N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE ALGÈBRE Chapitre 10 Algèbre homologique 123 Réimpressioninchangéedel’éditionoriginalede1980 ©Masson,Paris,1980 ©N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2007 ISBN-10 3-540-34492-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN-13 978-3-540-34492-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspays. Laloidu11mars1957interditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollective. Toutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentement del’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticles425etsuivants duCodepénal. SpringerestmembreduSpringerScience+BusinessMedia springer.com Maquettedecouverture:WMXDesignGmbH,Heidelberg Imprime´surpapiernonacide 41/3100/YL-543210- Mode d'emploi de ce traité NOUVELLE ÉDITION 1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathéma- tique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathéma- tique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus parti- culièrement à des lecteurs possédant au moins'une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université. 2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L'utilité de cer- taines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu'il ne possède déjà des connaissances assez étendues. 3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuelle- ment publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants : Théorie des Ensembles désigné par E Algèbre A - Topologie générale TG - Fonctions d'une variable réelle - FVR Espaces vectoriels topologiques - EVT Intégration - INT Algèbre commutative - AC Variétés différentielles et analytiques - VAR Groupes et algèbres de Lie - LIE Théories spectrales - TS Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué ci-dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans le chapitre en cours ou dans les chapitres antérieurs dans l'ordre suivant : E; A, chapitres 1 à III ; TG, chapitres 1 à III ; A, chapitres IV et suivants ; TG, chapitres IV et suivants ; FVR ; EVT ; INT. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre -ou chapitre, l'indication précise des autres Livres bu chapitres utilisés (les six premiers Livres étant toujours supposés connus). 4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques : * .. . ,. Dans certains cas, il s'agit seulement de faci- liter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleuk Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les cha- pitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux. 5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration. 6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre ; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de a proposi- tions D, (( lemmes D, « corollaires D, « remarques D, etc. ; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de scholie », (( on trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème particulièrement important. Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire certaines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'intérieur d'un seul chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot « anneau » signifie tou- jours « anneau commutatif D). De telles conventions sont explicitement mentionnées à la tête du chapitre ou du paragraphe dans lequel elles s'appliquent. 7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, 7 où il risquerait de tomber ; ces passages sont signalés en marge par le signe (« tournant dangereux »). 8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier qu'il a bien assimilé le texte ; d'autre part à lui faire connaître des résultats qui n'avaient pas leur place dans le texte ; les plus difficiles sont marqués du signe 7 . 9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention particulière. On s'est eforcé de ne jamais s'écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses raisons. 10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage. 11. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y trouvera qu'exceptionnellement des références bibliographiques ; celles-ci sont groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d'importance dans l'évolution de la théorie considérée ; elle ne vise nullement à être complète. Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d'exercices). 12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3), le chapitre et la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée ; par exemple, dans le Livre d'Algèbre, E, III, p. 32, cor. 3 renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre ; II, p. 24, prop. 17 renvoie à la proposition 17 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 24 de ce chapitre. Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple : EVT, R signifie fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques ». (( Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le cha- pitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question ; par exemple : AC. III, 5 4, no 5, cor. de la prop. 6. CHAPITRE X Algèbre homologique Dans ce paragraphe, la lettre A désigne un anneau. Sauf mention expresse du contraire, tous les modules considérés sont des modules ù gauche, tous les idéaux considérés sont des idéaux a gauche. Les déjnitions et les résultats s'appliquent aux modules a droite, en les considérant comme modules à gauche sur l'anneau opposé. Si M est un A-module et si a E A, on note aMl 'homothétie x H ax de M. On a donc 1, = IdM( application identique de M); lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on écrit parfois simplement 1 au lieu de 1,. Enjn, on note O un A-module réduit à son élément neutre, choisi une fois pour toutes (cf 11, p. 8). 1. Diagrammes commutatifs Soient par exemple B, C, D, E, F cinq ensembles, et soient f une application de E dans F, g une application de B dans C, h une application de D dans E, u une application de B dans D et v une application de C dans E. Pour résumer une situa- tion de ce genre, on fait souvent usage de diagrammes ; par exemple, on résumera la situation préGdente par le diagramme suivant (E, II, p. 14) : D-E-F h f Dans un tel diagramme, le groupe de signes E -L F schématise le fait que f est une application de E dans F. Lorsqu'il ne peut y avoir d'ambiguïté sur f, on supprime la lettre f, et on écrit simplement E -. F. Lorsque B, C, D, E, F sont des groupes (resp. des A-modules) et f, g, h, u, v des homomorphismes de groupes (resp. A-modules), on dit pour abréger que le dia- gramme (1) est un diagramme de groupes (resp. de A-modules). En principe, un diagramme n'est pas un objet mathématique, mais seulement une figure, destinée à faciliter la lecture d'un raisonnement. En pratique, on se sert souvent des diagrammes comme de symboles abréviateurs, qui évitent de nommer tous les ensembles et toutes les applications que l'on veut considérer; on dit ainsi « considérons le diagramme (1) » au lieu de dire : « soient B, C, D, E, F cinq ensem- bles.. . et v une application de C dans E » ; voir par exemple l'énoncé de la prop. 1 du no 2. Considérons par exemple le diagramme suivant : A tout chemin composé d'un certain nombre de segments du diagramme par- couru dans le sens indiqué par les flèches, on fait correspondre une application de l'ensemble représenté par l'origine du premier segment dans l'ensemble représenté par l'extrémité du dernier segment, savoir la composée des applications représentées par les divers segments parcourus. Pour tout sommet du diagramme, par exemple C, on convient qu'il y a un chemin réduit à C et on lui fait correspondre l'application identique 1,. Dans (2), il y a par exemple trois chemins partant de B et aboutissant à D' ; les applications correspondantes sont do g of, g' o c of et g' of' o b. On dit qu'un diagramme est commutatif si, pour tout couple de chemins du diagramme ayant même origine et même extrémité, les deux applications correspondantes sont égales ; en particulier si un chemin a son extrémité confondue avec son origine, l'application correspondante doit être l'identité. Pour que le diagramme (2) soit commutatif, il faut et il suffit que l'on ait les relations : autrement dit, il faut et il suffit que les trois diagrammes carrés extraits de (2) soient commutatifs. En effet, les relations (3) entraînent do g of = g' o c of puisque dog = g'oc et gfocof= g'of'ob puisque cof= f'ob; donc les trois che- mins partant de B et aboutissant à D' donnent la même application. On vérifie de même que les quatre chemins partant de B et aboutissant à E' (resp. les trois chemins partant de C et aboutissant à Et) donnent la même application. Les rela- tions (3) signifient que les deux chemins partant de B (resp. C, D) et aboutissant à C' (resp. D', E') donnent la même application. Tous les autres couples de sommets de (2) ne peuvent être joints que par un chemin au plus, et le diagramme (2) est donc bien commutatif. Par la suite, nous laisserons au lecteur le soin de formuler et de vérifier des résul- tats analogues pour d'autres types de diagrammes. 2. Le diagramme du serpent PROPOSITIO1.N Considérons un diagramme commutatif de A-modules - *l q1 M'II;-, N'? P'. on suppose que les deux lignes de (4) sont exactes. Alors (i) Si h est injectif, on a (5) Im (g) n Im (u') = Im (u' 0 f ) = Im (g 0 u) . (ii) Si f est surjectif, on a + (6) Ker (g) Im (u) = Ker (v' o g) = Ker (h o v) . Prouvons (i). Il est clair que l'on a Im (u' of) = Im (g 0 u) c Im (g) n Im (u') Inversement, soit y' E Im (g)n Im (u'). Il existe v E N tel que y' = g(y). Comme V'O U' = O, on a O = vl(y') = ~ ' ( ~ (=y )h)(u (y)), d'où v(y) = O puisque h est injectif. Comme (u, a) est une suite exacte, il existe x E M tel que y = u(x), d'où Y' = g(u(x)). Prouvons (ii). Comme v o u = O et v' o u' = O , il est clair que + Ker (g) Im (u) c Ker (v' o g) = Ker (h 0 v) . Inversement, soit y E Ker (v' o g). Alors g(y) E Ker (v'),e t il existe x' E M' tel que ul(x')= g(y) puisque la suite (u', 6') est exacte. Comme f est surjectif, il existe x E M tel que f (x) = x', d'où g(y) = ut(f (x))= g(u(x)); on en conclut que y - u(x)E Ker (g), ce qui termine la démonstration. Lemme 1. - Considérons un diagramme commutatif de A-modules 4M A N (7) gl M'ur, N' . Alors il existe un homomorphisme et un seul u, : Ker ( f )- + Ker (g), et un homo- morphisme et un seul u, : Coker ( f ) Coker (g), tels que les diagrammes -t Ker ( f )- u4 K4er (g) il M-N 'l Coker (f)- Coker (g) soient commutatifs, i et j désignant les injections canoniques, p et q les surjections canoniques. En effet,s i x E Ker ( f) , on a f (x)= O et g(u(x))= ut(f (x))= 0, donc u(x)E Ker (g), et l'existence et l'unicité de u, sont alors immédiates. De même, on a u'(f (Ml) = g(u(M)) g(N) 9 donc u' donne par passage aux quotients un homomorphisme u, : Coker ( f )+ Coker (g) , qui est le seul homomorphisme pour lequel (9) soit commutatif. Partons maintenant d'un diagramme commutatif (4) de A-modules ; il lui cor- respond en vertu du iemme 1 un diagramme commutatif Ker (f)4 K er (g) Ker (h) - - (y) Coker Coker (g) Coker (h) où i, j, k sont les injections canoniques, p, q, r les surjections canoniques, u,, u, (resp. v,, v,) les homomorphismes déduits de u, u' (resp. v, v') par le lemme 1. PROPOSITIO2N. - Supposons que dans le diagramme commutatif (4),l es suites (u, v) et (ut, v') soient exactes. Alors : (i) On a v, o u, = O ; si ut est injectif, la suite (u,, v,) est exacte. (ii) On-au, o u, = O ; si v est surjectif, la suite (u,, v,) est exacte. (iii) Supposons u' injectif et v surjectif. II existe alors un homomorphisme et un seul d : Ker (h) + Coker ( f )a yant la propriété suivante : si z E Ker (h),y E N et x' E M' vérifient les relations v(y) = k(z) et u'(xl)= g(y),o n a d(z) = p(x'). De plus la suite est exacte.