BBoossnnaaiiHHeerrcceeggoovviinnaa FFeeddeerraacciijjaaBBoossnneeiiHHeerrcceeggoovviinnee TTuuzzllaannsskkiikkaannttoonn JJUU““GGiimmnnaazziijjaaLLuukkaavvaacc””LLuukkaavvaacc PPuubblliicciinnssttiittuuttiioonn““HHiigghhsscchhooooll””LLuukkaavvaacc ÖÖffffeennttlliicchheeaannssttaalltt““GGyymmnnaassiiuumm””LLuukkaavvaacc škola ZZiimmsskkaašškkoollaaMMaatteemmaattiikkee,, LLuukkaavvaacc--jjaannuuaarraa22001155..ggooddiinnee Mirsad SuljićMirsad Suljić OO vvrrssttaammaa zzaaddaattaakkaa uu MMaatteemmaattiiccii ii PPoojjiinn aallggoorriittaamm zzaa rrjjeeššaavvaannjjee zzaaddaattaakkaa ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” OO vvrrssttaammaa zzaaddaattaakkaa uu MMaatteemmaattiiccii Najveći dio matematičke djelatnosti u osnovnoj i srednjoj školi je rješavanje zadataka. Čak i prosječni učenici,osimpodjelezadatakanaonelakšeioneteže,znajuda svizadacinisuistog"karaktera". Ovde ćemodati jednu,istina uproštenu,podjelukoja biučenicima trebala biti jasna.Kriterijza tupodjela nekabudenajčešćariječkojomzadatakpočinje. 1.Izračunaj-"računski"zadaciukojima primjenjujućidefinicijeipravilazaizvođenjealgebarskih operacija,izračunavamobrojneimjernevrijednosti.UGeometrijitosunajčešćedužina, površina,zapremina,veličinauglaislično. 2.Riješi-rješavanje,nalaženjerješenjajednačina,nejednačinainjihovihsistema. 3.Konstruiši-konstruktivnizadaci,kojećemorješavatiprimjenjujućistarogrčkiidealkonstrukcije, koristećisamolinijarišestar. 4.Dokaži-dokazinajraznovrsnijiharitmetičkih,algebarskihigeometrijskihtvrđenja. 5.Zadacilogičkogtipaiproblemskizadaci- svrstalismoihuistugrupu,jernepostojijedinstvena riječkojabiihodvajalaodgorespomenutih. 6.Kombinovanizadaci-"odsvegapomalo". Naravno da ovakva podjela zadataka nije jedina moguća, pa zbog toga nije ni obavezujuća. Ipak, daje prilično jasnuslikuokarakterupojedinihgrupazadataka. PPoojjiinn aallggoorriittaamm zzaa rrjjeeššaavvaannjjee zzaaddaattaakkaa Kratko o Đerđu Poji (George Pólya) Rođen je 13. decembra 1887. godine u Budimpešti, koja je tada bila u sastavu Austro - Ugarske monarhije. Majka je bila Nijemica Ana, a otac Mađar Jakab. U starosti od 95 godina, umro je 7. septembra1985.godineuPaoloAltuuKaliforniji. U periodu od 1914. do 1940. godine radi kao profesor Matematike u Cirihu, a od 1940. do 1950. djeluje na Stanford univerzitetu (USA), gdje postaje profesoremeritus. Slikalijevojeiz1973.godine. 1 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Uvezisarješavanjem,nesamo matematičkihzadataka,senameće: Osnovnopitanje:“Kakorješavatizadatke”? Odgovor:“Morapostojatinekikonceptiplanrješavanja”. Konceptiplanrješavanjaje,najedansasvimprihvatljivnačin,1966.godineizložiomađarskimatematičar Đerđ Poja, koji je dobar dio svog naučnog rada posvetio unapređenju metodike učenja Matematike. Njegovo osnovno usmjerenje je nastava u kojoj je dominantan zajednički rad učenika i nastavnika. Pri tome nastavnici metodički vode i usmjeravaju svakog učenika do sticanja kompetencija (sposobnosti) za samostalno rješavanje matematičkih zadataka. U svojoj, planetarno popularnoj, knjizi: "Kako ću riješiti matematički zadatak" ? on predlaže jedan opšti algoritam za rješavanje matematičkih zadataka. Taj algoritam, kao skup jasno definisanih pravila i procedura, je dat u obliku pitanja i predočen je u nastupajućojtabeli. Poja na kraju sugeriše najbitnije: "Korist od ovakvog pristupa rješavanju matematičkih zadataka će bitisamoondaakoseon,utokuškolovanja,ponovinebrojenomnogoputa". Štajenepoznato? Štajezadano? Kako glasi uslov koji povezuje poznate i nepoznate 1. Treba razumjeti zadatak elemente? Akojepotrebnonacrtajsliku! Uvediodgovarajućeoznake! Gdjepočeti? Štaraditi? Štaćutimepostići? Dalisamtakavzadatakvećvidio? Znamlisličanzadatak? Znamlinekudefiniciju,theoremuilipravilokojebi biloodpomoći? 2. Potraži vezu između zadanogi nepoznatog Je li potrebno uvesti neki pomoćni elemenat radi rješavanja? Moželisezadatakdrugačijeformulisati? Moguliriješitidiozadatka? Jesamliiskoristiosvezadaneelemente? Jesam li uzeo u obzir sve bitne elemente koji se pojavljujuuzadatku? Gdjepočeti? Štaraditi? Štaćutimepostići? 3. Izvrši svojplan Provodimlisvojplanrješavanja? Kontrolišisvakikorak! Mogulijasnovidjetidajesvakikorakispravan? Mogulikontrolisatirezultat? 4. Provjeri dobijeno rješenje Mogulidorezultatadoćidrugačije? Mogulirezultatuočitinaprvipogled? 2 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Ako bi Pojin algoritam 'zgusnuli' došli bi do sljedećeg. Od učenikovih prvih dodira sa Matematikom, trebalobiupornoinisistiratina: 1.Učenikmoradarazumijezadatak.Zbogtogapostavkazadatkamorabitijasna,odnosnozapisana korektnom matematičkom terminologijomisimbolikom. 2.Udaljemtokupotrebnojeodvojiti,separirati,štajenepoznato,štanamjezadanoikojiuslovipovezuju tedvijegrupeveličina. 3.Ustanovitidalijeuslovmogućeispuniti.Možesedogoditi jeuslovdjelimičnodovoljaniličak potpuno protivrječan,pajeneispunjiv. 4.Crtatislike,skiceuzpogodnoizabraneoznake,kojeumnogomeolakšavajupostupakrješavanja. 5.Odgovore,nakrajurješavanja,davatiupisanojformi,kojaobogaćujefondmatematičkihtermina. 6.Ukasnijimfazamaškolovanja,kadasepočinjurješavatizadaciopštijegtipa,trebakrozdiskusiju rješenja,analiziratisvemogućeslučajeve. KakoćemokoristitiPojinalgoritambitćepokazanounastupajućemzadatku.Prijetoganekolikoveć spomenutihinovihnapomena,kadasetrebauhvatitiukoštacsamatematičkimzadatkom. i) Nemažurbe. Neleti. Nemojmislitidanemašvremena!!! ii)Koristianalitičkinačinrazmišljanjaizaključivanja.Tojenačinukomedatiproblemosvjetljavaš,sa štojemogućevišestrana,‘razbijajući’gana jednostavnije dijelovekojisutivećpoznati ilisiih već rješavao.Utomnačinumišljenjaspoznaješidaješodgovorenadvaključnapitanja“Zaštoikako”? Ovakav načinzaključivanjajeprimjenljivusvimNaukama,anesamouMatematici. iii)Kadagodtrebakoristisliku,skicuipogodneoznake. Kodoznakanemojrobovatistandardima. Ko kažedasenepoznatamoraoznačavatiisključivosax?Skiciranja,odnosnoslikesupoželjne jerje nedvojbenodavizuelnapercepcijaimapunojačumoćodsuhoparnogispisivanjagomileformula. iv)Svakizadatakjeosimprimjenenaučenogaistovremenoiučenjenečeganovoga.Zato,učipostupke,a ne bubajnapametzadatke.Bubanjejegubljenjevremena iprviuslov daneznašništa.Postupakaje sigurnomanjenegozadataka,akadasezaborave,lakose“osvježe”. v)Uvijekrazmislijesilineštosličnorješavao. Takoćešsamotkrivatinekenaizglednepovezivesituacije. vi)SveizloženoćeteuvjeravatidaMatematikanijebašnekiprevelikibaukinepremostivapreprekada riješišmnogeživotneprobleme. ZapamtiovajPojinalgoritamidodatnenapomene,jerćeš svetokoristitii udaljemškolovanju, bilokojegusmjerenjaibilokojegnivoaobrazovanja. SlijediPrimjerukomesu“pomiješani”Teorijabrojeva,ElementarnaalgebraiGeometrija. 3 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Primjer 1. Koliko ima različitih pravougaonika, čiji je obim 16cm, a stranice prirodni brojevi ? Odsvihtakvihpravougaonika,odredionajkojiimanajveću(maksimalnu)površinu. Rješenje.Nekajezadanipravougaonik,stranicaxiykaonaslici. 1.korak-zadano: 2.korak-tražise: y i) obimpravougaonika, i) kojisutopravougaonici? ii)straniceprirodnibrojevi. ii)kojiodnjihimanajvećupovršinu? x 3.korak-napišimomatematičkomsimbolikomiodgovarajućimformulama zadaneitraženeveličine: Obimpravougaonikajezbirdužinasvihnjegovihstranica,tj. Ox yx yO2x2yO2x y.Uzzadanepodatkedobijamo: O16cm2x y16cm/:2x y8....(1) Odredimoprvookojimserazličitimpravougaonicimaradi. Jednakost(1)jelinearnajednačinapox,ykojauopštemslučajuimabeskonačnomnogorješenja. Da su stranice prirodni brojevi, skupovno zapisujemo kao: x,y N. Sada jednačina (1) nema beskonačno mnogo rješenja, jer prirodnih brojeva čiji je zbir 8 ima konačno mnogo. Naime, i x i y su prirodni brojeviza kojevrijedi: 1x,y8. Krećemo odprvogprirodnogbroja1.Predočimomoguće kombinacijezbira(1)sljedećomtabelom: x 1 2 3 4 5 6 7 Prebrojavanjem,utvrđujemo y 7 6 5 4 3 2 1 daima7pravougaonika. Ne žuri sa odgovorom. Svih 7 pravougaonika ispunjava uslov da su im obimi 16cm. Međutim, u Geometriji su npr. pravougaonik stranica 3cm i 5cm i pravougaonik stranica 5cm i 3cm podudarni, odnosno isti. Treba napuštati, neodređene pojmove dužina i širina, jer za nekoga je dužina ono što je za drugoga širina. I običan, nematematički svijet, za sobu koja je pravougaonog oblika često kaže: “Soba 4 sa 3”. Sada od onih 7 pravougaonika odstranimo zadnja 3 (ili prva 3) jer su međusobno podudarni, pa je odgovor: “Postoje 4 različita pravougaonika”. Nema veze što je jedan od pravougaonika, onaj stranica 4cm i 4cm, kvadrat. Kvadrat je samo specijalan slučaj pravougaonika. “Odbacivanje”pravougaonikaje,izmeđuostalog,posljedicakomutativnostizbira,ovde x y yx. Osim izloženog rješenja, prvi dio zadatka se može riješiti i pomoću grafika linearne funkcije. Zašto baš koristeći funkciju. I u osnovnoj, pa čak i u srednjoj školi, se često jednačina ne definiše koristeći prirodnu i jednostavnu formulaciju po kojoj je: “Jednačina jednakost dviju funkcija”. Ta suštinska veza jednačine i funkcije često olakšava razmatranje i rješavanje, na prvi pogled komplikovanih problema. 4 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Posmatrajmojednačinu(1), x y8.Nijeteškovidjetidajeonaekvivalentnasa yx8...(2). Zadnji zapis je samo eksplicitni oblik linearne funkcije oblika ykxn ili fxkxn , gdje je k 1 i n8. Zbog prirode zadatka domen ove funkcije je podskup X skupa prirodnih brojeva N,     koji analitički pišemo kao: X  x 1x8 . Kodomen je analogno skup Y  y 1 y8 , tako da nam za crtanje grafika treba samo prvi kvadrant Dekartove ravni (pravouglog koordinatnog sistema), jer imamo “posla” sa pozitivnim brojevima. Dakle, jednačinu (1) rješavamo grafički. Na grafiku dobijene funkcije posmatrat ćemo samo tačke čije su koordinate prirodni brojevi. Samo crtanje grafikafunkcijejevećinipoznato,paganećemoobjašnjavatipreširoko. ▲ y 8 7 6 5 yx8 4 3 2 1 ► x O(0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 Grafikfunkcijeodsjecanay-osiodsječak8,anulafunkcije(odsječaknax-osi)jetakođe8.Odječke x y na osama smo mogli dobiti i iz segmentnog oblika  1. Iz x y8 dijeljenjem i LS (lijeve m n x y strane)i DS(desnestrane)sa8odmahdobijamo:  1.Tačke A,B,C,D,E,F,G leženagrafiku 8 8 funkcije yx8 i one su, slično tabeli, sa svojim koordinatama x,y moguća rješenja. Slika predočava pravougaonike kojima je zajednički vrh, koordinantni početak, tačka O. Notirani preko tjemena ti pravougaonici, njih 7 su: O7G1, O6F2, O5E3, O4D4, O3C5, O2B6 i O1A7. Od tih mogućih rješenja usvajamo četiri. Odabir rješenja, kao neku vrstu granice ima tačku D4,4. Ovde koordinatetačaka na grafikufunkcijeimajuulogudužinastranicapravougaonika,pa smo mogli pisati x,yjedna stranica, druga stranica. Očito su i oblika x,8x ili 8 y,yi nije ih teško očitati. Naslicisupotamnjenjemizdvojenadvapravougaonika.Vertikalniimastranice,zanemarimocm,1i7, a horizontalni ima stranice 7 i 1. To su dva podudarna pravougaonika, jer ih rotacijama dovedemo do poklapanja. Ako horizontalni (vertikalni) rotiramo oko zajedničkog vrha, tačke O za 90 (za 270 ), onćesepreslikatiuvertikalni(horizontalni)pravougaonik. 5 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Prvidiozadatka,kojijejednostavnalinearnaDiofantovajednačina, smoriješilinadvanačina. Drugi dio zadatka, zahtjeva da od četiri različita pravougaonika, a ne od onih u prvih mah 7 nađenih, odredimo onaj koji ima maksimalnu površinu. Posmatrajmo stranice pravougaonika kao uređene parove. Stranice su u cm pa to nećemo posebno naglašavati. Dakle, imamo sljedeća četiri uređena para: 1,7, 2,6, 3,5 i 4,4. Kako je površina pravougaonika jednaka proizvodu dužina stranica, ovde formula ima oblik P(x,y)xy , a ne “bubatorsko” Pab . Nije teško zaključiti da vrijedi produžena nejednakost P(1,7)7P(2,6)12P(3,5)15P(4,4)16 . Prema tome, najveću površinu,odnađenihrazličitihpravougaonika, imakvadrationaiznosi 16cm2. Napomena. Da je u zadatku precizirano umjesto “pravougaonika” “strogo pravougaonika” rješenje bi izgledalodrugačije.Bilobitrirazličitapravougaonika,amaksimalnapovršinabiiznosila 15cm2. DodatakRješenjuzadatka. Određivanje pravougaonika maksimalne površine, nije bilo naročito teško zbog činjenice da smo imali samo 4 pravougaonika, pa smo upoređivali 4 proizvoda. Šta da ih je bilo 400 ili 4 milijarde. Provjeriti sve proizvode, pa od njih izabrati najveći,ne bi bilonemoguće, alibi bilo zamorno i mnogi bi odustali. Razumno je pitanje: “Imali neki kraći, ili čak univezalni metod da riješimo, u bilo kom slučaju, sličan problem” ? Imali smo zadani obim (zbir), a tražila se najveća površina (proizvod). Može i ovakva formulacija: “Kakva treba da budu dva sabirka, da im proizvod bude maksimalan” ? Matematikaimaodgovorenasvapitanja,painaovo. Prije nego iskažemo theoremu koja daje odgovor na naše pitanje, definišimo dva važna pojma. To su aritmetičkaigeometrijskasredina,kaonajvažnijipredstavnicibrojnihsredina(sredinabrojeva). Nekasudatadvapozitivnarealnabrojaaib,simbolički: a,bR+,ili a,b0.Vrijededefinicije: Definicija aritmetičke sredine. Aritmetička sredina brojeva a i b je njihov poluzbir, u oznaci ab Aa,b . 2 Definicija geometrijske sredine. Geometrijska sredina brojeva a i b je drugi korjen iz njihovog proizvoda,uoznaci Ga,b ab . Napomena. Ove dvije sredine se mogu definisati i za više od dva pozitivna realna broja, ali nam to u ovomtrenutkunijecilj. Theorema o nejednakosti brojnih sredina ( AG nejednakost ). “Geometrijska sredina dva broja nikad nije veća (uvijek je manja ili jednaka) od aritmetičke sredine tih brojeva. Simbolički: Ga,b A(a,b),gdjeznakjednakostivrijedisamoakoje ab”. ab ab Prvi dokaz ►Trebadokazatidaje ab  .Dokažimoekvivalentnutvrdnju:  ab . 2 2 Kakosu a,bR+,sigurnoje ab2 0.Nakon kvadriranjavrijedilanacimplikacija: ab2 ab a2 2abb2 0/4aba2 2abb2 4ab/:4 ab/   ab,štoznačida 4 2 je: Aa,bG(a,b) Q.E.D(Quoderatdemonstrandum-Štojeitrebalodokazati). 6 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” Zahvalnost Euklidu koji je tako završavao svoje dokaze. Danas se često koristi simbol ■ (prijedlog Pola Halmoša, mađarskog matematičara). Simboli ►, Q.E.D ili ■, vizuelno odvajaju tvrdnju od dokaza,kaoikrajdokazatheoreme.Svesevišenapuštadugokorišteno:“Timejedokazzavršen”. ab Drugi dokaz ►Dokažimodaje: ab  . Kakosu a,bR+,smijemokvadriratiiLSiDS 2 polaznenejednakostinakončegaimamo: ab2 a2 2abb2 ab  ab /44aba2 2abb2 0a2 2abb2.  2  4 DS zadnje nejednakosti je kvadrat razlike pa vrijedi 0ab2 ab2 0. Kako je kvadrat bilo kog realnog broja uvijek nenegativan zadnja nejednakost je tačna za bilo koje a,b R +. Znak jednakostićeočiglednovrijeditiakoje ab. Q.E.Dili■. Zaštonamjeovatheoremavažna.Onaupravovežezbiriproizvod,kojisepojavljujuuzadatku,pana osnovutogamožemoiskazatiisljedećutvrdnju,kojajeposljedicaAGnejednakosti. Theorema. “Ako je zbir dva pozitivna broja konstantan, onda će proizvod tih brojeva biti maksimalanakosuonimeđusobnojednaki”. Kako je u zadatku x y8 const. , odmah na osnovu prethodne theoreme izlazi xy , ako je max x y.Sadaiz(1): 2x8x4,odnosno y4.Taj zaključakvećimamo. Napomena.Maloprijespomenutatheoremavrijediizakonačanzbirukomeimavišeoddvasabirka. Formulacijatetheoremebibila. Theorema.“Nekasu x ,x ,....,x pozitivnirealnibrojevi.Akoje x x ....x const.,ondaje 1 2 n 1 2 n proizvod x x ....x maksimalan,akoje x x ....x ”. 1 2 n 1 2 n Drugi dio zadatka se može riješiti, između ostalog, i na sljedeća dva načina. Oba od njih podrazumjevaju poznavanje osobina funkcija. Naime, površina pravougaonika Px,y koja je funkcija dviju realnih promjenljivih, nakon smjene yx8, postaje funkcija jedne realne promjenljive Pxx2 8x . U pitanjujekvadratnafunkcijaidaljitokrješenjazadatkamogupratitisrednjoškolci.Naovommjestujeveć vidljiv značaj pojma funkcije. U prvom dijelu smo obim pravougaonika izrazili kao funkciju dvije promjenljive,amaloprijesmotoučiniliisapovršinomtogistogpravougaonika. Unižimrazredima srednješkoleseizučava parabola,kojajegrafikkvadratnefunkcije.Za njenocrtanje,u slučaju realnih i različitih nula su dovoljne tri tačke. To su nule kvadratne funkcije i tjeme parabole. ‘Naša’parabolaimazaistarealneirazličitenule: x 0 i x 8.Njihnijeteškoodrediti. 1 2 Iz Pxx2 8xPx0 ako je x2 8x0xx80x0 ili x8. Znasedakvadratnafunkcija fxax2 bxc , a0 dostižeekstremutjemenuparaboleito: minimumakoje a0(okrenutanadole),odnosnomaksimumakoje a0(okrenutanagore)ion x x  seuobaslučajaizračunakaovrijednostfunkcije f 1 2 .  2  7 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”  b D  Ovde nismo koristili koordinate tjemena T ,  gdje je Db2 4ac diskriminanta kvadratne  2a 4a funkcije. Naime, apscisa tjemena T je uvijek na sredini između nula. Parabola ima maksimum jer je x x 08 a10 , dok je sredina između nula data sa: 1 2  4 , pa tačka maksimuma ima ordinatu 2 2 P P416 ismještenajeutjemenuparabole T(4,16).Vidinastupajućigrafik. max T(4,16) y f(x)=-x^2+8x 16 Naziv 1 Naziv 2 Naziv 3 14 12 10 8 Pxx2 8x 6 4 2 O x -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 x x 1 2 -2 -4 Završni razredi srednje škole izučavaju i izvode funkcije i njihovu primjenu na ispitivanje toka i crtanje grafika realnih funkcija jedne promjenljive. Ovo što sada navodimo nije dato u obliku theorema. Dati su opisno samo zaključci tih theorema. U tom smislu je važna napomena: “Nemoj bubati theoreme, slično kao i formule, zapamti njihove zaključke i mogućnosti primjene”. U analizi realnih funkcija se napomene dafunkcijamožedaimalokalniekstremunekojtački(stacionarnatačka)akojenjenprviizvodutojtački jednaknuli.Okomseekstremuradiispitamonadva načina. 8 ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka” i) Ispitujemo znak prvog izvoda. Interval u kome je prvi izvod negativan (pozitivan) je interval u kome funkcija opada (raste). U stacionarnoj tački niti raste niti opada. Ako, prolaskom kroz stacionarnu tačku funkcija promijeni opadanje u rast (rast u opadanje) u toj stacionarnoj tački ona ima lokalni minimum (lokalnimaksimum). Prvi izvod je P'x2x8P'x0 x4 . Stacionarna tačka x4 otvoreni interval realnih brojeva , ‘razbije’ na dva, takođe otvorena intervala ,4 i 4, . Tabela najlakše ispita znakprvogizvoda.  4  P'x2x8 + - P442 84P416 Pxx2 8x pa tačkamaksimuma(4,16). Max ii) Preko vrijednosti drugog izvoda ustacionarnoj tački. Neka je stacionarnatačka x , tj. P'x 0. Ako 0 0 je P''x 0,odnosno P''x 0 funkcijaimamaksimum, odnosno minimum.Akoje P''x 0 treba 0 0 0 daljeispitivati.Nađimodrugiizvod f-je Pxx2 8x. Drugiizvod P''x20,pafunkcijaimaza x4 maksimalnuvrijednost P P416. max Sljedeći primjer pokazuje svu prednost dosljedne primjene Pojinog algoritma i analitičkog načina mišljenja. Uzet je iz popularne knjige, već spomenutog, Pola Halmoša “Problem for Mathematicians YoungandOld”. Izsamognazivaknjigesevidikojimjematematičarimanamjenjena. Primjer 2.Na jednom teniskom turniru, koji se igra po principu“ko izgubi ispada”, učestvuje 1025 igrača.Kolikoćebitiukupnoodigranihmečeva? Nećemo žuriti. Imamo vremena. Sam autor u komentaru ovog zadatka kaže: “Ovde nije pitanje da li će neko ovaj, ipak jednostavni, problem riješiti. Poenta je u nalaženju rješenja, koje će osim estetske vrijednosti, pogoditiusrceproblema”. Mi ćemo zadatak poopštiti, predpostavljajući da na turniru učestvuje n - igrača. Ma koliko bilo veliko n, sljedeća razmatranja su analitički logična i opravdana Znamo broj igrača. Traži se broj mečeva. Pravimo sljedećiplan: 1.poslijesvakogmečatačnojedanigračispadaizdaljeigre, 2.pobjednikturnirajesamojedanigračkojinijeizgubionijedanmeč, 3.akojenapočetkubilonigrača,mečevejedokrajaturniraizgubilo n1 igrača, 4.tih n1 igračajeodigralotačno n1mečeva. U ovim razmatranjima ništa nije sporno ni komplikovano, pa rješenje osim elegancije ima i svojstvo poopštenja.Dakle,naturnirućebitiodigrano, 102511024meča. Ovdeimamoibijekcijukojasvakom mečupridružiigračakojijeizgubiomeč. 9