Hvad er matematik? A, i-bog Hvad er matematik? A, i-bog er stadig under udarbejdelse. Der mangler enkelte projekter og alle studieretningskapitlerne. Fra d. 1/8-2014 er der ikke længere fri adgang til iBogen. En licens koster 62kr og kan købes her Ny funktion i i-bogen: Visuel navigation og sidetal Det er nu blevet meget lettere både at overskue det omfattende indhold . g samt at navigere i i-bogen. o Tag fat i skyderen og træk den til siden. Nu vises et preview af den side b man kommer til når skyderen slippes. Derudover har hver side fået et i- sidetal man kan referere til i undervisningen. A Bemærk at i de tilfælde at i-bogen også findes som papirbog er der ? s ikke nødvendigvis overensstemmelse med det analog og det digitale k e i r sidetal! t e a i m p o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M Til underviseren På de følgende sider findes en beskrivelse af opbygningen af dette lærebogssystem samt en vejledning til brugen med referencer til læreplanens faglige mål. Klik her for en oversigt over en række registre, som giver overblik over de mange materialer der er omtalt i lærebogssystemet. Klik her for at se læreplaner, vejledninger mv. fra Undervisningsministeriet . g o b - i A ? s k e i r t e a i m p o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M Undervisningsministeriets læreplaner, vejledninger mv. Læreplan for matematik A på stx Karakterbeskrivelse for matematik A mundtligt på stx Karakterbeskrivelse for matematik A skriftligt på stx Undervisningsvejledning til matematik A på stx Forord til eksamensopgaver i matematik A på stx Læreplan for almen studieforberedelse Kapitel om matematik og didaktik fra bogen Gymnasiepædagogik (red. Erik Damberg, Gitte Holten Ingerslev, Jens Dolin, Peter Kaspersen. Hans Reitzels Forlag 2013) g. o b - i A ? s k e i r t e a i m p o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M Registre til Hvad er matematik? A Under udarbejdelse. Vi henviser indtil videre til C-bogens registre og til anvendelse af søgefunktionen. . g o b - i A ? s k e i r t e a i m p o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M 0. En verden fuld af matematik Den klassiske matematik er domineret af differential- og integralregningen – hele det område, vi kalder analysen – hvor de variable løber kontinuert gennem delmængder af de reelle tal. I moderne matematik spiller diskrete modeller, hvor de variable eksempelvis løber gennem delmængder af de naturlige tal, imidlertid en stigende rolle. Det skyldes bl.a. de nye muligheder, computeren giver. I dette kapitel ser vi på tre forskellige facetter af den diskrete matematik. På hjemmesiden findes materialer om andre sider af moderne matematik. Topologi er en generaliseret form for geometri, hvor studiet af kvantitative forhold som afstande og vinkler er nedtonet til fordel for studiet af kvalitative forhold som fx, om der er huller, eller om figuren er sammenhængende. Ved at repræsentere det objekt, vi studerer, med en graf bestående af et endeligt antal linjer, der mødes i knudepunkter, er det muligt at opbygge en teori, der bl.a. handler om, hvilke typer af veje der fører igennem et sådant rum. Denne grafteori anvendes fx i studiet af komplekse organisationer. g. Kan vi undgå fejl, når vi kommunikerer digitalt, og kan vi udvikle metoder til at o rette fejl, hvis vi afslører sådanne? Fejlretning er helt afgørende for, at vi kan b - afspille musik, sende billeder eller gennemføre samtaler med mobiltelefoner. i Regning med diskrete polynomier viser sig her at spille en overraskende rolle. A ? s Hvordan kan man kommunikere sikkert, så kun den ønskede modtager kan k e læse vores besked? Det har altid været vigtigt for militæret, men er i dag ti er a altafgørende for det moderne samfunds mange pengetransaktioner. Det viser m pi sig her, at studiet af primtallene åbner for helt uventede løsninger. o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M 1. Grafteori Byen Kaliningrad i Rusland var tidligere hovedstad i Preussen og hed dengang Königsberg. Byen deles af en flod, Pregolya (tidligere kaldet Pregel). I floden er der to øer (A og D), der i 1700-tallet var forbundet med hinanden og byen med syv broer. Man ved ikke, hvem der først stillede det meget enkle spørgsmål: Kan man gå en tur, hvor man passerer hver bro netop en gang, og hvor man slutter samme sted, som man begyndte? Men datidens største matematiker, Leonard Euler (1707-1783), hørte om det og satte sig for at løse det. . g o b Eulers tegning af broerne i Königsberg (1736). Portrættet viser Euler med et af hans talrige manuskripter. Euler er historiens - mest produktive matematiker, og han skrev over 800 artikler og bøger, flere hundrede heraf efter at han var blevet blind. Man i møder hans navn i alle grene af matematik. Det blev sagt om ham, at "han foretog sine beregninger, som mennesker trækkeAr vejret eller ørne holder sig svævende i luften". ? s k e Øvelse 0.1 i r t e a) Skitser forskellige lukkede spadsereture gennem byen over broerne, hvor du højst må paassere hver i af broerne én gang. Hvor mange broer kan du komme over? m p o b)Hjælper det, hvis du ikke behøver at slutte det samme sted, som du begyndte speadseretureng? k at ru r I 1736 publicerede Euler en løsning af Königsberg-problemet i en artikel med tmitlen Solutibo problemateis ad geometriam situs pertinentis, der kan oversættes til Løsning vedrørender g eometriskne psroblemere mlled hensyn til positionen. Som titlen antyder, er det alene de indbyrdes poseitioner – oeg ikke de insd byrdes afstande – der er relevante. Med denne artikel var en ny gren af mda tematikkenm født. I manege år blev denne nye matematik kaldt geometria situs, efter artiklen. I dag kaldesa emnet for atopologi, oegr det er et af de helt s tore områder af moderne matematik. H v ks bu e Øvelse 0.2 af ri l t I denne øvelse kan du prøve kræfter med endn u en af det tiopologiske s"gåder", det såkaldte n i springerproblem fra skakkens verden. o n d Du skal i opgaven bruge to filer som dui kan finde huer og her e s K r r e e d Svaret på Königsbergproblemet lvader vi svæve lidt endinu. Spørgsmålet lader sig besvare ved hjælp af v grafteorien, som vi nu vil givee en introduktion til. n e i k fl k f O i å M 1.1 Vejnet Lad os betragte vejnettet i Danmark. Vi tager et udsnit fra www.krak.dk, som viser hovedvejnettet mellem byerne Næstved, Ringsted, Sorø, Slagelse, Holbæk og Kalundborg. Da vi kun er interesseret i et billede af vejnettet mellem de seks byer, kan vi tegne en grafskitse hvor punkterne repræsenterer byerne, og linjerne, eller kanterne, viser, at der en vejforbindelse mellem to byer. Vi skal løse to problemer. . g o b Øvelse 0.3 - Vejvæsenet skal have kontrolleret vejnettet mellem de seks byer, så vejvæsenet skal – i A hvis det er muligt – have en løsning, hvor hver enkelt vejstrækning af hensyn til økonomien kontrolleres netop én gang. Hver kant på skitsen skal altså tilbagelægges ? s netop én gang på køreturen. Kan du skitsere en sådan køretur? k e i r t e a i m p Øvelse 0.4 o En chauffør fra et postvæsenet skal aflevere pakker i hver af de seks byer. Men e g k chaufføren og lastbilen behøver ikke at køre på alle vejene, dvs. hvert punkt skaatl ru r m b e besøges, men ikke nødvendigvis hver kant. Kan du skitsere en sådan køretur? r ns ell Øvelse 0.5 d e m e e s I det følgende er der givet tre forskellige skitser af et vejnet maellem et anatal byer. er 1) 2) 3) H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e a) Undersøg for hvert af de tre veejnet, om der er en elledr flere løsninger for v vejvæsenet. i v b)Undersøg for hvert af dee tre vejnet, om der er e n eller flere løsninger for n e postvæsenet. i k ffl k Egenskaber ved Ovejnettet å i Vi kan for hvert vejnet prøve at løse Mopgaven for henholdsvis vejvæsenet og postvæsenet ved simpelthen at prøve os frem. Men vi kunne også lede efter nogle egenskaber ved et vejnet, som kan gøre det muligt for os let at løse fx postvæsenets opgave. I øvelse 0,5 så vi, at vi ikke kunne finde en løsning til postvæsenet i vejnet nr. 2, da vi skulle køre tilbage ad en af vejene. Dette kan vi generalisere, hvis vi først betragter en by A, hvortil der er tre veje. Vi kan nu vælge to strategier. Strategi 1: Vi starter i A, og vi forlader byen ad en kant. Derefter skal vi komme tilbage ad en anden kant og forlade A ad den tredje kant. Strategi 2: Vi starter ikke i A, dvs. vi kommer til byen ad en kant og forlader den ad en anden kant. Vi mangler så at køre ad den sidste kant, og dermed skal vi slutte i A. Konklusion: Hvis vi starter i A, så slutter vi ikke i A. Men omvendt gælder der: Hvis vi ikke starter i A, så slutter vi i A. Øvelse 0.6 Vi har by A med fem veje. a) Argumenter for, at vi får samme konklusion, som i tilfældet med tre veje. b) Generaliser til, at byen A har et ulige antal veje. I det ovenstående har vi analyseret en del af et vejnet, hvor der udgår et ulige antal veje fra en by. Lad os nu i stedet betragte en by med et lige antal veje. Igen kan vi vælge to strategier. Strategi 1: Vi starter i B, dvs. vi forlader byen ad en kant. Derefter kommer vi tilbage ad en anden kant, og vi forlader igen B ad en tredje kant. Da vi nu mangler en fjerde kant, så skal vi slutte i B. Strategi 2: Vi starter ikke i B, dvs. vi kommer til byen ad en kant. Vi forlader B ad en anden kant, og . derefter skal vi komme til B ad en tredje kant. Vi skal så forlade B ad den fjerde kant, og g dermed slutter vi ikke i B. o b - Konklusion: Hvis vi starter i B, så slutter vi også i B. Omvendt gælder der: Hvis vi ikke i A starter i B, så slutter vi heller ikke i B. ? s k e Øvelse 0.7 i r t e Vi har en by A med seks veje. a i m p a) Argumenter for, at vi får samme konklusion, som i tilfældet med o fire veje. e g k b) Generaliser til, at byen B har et lige antal veje. at ru r m b e r ns ell Når vi analyserer en del af et vejnet, så er det altså afgørende, om antaellet af vejee, der s udgår fra en by, er et lige antal eller et ulige antal. Vi samler nu kondk lusionernem i den e følgende sætning: a a er H v ks u b Sætning 1: Forskellen på situationer med et lige og et ulige eantal veje fra et af ri hjørnepunkt l t ti s n i o n d 1) Hvis der fra et hjørnepunkt i et vejinet udgår etu ulige antael veje, skal vejvæsenet enten slutte eller starte i dette pusnkt. K r r e 2)Hvis der fra et hjørnepunkt i eet vejnet udgår et liged antal veje, så skal v vejvæsenet slutte her, h vis de starter her. Omvviendt så skal vejvæsenet ikke slutte her, hvis de ikkee starter her. n e fli kk På baggrund af sæOftningerne kan vi argu mientere for, at hvis et vejnet har mere end to byer med et ulige antal veje, så kan vi ikke fåinde en løsning til vejvæsenet. M Sætning 2: Uløselige ruteproblemer Vejvæsenets problem har ikke en løsning, hvis der er mere end to hjørnepunkter med et ulige antal veje. Bevis Hvis der fx er tre punkter med et ulige antal veje, så vil der være et punkt med et ulige antal veje, hvor vejvæsenet hverken starter eller slutter. Dermed har vi en modstrid med sætning 1. Inden vi forlader vejvæsnet, generaliserer vi modellen for et vejnet til en punktgraf. Punktgrafen illustreres typisk med en tegning af grafens punkter, hvor kanterne er repræsenteret af kurver, der forbinder de pågældende hjørner. Definition: Punktgraf Ved en punktgraf, eller blot en graf, forstås en samling af punkter – også kaldet knuder eller hjørner – og en samling af kanter, der forbinder par af punkter. Antallet af kanter, der udgår fra et givet hjørne, kaldes graden eller valensen for det pågældende hjørne. Ved en tur – også kaldet en sti – forstås en serie af kanter, der samlet forbinder to punkter i grafen. Hvis en tur starter og slutter samme sted, er turen lukket og den kaldes en cykel eller en kreds. . g o b - i A ? s k e i r t e a i m p o e g k at ru r m b e r ns ell e e s d m e a a er H v ks u b e af ri l t ti s n i o n d i u e s K r r e e d v i v e n e i k fl k f O i å M 1.2 Eulergrafer Vi vender nu tilbage til Eulers broer i Königsberg, hvor vi sammen med datidens kort viser en graf. . g o Øvelse 0.8 b a) Hvordan repræsenteres landomraderne i grafen? Hvordan - i repræsenteres broerne? A b) Argumenter for, at grafen er en korrekt repræsentation af Eulers ? s Königsbergproblem. k e i r at e i Når vi tæller graden for hvert af punkterne, finder vi m p o e g k Punkt A B C D at ru r Grad 5 3 3 3 m b e Konklusion: Dette er løsningen på Königsberg-problemet: Da der er merre end to ns ell punkter med ulige grad, så kan Euler ikke gå en rundtur i Königsbedr g, hevor allem e es broerne passeres netop en gang. Definition: Eulergraf og Eulertur H va ksa bu er e af ri l t Hvis der findes en cykel (dvs. en tur der sta rter ti s og slutter samme sted), som gennemløobenr alle n di kanterne netop én gang, kaldes cyklein en u e Eulercykel, og grafen en Eulergraf.s K r r e e d v Hvis der findes en tur, der gennemløber alle vi kanterne netop en ganng ueden at starte og sluet te i samme punkt, kaldies dette for en Eulertukr. fl k Of i å Øvelse 0.9 M Undersøg, om de følgende to grafer er Eulergrafer. Øvelse 0.10 I dag hedder Königsberg Kaliningrad, og broerne ved Pregel har ændret sig. Et kort fra Google Earth ser ud som dette. Oversæt kortet med de syv broer til en graf, og afgør, om det er muligt at gå en Eulertur via de syv broer.