Thomas WeBels Numerische Verfahren zur Bewertung von Aktienoptionen Thomas WeBels Numerische Verfahren zur Bewertung von Aktienoptionen ~ 1.\f7 DeutscherUniversitatsVerlag ~ GABLER·VIEWEG·WESTDEUTSCHERVERLAG Die Deutsche Bibliothek - ClP-Einheitsaufnahme WeBels, Thomas: Numerische Verfahren zur Bewe'iung von Aktienoptionen / Thomas WeBels. - Wiesbaden: Dt. Univ.-Verl., 1992 (DUV : Wirtschaftswissenschaft) Zug/.: Paderborn, Univ., Diss., 1989 Der Deutsche Universitats-Verlag ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. © Deutscher Universitats-Verlag GmbH, Wiesbaden 1992 Dos Werk einschlieBlich oller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schutzt. Jede Vervvertung auBerhalb der engen Grenzen des Ur heberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Dos gilt insbesondere fUr Vervielfaltigungen, Ober setzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver arbeitung in elektronischen Systemen. Druck und Buchbinder: difo-druck Bamberg Gedruckt auf chlorarm gebleichtem und saurefreiem Papier ISBN-13: 978-3-8244-0108-6 e-ISBN-13: 978-3-322-86001-9 001: 10.1007/978-3-322-86001-9 Fur Ka, Polly uod Wuffi Geleitwort Seit Beginn der 70er Jahre bildet die Preisfindung zusrandsabhangiger Anspriiche ein zentraIes Thema der Kapitalmarkttheorie. Die woW wichtigste Gruppe dieser "contingent claims" stellen die Optionen, insbesondere auf Aktien, dar. Angesichts der rasanten Entwicklung der Terrnin-und Optionsmlirkte erhielt diese Fragestellung auch zunehmend praktische Relevanz. Reute werden Anslitze der Optionspreistheorie sowohl von Wissenschaftlem als auch von B5rsenpraktikem und Kapitalanlegem zur Beurteilung komplexer Finanzinnovationen benutzt Sie ftihren dann zu Differentialgleichungen, ftir die eine unmittelbare analytische LOsung nicht mehr ohne weiteres zu finden ist. 1m Vordergrund standen bislang analytische Approximationen und deren numerische LOsung; nicht die direkte numerische LOsung der Ausgangsgleichungen. Die vorliegende Untersuchung beschiiftigt sich mit diesem eher vemachliissigten numerischen Aspekt des Preisfmdungsproblems. Die bisher primar in naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen benutzten Verfahren zur direkten numerischen LOsung von Differentialgleichungen wurden zwar schon vor langerer Zeit ftir die Behandiung von Optionspreismodellen vorgeschlagen. Sie karnen aber noch nicht in einem groBeren Umfang zur Anwendung, offensicht!ich weil die Handhabung global als zu aufwendig eingeschatzt wurde. Die differenzierende Untersuchung der Einsatzm5glichkeiten belegt jedoch die Leistungsfahigkeit der verschiedenen Prozeduren bei verschiedenen Aufgabenstellungen. Die Ergebnisse sich daher vor allem ftir den praktischen Einsatz der Optionspreismodelle von Interesse. Prof. Dr. Otto Loist! Vorwort 1m Rahmen der vorliegenden Abhandlung wird die Eignung von numerischen Approximationen zur Bewertung von Aktienoptionen untersucht. Sie wurde im Dezember 1989 dem Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der U niversitat -Gesamthochschule Paderbom als Inauguraldissertation vorgelegt. Die Realisierung dieser Dissertation ware ohne die besondere Unterstiitzung von Herm Prof. Dr. Otto Loist! nicht moglich gewesen. Sein stetes Interesse und seine vieWiltigen Anregungen haben wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Ohne die mir zur Verfiigung gestellte Hard-und Software ware es nicht moglich gewesen, die umfangreichen Berechnungen auszufiihren und entsprechend auszuwerten. Danken mCichte ich an dieser Stelle auch Herm Prof. Dr. Otto Rosenberg fUr die Ubemahme des Zweitgutachtens. Thomas WeEels Inhaltsverzeichnis 1. Einftihrung ....................................................................................... 1 2. Grundlagen der Optionsbewertung ........................................................... 3 2.1 Detenninanten des Optionspreises .................................................. 3 2.2 Wertgrenzen ........................................................................... 6 2.2.1 Wertgrenzen fiir Calls ..................................................... 7 2.2.2 Ausiibung von Calls ...................................................... 11 2.2.3 Wertgrenzen flir Puts ..................................................... 13 2.2.4 Ausiibung von Puts ...................................................... 15 2.2.5 Put - Call Paritaten .................... , ................................... 16 2.3 Nutzenorientierte Bewertungsmodelle ............................................. 19 2.4 Das allgemeine Modell der Optionsbewertung im Rahmen eines Wertpapierportfolios ..................................................................... 20 2.5 Optionspreistheorie .................................................................. 23 3. Das Bewertungsmodell von Black und Scholes ............................................ 25 3.1 Modellannahmen ..................................................................... 25 3.2 Herleitung der Bewertungsformel ................................................. 26 3.3 Sensiti vitatsanalysen ................................................................. 28 3.4 Methoden der Parameterschatzung ................................................. 32 3.5 Beriicksichtigung von Dividenden ................................................. 36 3.6 Bewertung von Puts ................................................................. 39 3.7 Kritische Beuneilung des Bewertungsansatzes ................................. .42 3.8 Weiterentwicklungen ................................................................ 45 3.9 Analytische Approximationen ...................................................... 46 4. Das Binomial - Bewertungsmodell... ....................................................... .47 4.1 Konzeption und Herleitung ........................................................ .47 4.2 Vergleich zum Black / Scholes Modell ............................................ 52 4.3 Beriicksichtigung von Dividenden ............... , ................................. 56 4.3.1 Dividenden als konstante Dividendenrendite .......................... 56 4.3.2 Dividenden als diskrete Zahlungen: Das Basismodell ................ 60 4.3.3 Approximation im Ex -Dividende Modell ............................. 64 4.3.4 Approximation im Cum -Dividende Modell .......................... 67 xu 4.3.5 Vergleich der Binomialverfahren fUr Calls ............................ 71 4.4 Bewertung von Puts ................................................................ 79 4.4.1 Putpreise ohne Dividenden .............................................. 79 4.4.2 Putpreise mit Dividenden ................................................ 80 4.5 Control Variate Verfahren .......................................................... 90 5. Das Verfahren der finiten Differenzen ...................................................... 104 5.1 Grundlagen .......................................................................... 104 5.2 Explizite Finite Differenzen ....................................................... 110 5.3 Implizite Finite Differenzen ....................................................... 116 5.4 Kombinierte Verfahren ............................................................ 122 5.5 Beriicksichtigung von Dividenden ............................................... 126 5.6 Control Variate Approximation ................................................... 128 5.7 Finite Differenzen: Anhang ........................................................ 135 6. SchluBbetrachtung ............................................................................ 142 6.1 Vergleich der Approximationsverfahren ......................................... 142 6.2 Konsequenzen ftir den praktischen Einsatz ..................................... 145 6.3 Zusanunenfassung ................................................................. 149 Literaturverzeichnis .............................................................................. 151 Abkiirzungsverzeichnis ......................................................................... 157 Abbildungs.verzeichnis Abbildung 3.3.1 ................................................................................... 30 Abbildung 3.3.2 ................................................................................... 30 Abbildung 3.3.3 ................................................................................... 31 Abbildung 3.3.4 ................................................................................... 31 Abbildung 3.6.1 ................................................................................... 41 Abbildung 4.1.1 ................................................................................... 52 Abbildung 4.2.1 ................................................................................... 54 Abbildung 4.2.2 ................................................................................... 55 Abbildung 4.2.3 ................................................................................... 55 Abbildung 4.3.1.1 ................................................................................ 59 Abbildung 4.3.1.2 ................................................................................ 59 Abbildung 4.3.2.1 ................................................................................ 61 Abbildung 4.3.2.2 ................................................................................ 63 Abbildung 4.3.3.1 ................................................................................ 66 Abbildung 4.3.3.2 ................................................................................ 67 Abbildung 4.3.4.1 ................................................................................ 70 Abbildung 4.3.4.2 ................................................................................ 71 Abbildung 4.3.5.1 ................................................................................ 73 Abbildung 4.3.5.2 ................................................................................ 74 Abbildung 4.3.5.3 ................................................................................ 74 Abbildung 4.3.5.4 ................................................................................ 75 Abbildung 4.3.5.5 ................................................................................ 75 Abbildung 4.3.5.6 ................................................................................ 76 Abbildung 4.3.5.7 ................................................................................ 76 Abbildung 4.3.5.8 ................................................................................ 77 Abbildung 4.3.5.9 ................................................................................ 77 Abbildung 4.4.1.1 ................................................................................ 80 Abbildung 4.4.2.1 ................................................................................ 81 Abbildung 4.4.2.2 ................................................................................ 82 Abbildung 4.4.2.3 ................................................................................ 83 Abbildung 4.4.2.4 ................................................................................ 83 Abbildung 4.4.2.5 ................................................................................ 84 Abbildung 4.4.2.6 ................................................................................ 84 XIV Abbildung 4.4.2.7 ................................................................................ 85 Abbildung 4.4.2.8 ................................................................................ 85 Abbildung 4.4.2.9 ................................................................................ 86 Abbildung 4.4.2.10 .............................................................................. 86 Abbildung 4.4.2.11 .............................................................................. 87 Abbildung 4.4.2.12 .............................................................................. 87 Abbildung 4.4.2.13 .............................................................................. 88 Abbildung 4.4.2.14 .............................................................................. 88 Abbildung 4.4.2.15 .............................................................................. 89 Abbildung 4.4.2.16 .............................................................................. 89 Abbildung 4.4.2.17 .............................................................................. 90 Abbildung 4.5.1 .................................................................................. 94 Abbildung 4.5.2 .................................................................................. 95 Abbildung 4.5.3 .................................................................................. 96 Abbildung 4.5.4 .................................................................................. 96 Abbildung 4.5.5 .................................................................................. 97 Abbildung 4.5.6 .................................................................................. 98 Abbildung 4.5.7 .................................................................................. 98 Abbildung 4.5.8 .................................................................................. 99 Abbildung 4.5.9 ................................................................................. 100 Abbildung 4.5.10 ................................................................................ 100 Abbildung 4.5.11 ................................................................................ 101 Abbildung 4.5.12 ................................................................................ 102 Abbildung 4.5.13 ................................................................................ 102 Abbildung 4.5.14 ................................................................................ 103 Abbildung 5.1.1 ................................................................................. 106 Abbildung 5.1.2 ................................................................................. 108 Abbildung 5.2.1 ................................................................................. 115 Abbildung 5.3.1 ............................................................................. '" .117 Abbildung 5.3.2 ................................................................................. 122 Abbildung 5.4.1 ................................................................................. 125 Abbildung 5.5.1 ................................................................................. 126 Abbildung 5.6.1 ................................................................................. 130 Abbildung 5.6.2 ................................................................................. 130 Abbildung 5.6.3 ................................................................................. 131 Abbildung 5.6.4 ................................................................................. 131