UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CENTRO ASOCIADO DE TORTOSA NIVELACIÓN DE TERRENOS POR REGRESIÓN TRIDIMENSIONAL Una aplicación de los métodos estadísticos JOSEP MARIA FRANQUET BERNIS ANTONIO QUEROL GÓMEZ 2010 Primera edición, agosto de 2010 © Josep Maria Franquet i Bernis e-mail: [email protected] © Antonio Querol i Gómez e-mail: [email protected] ISBN: Depósito legal: Edita: UNED-Tortosa. C/ Cervantes, nº: 17, 43.500 TORTOSA Imprime: Cooperativa Gráfica Dertosense, C/ Cervantes, nº: 21, 43.500 Tortosa. Tel.: 977 44 00 28 Fax: 977 78 39 22 e-mail: [email protected] Impreso en España Printed in Spain Reservados todos los derechos de publicación en cualquier idioma. 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PRÓLOGO En el trabajo que ahora te presentamos, amable lector, se trata fundamentalmente de buscar el plano de ajuste óptimo para la nivelación de un terreno cualquiera (solar urbano, industrial o campo de cultivo), esto es, aquél que nos ofrece la mínima compensación volumétrica de tierras posible entre desmonte (corte) y terraplén (relleno), siguiendo la metodología estadística de aplicación al caso. La suma de las discrepancias o diferencias de altura entre los puntos del plano nivelado y los correspondientes del terreno original, afectadas de su signo correspondiente (desmonte o terraplén) debe ser nula, como puede demostrarse de la propia teoría de la regresión minimocuadrática. De esta suerte, el ajuste aquí propugnado debe ofrecer siempre una compensación de tierras que resulta absolutamente ajustada y matemáticamente perfecta, no obteniéndose volúmenes ni de tierras sobrantes ni de tierras a aportar a la parcela, salvando la consideración de los pertinentes coeficientes de esponjamiento que haya que aplicar en su caso. Ello evidencia la gran utilidad del método expuesto. Este cálculo puede ser contrastado, en todo momento, con la cuantificación correspondiente mediante el estudio de los perfiles transversales y longitudinales de la parcela en estudio, determinados por la malla o red de vértices considerados al efecto. Así pues, con el sistema propugnado en el presente libro, trabajando en el espacio tridimensional, el ajuste se producirá de manera automática, rápida y exacta, proporcionando al topógrafo una herramienta de trabajo de extraordinaria utilidad para la realización de este tipo de trabajos. Por otra parte, con nuestro sistema tridimensional puede obviarse la previa configuración en malla o red de la situación de las estacas o vértices del terreno a nivelar, siendo suficiente el considerar una nube de puntos que comprenda un número determinado pero suficientemente representativo de las cotas del terreno original, aún estando distribuidos aleatoriamente por el mismo. Así mismo, a título meramente ilustrativo o recordatorio, se realiza alguna explicación complementaria sobre los métodos altimétricos y de nivelación de terrenos más usuales, adjuntándose al final del libro algunos anexos ampliatorios acerca de los instrumentos matemáticos o estadísticos empleados. Completamos nuestro trabajo con diversos cuadros, tablas, gráficos, planos y fotografías, que deseamos confieran a nuestra investigación un carácter mucho más ilustrativo y exacto. Llegados a este punto, quisiéramos puntualizar alguna idea justificativa acerca del instrumental estadístico empleado. Efectivamente, también el pensamiento abstracto demuestra ser útil en el enfoque de problemas concretos como los propios de la topografía, y al buscar en ellos los esquemas esenciales surgen inesperadas analogías que sugieren elegantes soluciones a los mismos por la vía del isomorfismo, es decir, por reducción, simulación o transplante de un ámbito conceptual a otro de idéntica estructura “legal”, pero de intuición más fácil o de recursos técnicos más conocidos y manejables. Desde estas líneas, y en el marco limitado de estas reflexiones, queremos rendir tributo sincero de admiración y agradecimiento a los excelentes libros de texto y consulta existentes, citados en la bibliografía, sobre Topografía y Estadística, habiendo sido influidos notablemente, en nuestros estudios, por el brillante trabajo de sus autores. A lo largo de una investigación cuidadosa, como la que ahora presentamos, se acumula toda una serie de débitos intelectuales y profesionales que resulta harto difícil describir en toda su extensión; pese a ello, algunos nos parecen especialmente relevantes. Tampoco olvidan, quienes esto escriben, la formidable deuda de gratitud contraída con los que fueron sus guías y maestros, algunos de ellos ya desaparecidos. Nuestro reconocimiento, en fin, a las diversas instituciones que han apoyado la edición del presente libro y, particularmente, al Patronato del Centro Asociado en Tortosa de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), a nuestro competente compañero en las tareas docentes universitarias Dr. Jordi Sardà Pons por sus observaciones al modelo de ajuste no lineal y, en general, a todos cuantos se han interesado por la elaboración de esta monografía, aportando sugerencias y valiosos consejos dirigidos a la mejor consecución de nuestro empeño. Muy particularmente, quisiéramos agradecer a José María Franquet Jr. (¡cuántas horas!) su cuidadoso esmero puesto en la composición y tratamiento del texto, e incluso sus acertadas observaciones en relación a aspectos diversos de la presente obra, más bien propias de un experto profesional. Ignoramos las repercusiones de cualquier orden que este trabajo pueda tener en el futuro, más no dudamos en afirmar (puesto que el acervo común del conocimiento humano se ha venido logrando por minúsculas aportaciones sucesivas) que ningún noble empeño es despreciable “a priori”, ni ningún conocimiento puede tacharse de inútil a perpetuidad, haciendo bueno aquel “desprecia cuanto ignora” del que lamentábase amargamente el poeta. Los únicos conocimientos que no se aplican jamás son los que no se tienen; los únicos esfuerzos baldíos de verdad son los que sólo quedan en meros proyectos o en declaración de buenas intenciones. Y para que del propio soñar nazcan nuevas y fecundas realizaciones, brindamos nuestra aportación a todos los estudiosos de los temas topográficos y a las empresas constructoras especializadas en estos menesteres, confiando y deseando que pueda reportar un extenso campo de utilidades a quienes, seducidos por una loable inquietud técnica o espoleados por la perentoriedad de mejorar su trabajo profesional, nos dispensen el inmenso honor de consultarla. Tortosa, junio de 2010 LOS AUTORES CAPÍTULO 1 CONCEPTOS PREVIOS 1. OBJETIVOS E INTRODUCCIÓN La Topografía es la ciencia que estudia la representación gráfica de un terreno sobre el papel o la pantalla de un ordenador con las técnicas y procedimientos de campo y gabinete necesarias para lograrlo. Recurriendo al amparo de sus raíces etimológicas griegas, veamos que Topos significa (lugar) y Graphos (descripción). Así pues, se trata de proceder a la descripción de un lugar o zona de la superficie de la tierra y su representación gráfica, es decir, con sus formas y detalles, tanto naturales como artificiales, refiriéndose por tanto a su planimetría y altimetría. La Topografía, pues, se puede entender como una ciencia geométrica aplicada a la descripción de la realidad física inmóvil circundante. Consiste en plasmar en un plano la realidad vista en campo, en el ámbito rural o natural, de la superficie terrestre; en el ámbito urbano, es la descripción de los hechos existentes en un lugar determinado: muros, edificios, calles, entre otros. Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la superficie de la tierra por medio de medidas según los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o bien una distancia, una dirección y una elevación. Para la medición de distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (operando, normalmente, en el sistema métrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales, grados centesimales, radianes o milésimas artilleras). El conjunto de operaciones necesarias para determinar las posiciones de puntos y posteriormente su representación en un plano es lo que se llama comúnmente "levantamiento topográfico". La mayor parte de los levantamientos, tienen por objeto el cálculo de superficies y volúmenes así como la representación de las medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos, por lo cual estos trabajos también se consideran incluidos dentro de la Topografía. Se puede dividir el trabajo topográfico como dos actividades congruentes: llevar "el terreno al gabinete" (mediante la medición de puntos o relevamiento, su archivo en el instrumental electrónico y luego su edición en la computadora) y llevar "el gabinete al terreno" (mediante el replanteo por el camino inverso, es decir, desde un proyecto residente en la computadora a la ubicación del mismo mediante puntos sobre el terreno). Los puntos relevados o replanteados tienen un valor tridimensional; es decir, se determina la ubicación de cada punto en el plano horizontal (de dos dimensiones, norte y este) y en altura (tercera dimensión) mediante las tres coordenadas cartesianas rectangulares X, Y, Z. La Topografía no sólo se limita a realizar los levantamientos de campo en el terreno sino que posee componentes de edición y redacción cartográfica para que, al confeccionar un plano, se puede entender el fonema representado a través del empleo de símbolos convencionales y estándares previamente normados para la representación de los objetos naturales y antrópicos en los mapas o cartas topográficas. Esta representación tiene lugar sobre superficies planas, limitándose a pequeñas extensiones de terreno, utilizando la denominación de geodesia para áreas mayores. De manera muy simple, puede decirse que para un topógrafo la Tierra es plana, mientras que para un geodesta no lo es. Para eso se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional, siendo la X y la Y competencia de la planimetría, y la Z de la altimetría. Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación del terreno utilizando líneas que conectan los puntos con la misma cota respecto de un plano de referencia, denominadas curvas de nivel (cuya conceptualización mostraremos en el siguiente capítulo de nuestro libro), en cuyo caso se dice que el mapa es hipsográfico. Dicho plano de referencia puede ser o no el nivel del mar, pero en caso de serlo se hablará normalmente de “altitudes” en lugar de “cotas”. No pretendemos en este trabajo realizar un completo tratado o libro sobre los trabajos topográficos en general, ni siquiera los altimétricos, sino más bien sobre cómo emplear un método de cálculo original por regresión tridimensional, de un trabajo topográfico de cualquier terreno, ya sea para efectuar una explanación óptima del mismo o bien para una nivelación y su posterior curvado. Las cotas de proyecto de rasante y subrasante de las obras de explanación de terrenos establecen la necesidad de modificar el perfil natural del suelo, siendo necesario, en algunos casos, rebajar dichas cotas, y en otros casos elevarlas. En el primer caso corresponde ejecutar un trabajo de "corte o excavación", y en el segundo, un trabajo de "relleno o de terraplén". En ambos casos debe efectuarse lo que constituye propiamente un movimiento de tierras. En numerosas obras de ingeniería, el capítulo de movimientos de tierras tiene un peso específico muy importante en el presupuesto de la actuación. Es fundamental llevar un control riguroso de los volúmenes de tierra en desmonte y terraplén, con el fin de evitar conflictos a la hora de valorar el trabajo realizado. En algunas obras de ingeniería los movimientos de tierras pueden llegar a suponer el 65% del presupuesto total del proyecto; este es el caso, por ejemplo, de las restauraciones medioambientales de antiguas zonas mineras. Pero, ¿cuál es la principal novedad que aportamos en este estudio?. Sencillamente, estriba en el modelo que utilizamos para obtener una compensación inicial exacta de volúmenes (de desmonte y de relleno) al transformar una parte de cualquier terreno natural, basada, además, en el mínimo movimiento de tierras preciso para conseguir la susodicha compensación. ¿Qué nos ofrece o aporta este método de cubicación?. Las ventajas de este procedimiento son varias, a saber: 1. La primera obtener, sin tanteos previos, la nivelación de cualquier terreno con el menor movimiento de tierras posible. 2. La segunda, es que este movimiento de tierras está compensado exactamente, es decir el volumen de corte o desmonte siempre será igual al de relleno o terraplenado. 3. La tercera es que el método propugnado no requiere necesariamente el establecimiento de una malla cuadriculada o red regular de vértices para tomar las lecturas de las cotas taquimétricas del terreno inicial. 4. La cuarta es la facilidad y rapidez precisas para su cálculo y aplicación. Los que llevamos ya una cierta cantidad de años en la profesión, sabemos de la importancia de una primera cubicación y lo que cuesta ir realizando tanteos previos sobre el plano curvado, hasta conseguir una compensación de tierras aceptable. Por tanto -pensamos modestamente los autores- que disponer de un método rápido que nos permita lograr una cubicación con un mínimo movimiento y compensación absoluta de tierras, resulta esencial para cualquier profesional dedicado a este tipo de obras de tierra. Es posible que esta primera cubicación, efectuada con el mínimo movimiento de tierras, no cumpla las expectativas de la propiedad, proyectista o administración correspondiente, por requerir ciertos condicionamientos previos (cotas predeterminadas de nivelación, perentoriedad de salvar obstáculos naturales o artificiales, ...). Pues bien, a partir de este punto podemos ceñirnos a sus indicaciones, y a base de sucesivos tanteos o con este mismo método buscar otras soluciones que cumplan satisfactoriamente los requerimientos señalados por los promotores o proyectistas. 2. BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA TOPOGRAFÍA Los primeros registros sobre la topografía los encontramos en la civilización babilónica cerca del año 3000 a.C., puesto que ya utilizaban cuerdas y cadenas para sus mediciones. Pero es durante la civilización egipcia, hacia el año 2600 a.C. cuando éstos inventan el que podría ser el primer aparato topográfico, la plomada egipcia, con la que construyeron sus fabulosas pirámides. Heródoto1 nos informa acerca del reinado del faraón Sesostris (aproximadamente en el 1400 a.C.), quien dividió el imperio egipcio en diferentes lotes para el pago de impuestos. El río Nilo inundaba -como es bien sabido- anualmente sus márgenes, y de esta forma se designó a los topógrafos para restablecer las orillas y linderos. Se les denominaba estiracuerdas, por ser éste el sistema que utilizaban aquellos para realizar su labor. 1 Heródoto está considerado como el padre de la Historia; sin embargo, su trascendencia va más allá de la simple narración de hechos y como tal también es considerado uno de los primeros científicos. Heródoto nació en la antigua Halicarnaso, la actual ciudad turca de Bodrum, situada en el Asia Menor, en lo que hoy es la costa Egea de Turquía. Respecto a sus fechas de nacimiento y muerte no hay datos concluyentes, pero se cree que debió de estar fechado aproximadamente entre el 485 y 425 a.C., unos 150 años anterior a la Biblioteca de Alejandría. Su familia era rica y liberal, lo que le debió de dar una buena formación de joven. Sin embargo, en esos tiempos la parte griega de Asia Menor estaba bajo dominio Persa, lo que obligó a sus ciudadanos y barcos a luchar contra sus propios hermanos del Hélade (mundo griego). Hacia el 457 a.C. Heródoto huyó a Samos por sus conflictos con el gobierno local y no volvería hasta el 450 a.C., cuando tomó parte en la campaña para expulsar a Ligdamis, tirano de la ciudad. Sin embargo, las disputas y envidias en su ciudad le decidieron a abandonarla para siempre. Así llegó a Atenas en el momento de su máximo esplendor, donde conoció al propio Pericles, gobernante democrático de la ciudad. También fue amigo de Sófocles y Anaxágoras. Heródoto llegó a recibir del estado ateniense una grandísima cantidad de dinero por su entusiasta investigación histórica, en donde destacaron sus viajes por casi todo el mundo conocido. En el 444 a.C. decidió trasladarse a la colonia ateniense de Tirio, al sur de Italia (Magna Grecia), con otros intelectuales como Hipodamo, constructor del Pireo. Heródoto debió de volver a Atenas poco después del comienzo de la guerra del Peloponeso, aunque retornó a Tirio más tarde, donde murió en plena labor de recopilación de su obra. De los sabios griegos Thales de Mileto2 y Anaximandro3, éste último inventor del Gnomon, es de quienes se conocen las primeras cartas geográficas, las observaciones astronómicas y el establecimiento de la dirección norte. Eratóstenes4, fue el primero que calculó (o al menos lo intentó) las dimensiones de la Tierra, estableciendo que ésta tenía una circunferencia de unas 25.000 millas5 con una aproximación extraordinaria, habida cuenta de que las mediciones actuales la sitúan en 40.075 km. la ecuatorial y en 40.007 km. la polar, con una excentricidad de 0’00329. Hacia el año 200 a.C., concluyó que las ciudades de Alejandría y Siena en Egipto, estaban localizadas en el mismo meridiano, al realizar mediciones en ambas ciudades durante el solsticio de verano por el reflejo del sol en la cara del agua de unos pozos profundos de estas ciudades. Hiparco6 crea la teoría de los meridianos convergentes y 2 Thales de Mileto (Mileto, hoy desaparecida, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) fue un filósofo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, así como contemporáneo de Anaximandro. 3 Anaximandro (Mileto, actual Turquía, 610 a.C.-id., 545 a.C.) fue un filósofo, geómetra y astrónomo griego. Discípulo de Thales, Anaximandro fue miembro de la escuela de Mileto, y sucedió a Thales en la dirección de la misma. Según parece, también fue un activo ciudadano de Mileto, y condujo una expedición a Apolonia (Mar Negro). Anaximandro se dedicó a múltiples investigaciones, que le llevaron a la afirmación de que la Tierra es esférica y que gira en torno a su eje. También se le atribuye el trazado de un mapa terrestre, además de otros trabajos como la fijación de los equinoccios y los solsticios, y el cálculo de las distancias y los tamaños de las estrellas, así como la elaboración de un reloj de sol y de una esfera celeste. 4 Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta (por β, la segunda letra del alfabeto griego), porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó. 5 Ello resulta equivalente a 40.225 km. La milla es una unidad de longitud que no forma parte del sistema métrico decimal. De origen muy antiguo, fue heredada de la Antigua Roma y equivalía a la distancia recorrida con mil pasos, siendo un paso la longitud avanzada por un pie al caminar -el doble que lo que ahora se consideraría un paso- (en latín: milia passuum). La milla romana medía unos 1.480 m. frente a los 1.609 m. actuales o los 1.852 m. de la milla náutica, y por tanto, un paso simple era de unos 74 cm. Como herencia romana (antes de establecerse el sistema métrico) la milla, terrestre o marítima, fue una de las principales medidas de longitud empleadas en el mundo occidental (si bien su longitud difería de un país a otro). Con la introducción del sistema métrico, los países latinos y otros muchos comenzaron a usar el metro y sus múltiplos para medir las distancias terrestres, y actualmente se utiliza en todo el mundo, excepto en los países anglosajones y los de su ámbito de influencia, donde todavía utilizan la milla (aunque oficialmente ya está implantado el sistema internacional de medidas y con el tiempo adoptarán el metro). 6 Hiparco de Nicea fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI. Su escala de los brillos aparentes, que distingue seis magnitudes diferentes, está en la base de la actual clasificación fotométrica de las estrellas. Por otra parte, hizo el notable descubrimiento de la precesión de los equinoccios, es decir, del desplazamiento de los puntos equinocciales –puntos comunes a la eclíptica y al ecuador celeste- a lo largo de la eclíptica. Para ello, procedió a desarrollar un método que anteriormente había sido ideado por Aristarco; midió la distancia y el tamaño de la Luna. Por otro lado, inventó la trigonometría esférica que incrementó el potencial del cálculo; renovó las matemáticas, herramienta