Operads Hopf algebras and coloured Koszul duality PH.D.THESISOF PEPIJNVANDERLAAN ATUTRECHTUNIVERSITY JANUARY12TH,2004 TERNAGEDACHTENISAAN Dr. Anthonie van Heemert (Wiskundige,1912–1968) Ignorosicre´ıalgunavezenlaCiudaddelosInmortales: piensoquemebasto´ latareadebuscarla. JorgeLuisBorges Contents Introduction 11 0 Preliminaries 21 0.1 Assumptions,conventions,andnotations . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0.2 Classicalconcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §1 Algebras,coalgebras,Hopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . 22 §2 Liealgebrasandpre-Liealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §3 Hochschildcomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0.3 Operadsandcooperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §4 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §5 Graphsandtrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §6 Freeoperadsand‘cofree’cooperads . . . . . . . . . . . . . . . 30 §7 Cofibrantoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §8 Algebrasandmodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I OperadsandHopfAlgebras 35 1 OperadsandRenormalisation 37 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.2 Constructionsoncooperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §1 Bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §2 Hopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 §3 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §4 Liealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3 Firstexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §5 Formaldiffeomorphismsontheline . . . . . . . . . . . . . . . 44 7 8 Contents §6 AssociativeandLieoperad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 §7 TheConnes-KreimerHopfalgebraoftrees . . . . . . . . . . . 47 §8 Thedoublesymmetricalgebraconstruction. . . . . . . . . . . 49 1.4 Operadsofgraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §9 TheoperadΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §10 TheConnes-KreimerHopfalgebraofgraphs . . . . . . . . . . 53 §11 Cyclicoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 §12 TheoperadΓ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 §13 TheWickalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 Hopfoperadsandtrees 59 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 HopfoperadsandtheirHopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §1 Hopfoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §2 Freeextensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §3 HopfP-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4 FreeextensionsandHopfP-algebras . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3 Hopfalgebrasoftrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §5 AfamilyofHopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §6 Hopfalgebrasofrootedtreeswithcolourededges . . . . . . . 67 §7 ThedualHopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §8 Relatedoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §9 Pre-Liealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §10 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §11 PruningHopfalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 §12 Interlude: dendriformalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 §13 TheLoday-Roncoconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 II ColouredKoszulDuality 79 3 AlgebroidsandKoszulduality 81 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 ThecolouredoperadforAlgebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §1 Algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §2 Colouredoperads. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §3 TheoperadAbd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3 ColouredKoszulduality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §4 Colouredoperadsasoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Contents 9 §5 Barandcobarconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 §6 Koszulduality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4 Example: algebraswithamodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §7 Theoperadforalgebraswithamodule . . . . . . . . . . . . . 92 §8 Homologywithcoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §9 Complexesfromclassicalhomologicalalgebra . . . . . . . . . 95 3.5 Koszuldualityforalgebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 §10 Thehomologycomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 §11 Koszulduality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 §12 Theexplicitformulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6 AlgebroidsandPoissonalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §13 Anadjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §14 Poissonhomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4 Stronglyhomotopyoperads 107 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2 Operadsuptohomotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 §1 Anoperadofnon-symmetricpseudooperads . . . . . . . . . 109 §2 KoszuldualityforPsOpd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 §3 Operadsuptohomotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 §4 Stronglyhomotopyhomomorphisms . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3 Stronglyhomotopyalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 §5 Endomorphismoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 §6 StronglyhomotopyQ-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 §7 Example: configurationspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4 TheL -algebraofas.h. operad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ∞ §8 Re´sume´ onL -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ∞ §9 Theoremandexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §10 Asymmetrisationlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 §11 ProofofTheorem4.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5 Cotangentcohomologyanddeformations . . . . . . . . . . . . . . . . 126 §12 Re´sume´ ontheMaurer-Cartanequation . . . . . . . . . . . . . 127 §13 Maurer-Cartanforconvolutionoperadsuptohomotopy . . . 129 §14 Totalcotangentcohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 §15 Cotangentcomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 §16 Deformationcomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133