Thomas Berger On differential-algebraic control systems On differential-algebraic control systems Thomas Berger Universitätsverlag Ilmenau 2014 Impressum Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Angaben sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Diese Arbeit hat der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Ilmenau als Dissertation vorgelegen. Tag der Einreichung: 5. Juli 2013 1. Gutachter: Prof. Dr. Achim Ilchmann (Technische Universität Ilmenau) 2. Gutachter: Jun.-Prof. Dr. Thomas Hotz (Technische Universität Ilmenau) 3. Gutachter: Prof. Dr. Volker Mehrmann (Technische Universität Berlin) Tag der Verteidigung: 14. Oktober 2013 Technische Universität Ilmenau/Universitätsbibliothek Universitätsverlag Ilmenau Postfach 10 05 65 98684 Ilmenau www.tu-ilmenau.de/universitaetsverlag Herstellung und Auslieferung Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat OHG Am Hawerkamp 31 48155 Münster www.mv-verlag.de ISBN 978-3-86360-081-5 (Druckausgabe) URN urn:nbn:de:gbv:ilm1-2013000521 Titelfoto: photocase.com | Lily 5 Zusammenfassung In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische Gleichungen(differential-algebraicequations,DAEs)derForm dEx= dt Ax + f betrachtet, wobei E und A beliebige Matrizen sind. Falls E nichtverschwindende Eintr¨age hat, dann kommen in der Gleichung Ableitungender entsprechendenKomponentenvonx vor. FallsE eine Nullzeile hat, dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungenvor und sie ist rein algebraisch. Daher werden Gleichung- en vom Typ dEx = Ax + f differential-algebraische Gleichungen dt genannt. Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil, einen unterbestimmten Anteil und einen u¨berbestimmten An- teil. Jeder Anteil beschreibt ein anderes Lo¨sungsverhalten in Hinblick auf Existenz und Eindeutigkeitvon Lo¨sungen fu¨r eine vorgegebeneIn- homogenita¨t f und Konsistenzbedingungen an f. Die Zerlegung, na- mentlich die quasi-Kronecker Form (QKF), verallgemeinert die wohl- bekannte Kronecker-Normalformund behebt einige ihrer Nachteile. Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrol- lierbarkeit und Stabilisierbarkeit fu¨r DAEs mit f = Bu zu studieren. Hier bezeichnet u den Eingang des differential-algebraischen Systems. EswerdenZerlegungenunterSystem-undFeedback-A¨quivalenz,sowie die Folgen einer Behavioral-Steuerung Kxx+Kuu = 0 fu¨r die Stabil- isierung des Systems untersucht. Falls fu¨r das DAE-System zus¨atzlich eine Ausgangs-Gleichung y = Cxgegebenist,dannla¨sstsichdasKonzeptderNulldynamikwiefolgt definieren: die Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar ist, d.h. die Menge aller Lo¨sungs-Trajektorien (x,u,y) mit y = 0. Fu¨r rechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung hergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. DieseversetztunsindieLage,eineBehavior-Steuerungzu entwickeln, die das System stabilisiert, vorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil. Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigen- schaften der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochver- sta¨rkungs- und Funnel-Regelung. Ein System dEx = Ax+Bu, y = dt Cx, hat die Hochversta¨rkungseigenschaft, wenn es durch die Anwen- 6 dung der proportionalen Ausgangsru¨ckfu¨hrung u = −ky, mit k > 0 hinreichend groß, stabilisiert werden kann. Wir beweisen, dass rechts- invertierbareSystememit asymptotischstabilerNulldynamik,die eine bestimmte Relativgrad-Annahme erfu¨llen, die Hochverst¨arkungseigen- schaft haben. W¨ahrend der Hochverst¨arkungs-Reglerrecht einfachist, ist es jedoch a priori nicht bekannt, wie groß die Versta¨rkungskon- stantek gewa¨hltwerdenmuss. DiesesProblemwirddurchdenFunnel- Regler gel¨ost: durch die adaptive Justierung der Versta¨rkung u¨ber eine zeitabh¨angige Funktion k(·) und die Ausnutzung der Hochver- sta¨rkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte k(t) nur dann angenommen werden, wenn sie n¨otig sind. Eine weitere wesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente Verhalten des Fehlers e = y −y der Bahnverfolgung, wobei y die Referenztra- ref ref jektorie ist, beachtet. Fu¨r einen vordefinierten Performanz-Trichter (funnel) ψ wird erreicht, dass (cid:2)e(t)(cid:2)<ψ(t). SchließlichwirdderFunnel-RegleraufdieKlassevonMNA-Modellen von passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen in- variantenNullstellenangewendet. DieserfordertdieEinschra¨nkungder Menge der zula¨ssigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfu¨llen. 7 Abstract In the present thesis we consider differential-algebraic equations (DAEs) of the form dEx = Ax + f, where E and A are arbitrary dt matrices. If E has nonzero entries, then derivatives of the respective componentsofxareinvolvedintheequation. IfE hasazerorow,then the respective equation involvesno derivativesand is purely algebraic. This justifies to call dEx=Ax+f a differential-algebraicequation. dt One aim of the thesis is to derive a structural decomposition of the DAE into four parts: the ODE part, nilpotent part, underdetermined part and overdeterminedpart. Each part describes a different solution behavior regarding existence and uniqueness of solutions for given in- homogeneities f and consistency conditions on f. The decomposition, namely the quasi-Kronecker form (QKF), generalizes the well-known Kronecker canonical form and resolves some of its disadvantages. The QKF is exploited to study the different controllabilityand sta- bilizability concepts for DAEs with f = Bu. Here u denotes the in- put of the differential-algebraicsystem. Decompositions under system and feedback equivalence and the consequence of behavioral control Kxx+Kuu=0 for the stabilizationof the system is investigated. If the DAE system is accompanied by an output equation y = Cx, we may define the concept of zero dynamics: roughly speaking, the zero dynamics are those dynamics which are not visible at the output, i.e., the set of all solution trajectories (x,u,y) with y = 0. For right- invertible systems with autonomous zero dynamics a decomposition is derived, which decouples the zero dynamics of the system and enables us to derive a behavioral control which stabilizes the system, provided that the zero dynamics are stable as well. We will also consider two control strategies which benefit from the properties of the above mentioned system class: high-gain and funnel control. We saythatasystem dEx=Ax+Bu,y =Cx,hasthehigh- dt gain property if it is stabilizable by the application of the feedback u = −ky for sufficiently large k > 0. It is proved that right-invertible systems with asymptotically stable zero dynamics which satisfy a cer- tain relative degree assumption possess the high-gain property. While the high-gain controller is quite simple, it is, however, not known a priori how large the gain constant k must be chosen. This problem is resolved by the funnel controller: by adaptively adjusting the gain via 8 a time-varying function k(·) and exploiting the high-gain property, it isachievedthathighvaluesofk(t)areusedonlywhenrequired. More- over, and most important, the funnel controller takes the transient behavior of the tracking error e = y −y , where y is a reference ref ref signal, into account. For a prespecified performancefunnel ψ it can be guaranteed that (cid:2)e(t)(cid:2)<ψ(t). Finally, the funnel controller is applied to the class of MNA models of passive electricalcircuitswith asymptoticallystable invariantzeros. This requiresto restrict the set of allowablereference trajectoriessuch that any trajectory, in a sense, satisfies Kirchhoff’s laws pointwise. 9 Danksagung Zuallererst gilt mein Dank Achim Ilchmann fu¨r die Schaffung einer angenehmen und konstruktiven Arbeitsatmosph¨are. Mit hilfreichen Ratschl¨agen und angebrachter Kritik hat er auch bei kleinsten Un- sicherheiten ausgeholfen. Ich danke ihm vor allem auch fu¨r die Anre- gung zum Schreiben meiner Bachelorarbeit u¨ber DAEs, die ich Ende 2007 begann, welche in meiner Masterarbeit fortgesetzt wurde und schließlichin der vorliegendenDissertation(wenn auch thematischan- ders gelagert)gipfelte. In diesen sechs Jahren war er mir ein hervorra- gender Mentor und, nicht zuletzt, ein guter Freund. Ich danke meiner Freundin Lisa Hoffmann fu¨r ihre ununterbrochene Unterstu¨tzung. AuchinhektischenundstressigenSituationenwarund ist sie an meiner Seite, und ich weiß, dass es nicht immer einfach fu¨r sie war, da ich doch oft einiges unbewusst von ihr vorausgesetzt habe. StephanTrennundTimoReisdankeichfu¨rdieguteundangenehme Zusammenarbeit, aus der verschiedene gemeinsame Publikationen, die auch einen Beitrag zu der vorliegenden Arbeit leisten, hervorgegangen sind. Nicos Karcanias und George Halikias (beide City University Lon- don) gilt mein Dank fu¨r die Gastfreundlichkeit, die mir bei meinem Forschungsaufenthalt in London entgegenbracht wurde. Die resultier- ende angenehme Atmosph¨are war die Grundlage fu¨r eine effektive Zu- sammenarbeit. Ich danke auch dem Deutschen Akademischen Aus- tauschdienst fu¨r die Mitfinanzierung dieses Forschungsaufenthalts. IchbedankemichbeidenGutachternVolkerMehrmann(TUBerlin), Thomas Hotz (TU Ilmenau) und natu¨rlich Achim dafu¨r, dass sie sich die Zeit genommen haben meine Arbeit gru¨ndlich zu lesen und zu be- werten. Weiterhindankeichalldenen, diesichindenletztenJahrengernan einer wissenschaftlichenDiskussionmitmirbeteiligten,sei es aufeiner Tagung oder bei einer angenehmen Kaffeerunde gewesen. Besonders erwa¨hnen mo¨chte ich dabei Volker Mehrmann, Fabian Wirth, Carsten Trunk, Henrik Winkler, Markus Mu¨ller, Karl Worthmann und Stefan Brechtken. AußerdemgiltmeinDankderDeutschenForschungsgemeinschaftfu¨r die Erm¨oglichung dieser Arbeit durch die Finanzierung meiner Stelle u¨ber das Projekt Il25/9. 10 Meinen Eltern m¨ochte ich schließlich fu¨r ihre kontinuierliche Un- terstu¨tzungdankenunddafu¨r,dasssiemirdiesenLebenswegermo¨glicht haben.