O Ensino de Equações do 1º Grau com significação: uma experiência prática no ensino fundamental Rejane Melara PDE – 2008 - Colégio estadual Leonardo da Vinci [email protected] Prof. Dr. Osmar Ambrosio de Souza Orientador - Universidade Estadual do Centro-Oeste [email protected] Resumo: O presente artigo tem por objetivo apresentar um estudo e aplicações práticas de metodologias alternativas sobre o ensino-aprendizagem de equações de 1º grau, com significação. Foi desenvolvido na 6ª série do Colégio Estadual Leonardo da Vinci, de Dois Vizinhos – PR, no ano de 2009. Está baseado no cognitivismo de Ausubel; apresenta um pequeno histórico das diferentes concepções da álgebra ao longo da história e como se deu o ensino da álgebra no Brasil. É de caráter qualitativo com abordagem interpretativa. Para se atingir o objetivo, realizamos primeiro uma análise de como os livros didáticos abordam o ensino de equações na 6ª série, desde a década de 70 até a atual; realizamos uma entrevista, por meio de questionário, com professores de Matemática do Paraná e aplicamos metodologias alternativas em sala de aula. Concluímos que as abordagens nos livros didáticos sofreram mudanças significativas, tornando o ensino da álgebra mais intuitivo e significativo; que apesar da resistência de alguns professores, a maioria está sempre buscando metodologias alternativas para tornar o ensino de equações mais significativo e, quando apresentado a diferentes metodologias e práticas, o aluno consegue produzir significado ao resolver uma equação. Abstract: This article has the objective to present a study and practical applications of alternative methods about the teaching and learning of elementary equations, with signification. Developed at the 6th grade of the Colégio Estadual Leonardo da Vinci, Dois Vizinhos – PR, in 2009. It’s based on the cognitivismo of Ausubel; a brief history of the different concepts of the algebra throughout the history and how the algebra happened in Brazil. It has a qualitative feature with interpretative approach. To achieve the objective, first we did an analysis of how the textbooks address the teaching of equation in 6th grade, from the 70s to the present; an interview conducted a questionnaire, with mathematic teachers from Paraná and applied alternative methodologies in the classroom. It is concluded that the approaches in the textbooks have had significant changes, making the teach of algebra more intuitive and meaningful; that despite of the resistance from some teachers, the majority of them is looking for alternative methods to 2 make equations learning more meaningful and when it’s presented to different methodologies and practices, the student can understand the equation when solving it. Palavras-chave: Equação de 1º grau. História da Álgebra. Aprendizagem significativa. Diferentes concepções da álgebra. Metodologias para o ensino de equações. 1 – INTRODUÇÃO A álgebra já estava presente entre os babilônios e egípcios (1.700 a.C.) que, mesmo não tendo sistematizado cientificamente, desenvolveram regras para vários cálculos e resoluções de problemas. Mais de 3.700 anos se passaram, muitos estudiosos (matemáticos ou apaixonados pela Matemática) dedicaram a vida ao estudo e desenvolvimento desta parte da Matemática. O estudo das equações algébricas, durante séculos foi o principal objeto de investigação e contribuiu fortemente para o desenvolvimento da Álgebra Moderna. A crescente utilização de símbolos na álgebra propiciou facilidades em seu aprendizado e esta deixou de ser privilégio de poucos e passou a fazer parte da formação dos cidadãos. No entanto, quando ensinada de forma mecânica, através de regras e técnicas, sem significado, torna-se um elemento de exclusão social, haja vista que, muitas reprovações são “causadas” pela falta de entendimento da álgebra. Diante disso, o objetivo deste artigo é realizar um estudo e aplicações práticas de metodologias alternativas, no ensino fundamental, sobre o ensino- aprendizagem de equações do 1º grau com significação. Para tanto, fez-se necessário: pesquisar a respeito das diferentes concepções da álgebra e os multisignificados dados à equação ao longo da História da Matemática; investigar a respeito do ensino de equações do 1º grau e das dificuldades da aprendizagem de equações, na 6ª série, por meio de questionários a professores de matemática e análise de livros didáticos. 3 A origem deste estudo está nas observações realizadas no Ensino Médio de que a maioria dos alunos demonstra deficiências em relação à resolução de equações, especificamente equações de 1º grau, verificamos que eles não sabem as regras ou sabem-nas “de cor”, esquecendo os raciocínios por trás dos procedimentos que se tornaram mecânicos. As regras decoradas são mal interpretadas, provocando um processo de aprendizagem equivocada e resultam em resoluções erradas de equações. Esses erros refletem, na vida dos estudantes, de forma negativa, porque sabemos da importância que a aprendizagem da álgebra, que se inicia na 6ª série com equações do 1º grau, representa para a educação escolar e para sua vida profissional. Também, a não aprendizagem ou uma aprendizagem mecânica, sem significação da noção ou conceito de equação, dificulta a aprendizagem de outros conceitos em Matemática, causando dificuldade de entendimento dos conceitos em outras áreas, como: Física e Química. Diante dessa problemática, a qual vem causando dificuldades sistêmicas, é que propomos a busca por alternativas que melhorem o ensino de equações no Ensino Fundamental. 2 – APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA 2.1. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA Ausubel apud Barbosa (1982) afirma que só ocorre uma aprendizagem significativa quando o aluno mostra ser capaz, por meio de suas próprias palavras de emitir os conceitos que lhe foram ensinados. Não, simplesmente, repeti-los mecanicamente. Ausubel, psicólogo norte-americano, desenvolveu uma linha teórica relacionada com o ensino visando uma aprendizagem significativa, não se esquecendo que teorias e métodos de ensino, considerados válidos, necessariamente, devem estar relacionados com a natureza do processo de aprendizagem em sala de aula e, também, com os fatores cognitivos, afetivos e sociais que o influenciaram. 4 Ausubel é um representante do cognitivismo. Para ele, cognição é o processo por meio do qual o mundo dos significados tem origem. À medida que o ser humano se situa no mundo, estabelece relações de significação, isto é, atribui significados a realidade em que se encontra. Essas significações são pontos de partida para a atribuição de outros significados, ou seja, constituem- se nos “pontos básicos de ancoragem” dos quais derivam outros significados. A partir deste ponto de vista, Ausubel propõe uma explicação teórica do processo de aprendizagem, dizendo que o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe. A Estrutura Cognitiva e a Aprendizagem Significativa são os dois conceitos que melhor explicam a proposta de ensino de Ausubel. A Estrutura Cognitiva é entendida por Ausubel, como o conjunto total de idéias de um indivíduo e sua organização, ou seja, conteúdo e organização de suas idéias de forma clara e objetiva. A aprendizagem e a retenção de um assunto novo são viabilizadas se a estrutura cognitiva do aluno for clara, estável e adequadamente organizada. Se o aluno não dispõe dessa organização, a aprendizagem sofre sérios prejuízos, chegando até a não acontecer. Analisando os mapas conceituais, verificamos que nas disciplinas escolares, primeiramente, deveria ser dado os conceitos e proposições mais abrangentes e com maior poder de generalização e depois os mais específicos. Por isso deveríamos procurar quais os conceitos mais abrangentes (inclusivos) em cada disciplina e, a seguir, procurar fazer com que o aluno aprenda significativamente. A Aprendizagem Significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com os conceitos mais relevantes e abrangentes, claros e disponíveis na estrutura do conhecimento do indivíduo. A premissa fundamental de Ausubel é que aprendizado significativo acontece quando uma informação nova é adquirida mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova com os conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva. Esse relacionamento ou ligação se dá mediante substantividade e programacidade. Substantividade significando não se ater apenas a memorização do novo conteúdo, mas sim, ater-se no fato de que a relação 5 entre o material a ser aprendido e a estrutura cognitiva não seja alterada se outros símbolos, diferentes mas equivalentes, forem usados; e programacidade, significando que a relação entre o novo assunto a ser aprendido e os conceitos relevantes da estrutura cognitiva do aprendiz seja programada e não arbitrária ou casual. Ainda, para Ausubel apud Barbosa (1982), para que haja uma aprendizagem significativa são necessárias duas outras condições que devem ser satisfeitas: 1º) O aluno deve manifestar uma predisposição positiva para aprender. Se este quiser memorizar o conteúdo arbitrária e literalmente, com pouca ou nenhuma associação com conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva, então a aprendizagem será mecânica. O aluno decora fórmulas, leis, macetes, mas esquece logo após a prova. 2º) O conteúdo a ser aprendido deve ser potencialmente significativo para este aluno em particular, isto é, tem que ser lógica e psicologicamente significativa: o significado lógico depende apenas da natureza do conteúdo e, o significado psicológico é uma experiência que cada indivíduo tem. 2.1.1. Facilitadores da Aprendizagem Significativa • Principio da diferenciação progressiva Principio da diferenciação progressiva é o princípio pelo qual um assunto de uma disciplina deve ser programado de forma que as idéias mais gerais e abrangentes desta disciplina sejam apresentadas antes, para depois serem progressivamente diferenciados, em termos de detalhes e especificidades. Essa programação deve, também, explorar as relações entre proposições e conceitos, chamar atenção para diferenças e similaridades importantes e reconciliar inconsistências reais ou aparentes. Dento deste princípio, Ausubel critica o ensino da Matemática e das Ciências, que são baseadas, principalmente, na repetição, problemas-padrão, manipulação repetitiva de símbolos, onde, na maioria das vezes, os alunos não percebem o significado. • Principio da reconciliação integrativa 6 Princípio da reconciliação integrativa é um princípio que acentua a explicação de semelhanças e diferenças entre idéias, quando estas são encontradas em vários contextos. Ocorre em duas situações: 1º) entre as idéias existentes num material a ser aprendido e, 2º) entre o novo material e as idéias previamente aprendidas e já disponíveis e familiares na estrutura cognitiva. Este princípio é, para Ausubel, como uma antítese à prática usual da maioria dos livros didáticos, que é separar idéias e tópicos em capítulos e seções estanques. • A técnica dos organizadores prévios Organizador é uma idéia geral que precede o conteúdo. Sua função é construir uma ligação entre o que o aluno já sabe em sua estrutura cognitiva e aquilo que ele precisa ter, para que possa aprender significativamente um novo conteúdo. O uso de organizadores prévios, do ponto de vista cognitivista, é vantajoso por: 1º) proporcionar ao aluno ter, na sua estrutura cognitiva, idéia já disponível, que possam vir a ser relacionadas com as idéias do conteúdo a ser aprendido; 2º) por usar idéias gerais e inclusivas de uma disciplina como idéias “âncoras” e 3º) por identificar o conteúdo já existente na estrutura cognitiva e indicar sua relevância para o novo material. 2.1.2. Tipos de Aprendizagem Significativa • RECEPTIVA A aprendizagem receptiva é o tipo de aprendizagem na qual o conteúdo inteiro é dado ao aluno em forma final, pronta e acabada. Ocorrerá a aprendizagem receptiva significativa se o aluno conseguir relacionar este conteúdo com a sua estrutura cognitiva. • POR DESCOBERTA Na aprendizagem por descoberta, o conteúdo a ser aprendido não é dado na sua forma final, pronta, mas deve ser descoberto pelo aluno e este deve defini-lo antes de assimilá-lo a sua estrutura cognitiva. Ocorrerá a aprendizagem por descoberta significativa, se o aluno formular, ele mesmo, a generalização, e relacioná-la as idéias já existentes em sua estrutura cognitiva. 7 Apesar de, na fase inicial, os dois tipos de aprendizagem envolver um processo bem distinto, tanto na descoberta como na recepção, o aluno deve agir sobre a informação, a fim de torná-la disponível. É este agir do aluno que faz a aprendizagem ser significativa; se tentar apenas decorar o conteúdo disponível ocorrerá à aprendizagem mecânica. Segundo Ausubel (1982), há três vantagens na aprendizagem significativa: 1ª) o conhecimento que se adquire de maneira significativa é retido e lembrado por mais tempo; 2ª) aumenta a capacidade de aprender outros conteúdos de uma maneira mais fácil, mesmo se a informação original for esquecida e; 3ª) uma vez esquecida, facilita a “reaprendizagem”. Analisando-se o processo ensino-aprendizagem das escolas que funcionam no sistema seriado, com um programa a ser cumprido em cada ano (série) e o tempo já determinado para cada conteúdo, torna-se pertinente dizer que Ausubel aconselha o uso de aulas expositivas, afirmando ocorrer aprendizagem significativa receptiva, sempre que o professor – além de possuir o conteúdo necessário – cumprir também os princípios da diferenciação progressiva e reconciliação integrativa. E, para auxiliar o cumprimento desses princípios, sugere a utilização da técnica dos organizadores prévios, que preencherá o vazio existente entre o que o aluno já sabe e aquilo que precisa saber se quiser adquirir novos conhecimentos mais ativa e rapidamente. (Barbosa, 1982, p 22) 2.2. ÁLGEBRA: DIFERENTES CONCEPÇÕES A álgebra, tal como a conhecemos é bastante recente, mas podemos dizer que estava presente entre os babilônios e egípcios (1.700 a.C.), que, mesmo não tendo sistematizado cientificamente, desenvolveram regras para vários cálculos e para resoluções de problemas. Trabalhavam com equações que, em sua maior parte, eram originárias de problemas de ordem prática. A busca pelas soluções estava relacionada à equações particulares, para resolver problemas específicos. Os métodos utilizados eram empíricos e suas 8 idéias aritméticas não buscavam generalizações que pudessem abranger outros problemas. Segundo Boyer (1974), os gregos (entre 400 a 300 a.C.) encontravam a solução de equações quadráticas pelo processo conhecido como “a aplicação de áreas”. Isto é, a noção de equação não era de origem prática, como para os babilônios e egípcios, mas contemplava um caráter geométrico: a resolução por meio de manipulações geométricas. A busca pela solução também estava relacionada com as equações particulares e não a métodos gerais. A álgebra geométrica antiga não era um instrumento ideal, mas era eficaz. Servia aos mesmos fins que a nossa álgebra simbólica. Isso é verificado no Livro II de Os elementos, de Euclides. Por volta do ano 250, surge o grego Diofanto, considerado o maior algebrista grego. Sua obra não se assemelha a álgebra geométrica de Euclides, nem é o tipo de material que forma a base da álgebra elementar moderna. Sua grande criação é vista como sendo a introdução de um sinal especial para a incógnita em uma equação, e uma escrita de equações um pouco parecida com a atual e utilizava um sinal especial para a igualdade. Hindus e Árabes trabalhavam com equações originárias de problemas de ordem prática, e também com situações que recaiam em manipulações geométricas. A noção de equação já tinha um caráter mais algébrico. Brahmagupta (628) e Bhaskara (1150) foram os mais proeminentes algebristas hindus. Resolviam equações quadráticas completando quadrados e aceitavam números negativos e raízes irracionais; também tinham conhecimento de que uma equação quadrática (com raízes reais) tem duas raízes. Foram os primeiros a dar métodos gerais de solução. No período árabe destacamos al-khowarizmi, que, apesar de ter recusado outros resultados já alcançados, através de seu livro mais importante, Al-jabr wa’l muqabalah ele nos deu uma palavra familiar: álgebra. Sua álgebra é inteiramente expressa em palavras (álgebra retórica), sem nada de sincopação que já era encontrada em Diofanto e Brahmagupta. Seu objetivo era escrever um livro prático sobre resolução de equações. Preocupou-se na busca de formas canônicas ao estabelecer todas as possibilidades para o que conhecemos como trinômios de grau não superior a dois. Não se sabe bem o 9 que significam, mas acredita-se que as palavras al-jabr e muqabalah refiram-se a: • al-jabr – significa restauração e refere-se a transposição dos termos subtraídos para o outro lado da equação; • muqabalah – significa equilíbrio e refere-se ao cancelamento dos termos semelhantes em lados opostos da equação. Omar khayyam (1100), poeta e matemático, tinha uma concepção de equação relacionada a um caráter geométrico e usou a intersecção de cônicas para obter a solução geométrica para certos tipos de equações cúbicas. O francês François Viète (1540 – 1603), advogado, cujo lazer era a matemática, contribuiu com a aritmética, a álgebra, a trigonometria e a geometria. Foi o primeiro a introduzir letras como coeficientes genéricos. Dentre suas contribuições mais significativas ele forneceu transformações para aumentar ou multiplicar as raízes de uma equação por uma constante; demonstrou a relação entre raízes e coeficientes de uma equação polinomial. René Descartes, também francês, tem como principal contribuição seu trabalho com geometria analítica plana, mas ele aprimorou o simbolismo da álgebra. Viète introduziu as letras para representar as incógnitas (álgebra simbólica) e Descartes utilizou as últimas letras do alfabeto latino (x, y, z,...) para designá- las. Descartes também deixou a regra de sinais para determinar o número de raízes positivas e negativas de uma equação. Podemos dizer que com Viète e Descartes uma nova fase da matemática era inaugurada. Nenhum dos dois considerava a álgebra como uma disciplina que tratasse só de números; ambos tratavam das ligações da álgebra com a geometria. A gênese da noção de estrutura algébrica veio com Galois (1811 – 1832) e Abel (1802 – 1829). E por fim, com Nicolas Bourbaki (1940 – grupo de matemáticos franceses) quando “entramos no domínio próprio do ‘cálculo com letras’, mas num sentido bem mais sofisticado, o da sintaxe: um cálculo com regras próprias e ignorantes de qualquer sistema particular que funcione como elas ... . Um mundo ... ‘abstrato’.”.( LINS e GIMENES,1997, p 91) Muitos nomes, não menos importantes que os aqui citados foram deixados de fora, pois o objetivo deste breve histórico é para que se observe que o estudo das equações algébricas, durante séculos, foi o principal objeto 10 de investigação e contribuiu fortemente para o aparecimento da chamada Álgebra Moderna. No fim do século XIX, equação deixou de ser o foco de atenção em álgebra. ... a clara percepção de que o objeto de investigação desse campo do conhecimento matemático ultrapassava o domínio exclusivo das equações e das operações clássicas sobre quantidades generalizadas... para centrar-se no estudo das operações... sobre objetos abstratos ... sobre estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc. ( FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p 79) Essa mudança de objeto de investigação permite dividir a álgebra em: Álgebra Clássica ou Elementar (antes da mudança) e Álgebra Moderna ou Abstrata (depois da mudança). 2.3. O ENSINO DA ÁLGEBRA NO BRASIL A álgebra foi introduzida legalmente no ensino brasileiro, como aulas avulsas, com a Carta Régia de 19 de agosto de 1799. Mesmo após a Reforma Francisco Campos (1931), em que Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria assumem a denominação ‘MATEMÁTICA’, a separação no modo de ensinar continuou como se fossem compartimentos estanques. O primeiro livro didático da álgebra elementar, de 1852, é de autoria de Cristiano Ottoni (1811 – 1896). A álgebra era entendida como uma parte da matemática que tratava com números e utilizava letras para abreviar, simplificar e generalizar. A maioria dos autores concebia a álgebra como uma aritmética generalizada, que servia para resolver problemas envolvendo quantidades desconhecidas. O professor Antônio Trajano, no seu livro, Álgebra Elementar (1935), justifica a importância do ensino da álgebra, pela importância com que esta é vista por paises com a Inglaterra, França, Estados Unidos e Alemanha. A importância de um trabalho reflexivo e analítico que garanta o exercício de caracterizadores do pensamento algébrico, tais como, a percepção de regularidades, o processo de generalização, as tentativas de