SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Modelos ARCH y GARCH Roberto Cruz Oropesa Francisco Javier Rivera Miguel A´ngel S´anchez Ad´an Uribe Bravo Diciembre 9, 2013 Series de Tiempo RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Series Finacieras Hechos estilizados. Sea p el precio de un activo al tiempo t. t Sea r := log(p /p ) retornos o rendimientos. t t t−1 RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales No estacionalidad de las series de precios RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Ausencia de correlacio´n en los retornos y correlaci´on en los cuadrados de los retornos RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Agrupamiento de volatilidad 0.20 0.15 abs retornos CAC 0.10 0.05 0.00 0 100 200 300 400 500 600 700 Time RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Distribuci´on de colas pesadas RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Efecto de Apalancamiento Autocorrelaci´on muestral de los retornos, del valor absoluto delosretornos,lacorrelaci´onmuestralentrer+ y|r |,yentre−r− y|r |. t−h t t−h t h 1 2 3 4 5 6 7 0.001 -0.016 -0.079 -0.044 -0.028 0.026 -0.124 ρˆr(h) 0.125 0.201 0.157 0.150 0.109 0.127 0.104 ρˆ|r|(h) ρˆ(rt+−h,|rt|) 0.111 0.078 0.165 0.023 0.076 0.023 0.034 ρˆ(−rt−−h,|rt|) 0.117 0.100 0.007 0.099 0.068 0.094 0.047 *r+ =max(r ,0) y −r− =max(−r ,0). t t t t RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales Modelo de varianza aleatoria 1 Heterocedasticidad condicional Var(r |r ,r ,...)(cid:54)=const. t t−1 t−2 2 Consideramos rt =µ+σtηt, donde σt y ηt son procesos tales que: σ es medible con respecto a F . t t−1 (η )∼iid(0,1), η es independiente de F y de t t t−1 σ({r :s <t}). s σ >0. t 3 Si los dos primeros momentos condicionales de rt existen entonces: E(r |F )=µ. t t−1 var(r |F )=σ2 (σ es la volatilidad de r ). t t−1 t t t Cov(r ,r )=0, para todo h>0. t t−h RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales ARCH(1) Un proceso estacionario a sigue un modelo ARCH(1) del ingl´es t AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity si y s´olo si a = σ η t t t σ2 = α +α a2 t 0 1 t−1 donde α > 0 y α1 ≥ 0. Adem´as η y σ son dos procesos 0 t t estacionarios independientes entre s´ı y η ∼ IIDN(0,1), t η ∼ IID t −student o η ∼ Errores Generalizados. A σ se le t t t conoce como la volatilidad. RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH SeriesFinancieras ARCH GARCH ExtencionesNaturales ARCH(1) Sea F la informaci´on hasta el tiempo t −1. Entonces la t−1 Esperanza: Marginal E(a ) = E(σ η ) = E(η )E(σ ) = 0 t t t t t Condicional (cid:16) (cid:12) (cid:17) (cid:16) (cid:12) (cid:17) E a (cid:12)F = E σ η (cid:12)F = σ E(η ) = 0 t(cid:12) t−1 t t(cid:12) t−1 t t RobertoCruz,JavierRivera,MiguelSanchez,Ad´anuribe ARCHyGARCH