Atividade 7. Subconfigurações trapézio e triângulo, suporte à argumentação ..........................151 4.43 Análise a posteriori, Atividade 7. Demonstração da pertinência da nova estratégia .....................................................152 4.44 Análise a posteriori, Atividade 7. Demonstração como um produto do processo ....................................................... 153 4.45 Análise a posteriori, Atividade 7. Complexidade da extensão de desenho, suporte à demonstração ..........................154 4.46 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Validações de natureza empírica..............................................................................155 4.47 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Subconfiguração emergente em situação particular.................................................156 4.48 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Diferentes níveis de controle de argumentação dedutiva ........................................157 4.49 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Situações prototípicas e não prototípicas ...............................................................158 4.50 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Exploração dinâmica de propriedade do quadrilátero ABCD ................................158 4.51 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1. Construção das réplicas das “caixa -pretas” por via das diagonais de ABCD ........159 IX