Notas Para o Curso de An´alise Matem´atica I Daniel V. Tausk Sum´ario Cap´ıtulo 1. Medida de Lebesgue e Espa¸cos de Medida............1 1.1. Aritm´etica na Reta Estendida......................................1 1.2. O Problema da Medida................................................6 1.3. Volume de Blocos Retangulares....................................7 1.4. Medida de Lebesgue em IRn.........................................9 1.5. Conjuntos de Cantor....................................................26 1.6. Conjuntos n˜ao Mensur´aveis..........................................29 Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo 1..................................................33 Cap´ıtulo 2. Integrando Fun¸c˜oes em Espac¸os de Medida..........39 2.1. Func¸˜oes Mensur´aveis....................................................39 2.2. Integrando Fun¸c˜oes Simples n˜ao Negativas..................49 2.3. Integrando Fun¸c˜oes Mensur´aveis n˜ao Negativas...........53 2.4. Defini¸c˜ao da Integral: o Caso Geral.............................56 2.5. Teoremas de Convergˆencia...........................................61 2.6. Riemann x Lebesgue.....................................................65 2.7. O Teorema de Fubini em IRn .......................................73 Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo 2..................................................82 Cap´ıtulo3. OTeoremadeMudan¸cadeVari´aveisparaIntegrais de Lebesgue.............................................................88 3.1. O Efeito de Aplica¸c˜oes Lipschitzianas sobre a Medida de Lebesgue.........................................................88 3.2. O Efeito de Aplica¸c˜oes Lineares sobre a Medida de Le- besgue.................................................................91 3.3. O Teorema de Mudanc¸a de Vari´aveis...........................93 3.4. Apˆendice `a Sec¸˜ao 3.3: recorda¸c˜ao de C´alculo no IRn...99 Exerc´ıcios para o Cap´ıtulo 3..................................................101 Apˆendice A. Solu¸c˜oes para os Exerc´ıcios Propostos.................103 A.1. Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1..............................................103 iii SUMA´RIO iv A.2. Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2..............................................111 Lista de S´ımbolos...................................................................115 ´Indice Remissivo....................................................................116 CAP´ITULO 1 Medida de Lebesgue e Espa¸cos de Medida 1.1. Aritm´etica na Reta Estendida Medidasassociamnu´merosreaisn˜aonegativosaconjuntos,masaalguns conjuntos fica associado o valor infinito. Precisamos ent˜ao tratar infinitudes como objetos que podem ser operados com somas e produtos. Introduzi- mos ent˜ao formalmente a reta estendida que ´e a reta real usual acrescida de dois objetos +∞, −∞ e com operac¸˜oes e rela¸c˜ao de ordem definidas de maneira natural. Por uma quest˜ao de completude, listamos nesta se¸c˜ao em detalhes v´arias defini¸c˜oes e propriedades relacionadas `a reta estendida. Na Subse¸c˜ao 1.1.1 definimos o conceito de limite de uma sequ¨ˆencia na reta es- tendidaenaSubsec¸˜ao1.1.2formalizamosoconceitodesomadeumafam´ılia (possivelmente infinita) de elementos n˜ao negativos da reta estendida. As noc¸˜oes formalizadas nesta se¸c˜ao s˜ao de car´ater bastante intuitivo e acreditamosqueoleitorpodeoptarpelaomiss˜aodesualeiturasempreju´ızo significativo de compreens˜ao das sec¸˜oes seguintes. 1.1.1.Notac¸a˜o. DenotamosporIRocorpoordenadodosnu´merosreais. Escolha dois objetos quaisquer n˜ao pertencentes `a reta real IR e denote- os por +∞ e −∞. 1.1.2. Definic¸a˜o. O conjunto IR = IR ∪ {+∞,−∞} ser´a chamado a reta estendida. Um elemento a ∈ IR ´e dito finito (resp., infinito) quando a ∈ IR (resp., a (cid:54)∈ IR). Anaturezadosobjetos+∞e−∞´etotalmenteirrelevante; oqueimpor- ta´eaformacomoelesinteragemcomosnu´merosreaisatrav´esdasopera¸c˜oes e rela¸co˜es que definiremos a seguir em IR. 1.1.3. Definic¸a˜o. Dados a,b ∈ IR, escrevemos a < b e dizemos que a ´e menor que b quando uma das seguintes condi¸c˜oes ´e satisfeita: • a,b ∈ IR e a < b na ordem usual de IR; • b = +∞ e a (cid:54)= +∞; • a = −∞ e b (cid:54)= −∞. Escrevemos a > b quando b < a, a ≤ b quando a < b ou a = b e escrevemos a ≥ b quando b ≤ a. A relac¸˜ao bin´aria < define uma rela¸c˜ao de ordem total na reta estendida IR, ou seja, possui as seguintes propriedades: • (anti-reflexividade) para todo a ∈ IR, n˜ao ´e o caso que a < a; • (transitividade) para todos a,b,c ∈ IR, se a < b e b < c ent˜ao a < c; 1 1.1. ARITME´TICA NA RETA ESTENDIDA 2 • (tricotomia) dados a,b ∈ IR ent˜ao a < b, b < a ou a = b. A relac¸˜ao de ordem em IR nos permite introduzir as nota¸c˜oes de intervalo [a,b], ]a,b], [a,b[ e ]a,b[, com a,b ∈ IR, da maneira usual. Se A´e um subcon- junto de IR podemos definir tamb´em o supremo (resp., o´ınfimo) de A em IR como sendo a menor cota superior (resp., a maior cota inferior) de A em IR. O supremo (resp., o´ınfimo) de um conjunto A ⊂ IR ´e denotado por supA (resp., infA); se (a ) ´e uma fam´ılia em IR, denotamos tamb´em o supremo i i∈I (resp., o´ınfimo) do conjunto {a : i ∈ I} por sup a (resp., inf a ). No i i∈I i i∈I i Exerc´ıcio 1.1 pedimos ao leitor para mostrar que todo subconjunto de IR possui supremo e´ınfimo. 1.1.4. Definic¸a˜o. A soma na reta estendida ´e definida da seguinte for- ma: • se a,b ∈ IR ent˜ao a+b ´e igual `a soma usual de a e b em IR; • (+∞)+a = a+(+∞) = +∞, se a ∈ IR e a (cid:54)= −∞; • (−∞)+a = a+(−∞) = −∞, se a ∈ IR e a (cid:54)= +∞. As somas (+∞)+(−∞) e (−∞)+(+∞) s˜ao consideradas indefinidas. Para a ∈ IR denotamos por −a o elemento de IR definido pelas condi¸c˜oes: • se a ∈ IR ent˜ao −a ´e o inverso de a com rela¸c˜ao `a soma de IR; • se a = +∞ ent˜ao −a = −∞; • se a = −∞ ent˜ao −a = +∞. Para a,b ∈ IR, escrevemos a−b = a+(−b). Definimos tamb´em o m´odulo de a ∈ IR fazendo |a| = a para a ≥ 0 e |a| = −a para a < 0. O produto na reta estendida ´e definido da seguinte forma: • se a,b ∈ IR ent˜ao a·b (ou, simplesmente, ab) ´e igual ao produto usual de a e b em IR; • ab = 0 se a,b ∈ IR e a = 0 ou b = 0; • ab = ba = a, se a ∈ {+∞,−∞} e b > 0; • ab = ba = −a, se a ∈ {+∞,−∞} e b < 0. Note que o produto´e uma operac¸˜ao bin´aria no conjunto IR, mas a soma ´e apenas umaopera¸c˜ao bin´aria parcialmente definida emIR, j´a que n˜aoatri- bu´ımos significado para (+∞)+(−∞) e (−∞)+(+∞). Note tamb´em que, de acordo com nossas conven¸c˜oes, 0·(±∞) = (±∞)·0 = 0; essa convenc¸˜ao´e convenienteemteoriadamedida, emborapossaparecerestranhaparaquem est´a acostumado com as propriedades usuais de limites de fun¸c˜oes. Na proposi¸c˜ao abaixo resumimos as propriedades da ordem e das ope- ra¸c˜oes de IR; a demonstra¸c˜ao ´e obtida simplesmente por uma verifica¸c˜ao tediosa de diversos casos. 1.1.5. Proposic¸a˜o. A ordem e as opera¸c˜oes da reta estendida satisfa- zem as seguintes propriedades: • a soma ´e associativa onde estiver bem-definida, i.e., (a+b)+c = a+(b+c), para todos a,b,c ∈ IR, desde que ou a,b,c (cid:54)= +∞ ou a,b,c (cid:54)= −∞; 1.1. ARITME´TICA NA RETA ESTENDIDA 3 • a soma ´e comutativa onde estiver bem-definida, i.e., a+b = b+a, para todos a,b ∈ IR, desde que ou a,b (cid:54)= +∞ ou a,b (cid:54)= −∞; • o zero de IR ´e o elemento neutro para a soma de IR, i.e., a+0 = 0+a = a, para todo a ∈ IR; • o produto ´e associativo, i.e., (ab)c = a(bc), para todos a,b,c ∈ IR; • o produto ´e comutativo, i.e., ab = ba, para todos a,b ∈ IR; • a unidade de IR ´e o elemento neutro para o produto de IR, i.e., a·1 = 1·a = a, para todo a ∈ IR; • asoma´edistributivacomrela¸c˜aoaoproduto, i.e., (a+b)c = ac+bc, para todos a,b,c ∈ IR, desde que as somas a+b e ac+bc estejam bem-definidas; • a ordem ´e compat´ıvel com a soma, i.e., se a ≤ b ent˜ao a+c ≤ b+c, para todos a,b,c ∈ IR, desde que as somas a+c e b+c estejam bem-definidas; • a ordem ´e compat´ıvel com o produto, i.e., se a ≤ b ent˜ao ac ≤ bc, para todos a,b,c ∈ IR com c ≥ 0. (cid:3) Algumas observac¸˜oes importantes seguem. A identidade a+(−a) = 0 ´e v´alida apenas para a ∈ IR; os elementos +∞ e −∞ n˜ao possuem inverso com respeito `a soma. Em particular, as implica¸c˜oes: a+c = b+c =⇒ a = b e a = b+c =⇒ a−c = b s˜ao v´alidas apenas quando c ∈ IR. A implicac¸˜ao: a < b =⇒ a+c < b+c ´e tamb´em apenas v´alida para c ∈ IR e a implicac¸˜ao: a < b =⇒ ac < bc ´e v´alida apenas para 0 < c < +∞. 1.1.1. Limites de sequ¨ˆencias na reta estendida. Limites de se- qu¨ˆencias em IR podem ser definidos atrav´es da introdu¸c˜ao de uma topologia em IR (veja Exerc´ıcio 1.8). Para o leitor n˜ao familiarizado com a no¸c˜ao de espa¸co topol´ogico, definimos a noc¸˜ao de limite de sequ¨ˆencia em IR direta- mente. 1.1.6. Definic¸a˜o. Seja (a ) uma sequ¨ˆencia em IR. Dizemos que k k≥1 (a ) converge para um elemento a ∈ IR e escrevemos a → a se uma das k k≥1 k situa¸c˜oes abaixo ocorre: • a ∈ IR e para todo ε > 0 existe k ≥ 1 tal que a ∈ ]a−ε,a+ε[ 0 k para todo k ≥ k ; 0 • a = +∞ e para todo M < +∞ existe k ≥ 1 tal que a > M para 0 k todo k ≥ k ; 0 • a = −∞ e para todo M > −∞ existe k ≥ 1 tal que a < M para 0 k todo k ≥ k . 0 1.1. ARITME´TICA NA RETA ESTENDIDA 4 Quando existe a ∈ IR com a → a dizemos que a sequ¨ˆencia (a ) ´e k k k≥1 convergente em IR. Nesse caso, ´e f´acil mostrar que tal a ∈ IR ´e u´nico e ´e chamado o limite da sequ¨ˆencia (a ) ; denotˆamo-lo por lim a . k k≥1 k→∞ k Deixamosademonstrac¸˜aodoseguinteresultadosimplesacargodoleitor. 1.1.7. Lema. Toda sequ¨ˆencia mon´otona em IR ´e convergente em IR. Mais especificamente, se (a ) ´e uma sequ¨ˆencia crescente (resp., decres- k k≥1 cente) em IR ent˜ao lim a = sup a (resp., lim a = inf a ). k→∞ k k≥1 k k→∞ k k≥1 k Demonstrac¸a˜o. Veja Exerc´ıcio 1.2. (cid:3) Enunciamos a seguir as propriedades operat´orias dos limites na reta estendida: 1.1.8. Lema. Sejam (a ) , (b ) sequ¨ˆencias convergentes em IR, k k≥1 k k≥1 com lim a = a e lim b = b. Ent˜ao: k→∞ k k→∞ k • se a soma a + b estiver bem-definida ent˜ao a soma a + b est´a k k bem-definida para todo k suficientemente grande e: lim a +b = a+b; k k k→∞ • se {|a|,|b|} =(cid:54) {0,+∞} ent˜ao lim a b = ab. k→∞ k k Demonstrac¸a˜o. Veja Exerc´ıcio 1.4. (cid:3) 1.1.9. Definic¸a˜o. Seja(a ) umasequ¨ˆenciaemIR. Olimite superior k k≥1 e o limite inferior da sequ¨ˆencia (a ) , denotados respectivamente por k k≥1 limsup a e liminf a , s˜ao definidos por: k→∞ k k→∞ k limsupa = infsupa , liminfa = sup infa . k r k r k→∞ k≥1r≥k k→∞ k≥1r≥k Temos a seguinte: 1.1.10. Proposic¸a˜o. Seja (a ) uma sequ¨ˆencia em IR. Ent˜ao: k k≥1 liminfa ≤ limsupa , k k k→∞ k→∞ sendo que a igualdade vale se e somente se a sequ¨ˆencia (a ) ´e conver- k k≥1 gente; nesse caso: lim a = liminfa = limsupa . k k k k→∞ k→∞ k→∞ Demonstrac¸a˜o. Veja Exerc´ıcio 1.6 (cid:3) 1.1.2. Somas infinitas em [0,+∞]. Se (a ) ´e uma fam´ılia finita i i∈I emIRent˜ao, ja´queasomadeIR´eassociativaecomutativa, podemosdefinir (cid:80) a soma a de maneira ´obvia, desde que a (cid:54)= +∞ para todo i ∈ I ou i∈I i i a (cid:54)= −∞ para todo i ∈ I. Definiremos a seguir um significado para somas i de fam´ılias infinitas de elementos n˜ao negativos de IR. E´ poss´ıvel tamb´em definirsomasdefam´ıliasquecontenhamelementosnegativosdeIR, masesse conceito n˜ao ser´a necess´ario no momento. 1.1. ARITME´TICA NA RETA ESTENDIDA 5 1.1.11. Definic¸a˜o. Seja (a ) uma fam´ılia arbitr´aria em [0,+∞]. A i i∈I (cid:80) soma a ´e definida por: i∈I i (cid:88) (cid:110)(cid:88) (cid:111) a = sup a : F ⊂ I um subconjunto finito . i i i∈I i∈F (cid:80) Se I ´e o conjunto dos inteiros positivos ent˜ao denotamos a soma a i∈I i tamb´em por (cid:80)∞ a ; segue facilmente do Lema 1.1.7 que: i=1 i ∞ k (cid:88) (cid:88) a = lim a . i i k→∞ i=1 i=1 Deixamos a demonstrac¸˜ao do seguinte resultado a cargo do leitor. 1.1.12. Proposic¸a˜o. Somas de fam´ılias em [0,+∞] satisfazem as se- guintes propriedades: • se (a ) e (b ) s˜ao fam´ılias em [0,+∞] ent˜ao: i i∈I i i∈I (cid:88) (cid:88) (cid:88) (a +b ) = a + b ; i i i i i∈I i∈I i∈I • se (a ) ´e uma fam´ılia em [0,+∞] e c ∈ [0,+∞] ent˜ao i i∈I (cid:88) (cid:88) ca = c a ; i i i∈I i∈I • se (a ) ´e uma fam´ılia em [0,+∞] e se φ : I(cid:48) → I ´e uma fun¸c˜ao i i∈I bijetora ent˜ao: (cid:88) (cid:88) a = a ; φ(i) i i∈I(cid:48) i∈I • se (a ) ´e uma fam´ılia em [0,+∞] e se (J ) ´e uma fam´ılia de λ λ∈Λ i i∈I (cid:83) conjuntos dois a dois disjuntos com Λ = J ent˜ao: i∈I i (cid:88) (cid:88)(cid:16) (cid:88) (cid:17) a = a . λ λ λ∈Λ i∈I λ∈Ji Demonstrac¸a˜o. Veja Exerc´ıcio 1.7. (cid:3) A u´ltima propriedade no enunciado da Proposi¸c˜ao 1.1.12 implica em particular que: (cid:88)(cid:16)(cid:88) (cid:17) (cid:88) (cid:88)(cid:16)(cid:88) (cid:17) a = a = a , ij ij ij i∈I j∈J (i,j)∈I×J j∈J i∈I onde (a ) ´e uma fam´ılia em [0,+∞]. Basta tomar Λ = I × J e ij (i,j)∈I×J J = {i}×J, para todo i ∈ I. i 1.2. O PROBLEMA DA MEDIDA 6 1.2. O Problema da Medida 1.2.1. Notac¸a˜o. Denotamos por ℘(X) o conjuntos de todas as partes de um conjunto X, por Q o corpo ordenado dos nu´meros racionais e por Z o anel dos nu´meros inteiros. Queremos investigar a existˆencia de uma func¸˜ao µ : ℘(IR) → [0,+∞] satisfazendo as seguintes propriedades: (a) dada uma sequ¨ˆencia (A ) de subconjuntos de IR dois a dois n n≥1 disjuntos ent˜ao: ∞ ∞ (cid:16) (cid:91) (cid:17) (cid:88) µ A = µ(A ); n n n=1 n=1 (b) µ(A+x) = µ(A), para todo A ⊂ IR e todo x ∈ IR, onde: (cid:8) (cid:9) A+x = a+x : a ∈ A denota a transla¸c˜ao de A por x; (cid:0) (cid:1) (c) 0 < µ [0,1] < +∞. Nosso objetivo ´e mostrar que tal fun¸c˜ao µ n˜ao existe. Antes disso, observa- mos algumas consequ¨ˆencias simples das propriedades (a), (b) e (c) acima. 1.2.2. Lema. Se uma fun¸c˜ao µ : ℘(IR) → [0,+∞] satisfaz as proprieda- des (a), (b) e (c) acima ent˜ao ela tamb´em satisfaz as seguintes propriedades: (d) µ(∅) = 0; (e) dada uma cole¸c˜ao finita (A )n de subconjuntos de IR dois a dois k k=1 disjuntos ent˜ao: n n (cid:16) (cid:91) (cid:17) (cid:88) µ A = µ(A ); k k k=1 k=1 (f) se A ⊂ B ⊂ IR ent˜ao µ(A) ≤ µ(B); (cid:0) (cid:1) (g) dados a,b ∈ IR com a ≤ b ent˜ao µ [a,b] < +∞. Demonstrac¸a˜o. • Prova de (d). Tome A = [0,1] e A = ∅ para n ≥ 2 na propriedade (a) e use a 1 n propriedade (c). • Prova de (e). Tome A = ∅ para k > n e use as propriedades (a) e (d). k • Prova de (f). Basta observar que a propriedade (e) implica que: µ(B) = µ(A)+µ(B\A), onde µ(B\A) ≥ 0.