Guide d’enseignement efficace des mathématiques 4e 6e de la à la année Modélisation et algèbre 2008 Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année Modélisation et algèbre Le Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année – Modélisation et algèbre comprend notamment une introduction, une description de la grande idée Relations ainsi qu’une situation d’apprentissage pour chaque année d’études au cycle moyen. Guide d’enseignement efficace des mathématiques 4e 6e de la à la année Modélisation et algèbre Table des MaTières PRÉFACE 3 INTRODUCTION 5 ENsEIgNEmENT EFFICACE DE l’AlgèbRE 7 Processus fondamentaux .......................................................................................9 Abstraction ......................................................................................................9 Généralisation ................................................................................................9 Opération sur l’inconnue ........................................................................11 Habiletés mathématiques ....................................................................................12 Habileté à raisonner de façon algébrique .........................................12 Habileté à résoudre une situation-problème de façon algébrique ...................................................................................15 Habileté à communiquer un raisonnement algébrique ................17 Composantes de l’apprentissage de l’algèbre ............................................20 Compréhension des relations ...............................................................20 Utilisation de modèles mathématiques .............................................21 Analyse du changement .........................................................................23 Représentation de situations-problèmes à l’aide de symboles .................................................................................24 Exemple d’intégration des composantes dans une situation-problème ................................................................24 Concepts algébriques regroupés selon une grande idée .........................27 gRANDE IDÉE – RElATIONs 29 Aperçu.......................................................................................................................30 Énoncé 1 – Exploration de relations ...............................................................32 Pourquoi l’exploration de relations? ....................................................33 Sortes de régularités dans les relations ..............................................35 Régularité d’addition.........................................................................35 Régularité de soustraction ..............................................................36 Régularité de multiplication ...........................................................37 Régularité de division .......................................................................37 Régularité cyclique ............................................................................38 Relations de proportionnalité ................................................................39 Représentations des relations ...............................................................41 Situation ...............................................................................................42 Table de valeurs..................................................................................47 Règle ......................................................................................................52 Représentation graphique ..............................................................66 Énoncé 2 – Sens du symbole ............................................................................67 Relations d’égalité .....................................................................................69 Sens du symbole de l’égalité .........................................................71 Sens d’une relation d’égalité ..........................................................73 Équations .....................................................................................................83 Inconnues et variables .....................................................................84 Différents types d’équations ...........................................................89 Établir des liens ......................................................................................................98 Liens avec des expériences de la vie quotidienne ..........................98 Liens avec des concepts dans les autres domaines de mathématiques .............................................................104 Liens avec des concepts dans les autres matières .......................109 Liens avec des professions ...................................................................113 Cheminement de l’élève ...................................................................................117 Tableau de progression 1 – Vocabulaire ..........................................118 Tableau de progression 2 – Habiletés ..............................................119 sITUATIONs D’APPRENTIssAgE 121 Aperçu .....................................................................................................................121 Situation d’apprentissage, 4e année ..............................................................123 Situation d’apprentissage, 5e année ..............................................................145 Situation d’apprentissage, 6e année ..............................................................173 ANNEXEs 197 Annexe A – Vocabulaire lié aux suites ..........................................................198 Annexe B – Stratégies liées à l’analyse d’une égalité ..............................200 Annexe C – Représentations en modélisation et algèbre ....................210 RÉFÉRENCEs 240 PrÉFaCe Le document intitulé Enseigner et apprendre les mathématiques : Rapport de la Table ronde des experts en mathématiques de la 4e à la 6e année souligne que « l’enseignement joue un rôle central dans l’apprentissage et la compréhension des mathématiques chez les élèves du cycle moyen » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004a, p. 35) et il en définit les principales composantes. Pour appuyer la mise en œuvre des recommandations présentées dans ce rapport, le ministère de l’Éducation de l’Ontario a entrepris l’élaboration d’une série de guides pédago- giques composée d’un guide principal et de guides d’accompagnement. Le guide principal, publié en cinq fascicules et intitulé Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 6e année (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2006a), propose des stratégies précises pour l’élaboration d’un programme de mathématiques efficace et la création d’une communauté d’apprenants et d’apprenantes chez qui le raisonnement mathématique est développé et valorisé. Les stratégies portent essentiellement sur les grandes idées inhérentes aux attentes du programme-cadre de mathématiques (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2005), sur la résolution de problèmes comme principal contexte d’apprentissage des mathématiques et sur la communication comme moyen de développement et d’expression de la pensée mathématique. Ce guide contient également des stratégies d’évaluation, de gestion de classe et de com- munication avec les parents1. Les guides d’accompagnement, rédigés par domaine en tenant compte des attentes et des contenus d’apprentissage du programme-cadre de mathématiques, suggèrent des applications pratiques des principes et des fondements présentés dans le guide principal. Ils sont conçus pour aider l’enseignant ou l’enseignante à s’approprier la pédagogie propre à chaque domaine mathématique afin d’amé- liorer le rendement des élèves en mathématiques. Le guide principal et les guides d’accompagnement ont été élaborés en confor- mité avec la Politique d’aménagement linguistique de l’Ontario pour l’éducation en langue française (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004b) pour soutenir la réussite scolaire des élèves et appuyer le développement durable de la com- munauté scolaire de langue française de l’Ontario. Ils mettent l’accent, entre autres, sur des stratégies d’enseignement qui favorisent l’acquisition par chaque élève de compétences en communication orale. 1. Dans le présent document, parents désigne père, mère, tuteur et tutrice.  iNTrOdUCTiON Le domaine de l’algèbre est une composante qui prend de plus en plus d’importance dans l’évolution des mathématiques. Chaque jour, nous sommes confrontés à une multitude de problèmes composés d’une variété d’inconnues. C’est en essayant de voir des patrons, des régularités, que des solutions seront trouvées. (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2000, p. 15) Le domaine Modélisation et algèbre regroupe des concepts essentiels aux AAuu ccoouurrss ddee llaa ddeerrnniièèrree mathématiques pour représenter et analyser des relations que l’on trouve dans ddéécceennnniiee,, ddeess éédduuccaatteeuurrss eenn mmaatthhéémmaattiiqquueess ddee plusieurs situations de la vie courante. pplluuss eenn pplluuss nnoommbbrreeuuxx pprrooppoosseenntt ddee ccoommmmeenncceerr ll’’ééttuuddee ddee ll’’aallggèèbbrree ddèèss L’étude de l’algèbre s’est développée à partir du besoin de comprendre et de llee pprriimmaaiirree.. IIllss pprréécciisseenntt représenter le monde réel, par exemple, la position des planètes, le mouvement qquu’’iill nnee ss’’aaggiitt ppaass dd’’uunn eennsseeiiggnneemmeenntt pprrééccooccee ddee des marées, le déplacement des objets en chute libre. Les mathématiciens et ll’’aallggèèbbrree dduu sseeccoonnddaaiirree,, nnii dd’’uunnee «« pprrééaallggèèbbrree »» [[……]].. les mathématiciennes ont tenté de résoudre ces questions par l’observation des IIll ss’’aaggiitt pplluuttôôtt dd’’aammeenneerr lleess ééllèèvveess àà ddéévveellooppppeerr llaa régularités et la modélisation des phénomènes par des équations et des repré- ppeennssééee aallggéébbrriiqquuee ssaannss nnéécceessssaaiirreemmeenntt uuttiilliisseerr llee sentations graphiques. Ces travaux ont contribué au développement de symboles llaannggaaggee lliittttéérraall ddee ll’’aallggèèbbrree.. mathématiques et de méthodes de calcul. Or, « dans ce nouveau millénaire, ((SSqquuaallllii,, 22000022,, pp.. 44)) l’algèbre n’est plus une discipline qui s’attarde à la manipulation de symboles. L’algèbre devient un mode de pensée, une façon de voir et d’exprimer des rela- tions » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2000, p. 26). La modélisation est une des fins de l’étude de l’algèbre. En effet, l’algèbre sert surtout à représenter des phénomènes, c’est-à-dire à les modéliser. Au cycle moyen, les élèves sont amenés à observer les changements dans le monde qui les entoure, à les décrire et à les représenter d’abord de façon concrète et semi- concrète, puis de façon symbolique. Par exemple, la suite de figures ci-après est utilisée afin de modéliser une situation. Les élèves apprennent à décrire la régu- larité que l’on peut voir d’une figure à l’autre, à exprimer la relation entre le numéro de la figure et le nombre de cubes qui la composent et à représenter cette relation par une table de valeurs et par une équation.  Note : n représente le numéro de la figure et c, le nombre de cubes qui la composent. Un peu d’histoire Le mot algèbre vient de l’arabe. Au IXe siècle, le mathématicien Al-Khwarizmi « publie un traité, Al-kitab al-jabr w’al-muqabala (bref traité sur le calcul de réparation [al-jabr] et d’équilibre [al-muqabala]). Dans ce traité, il présente les principes pour résoudre des équations du premier et du second degré. Son ouvrage semble avoir été présenté en Europe pour la première fois, en 1202, dans le livre Liber Abaci de Léonard de Pise (Fibonacci). Le nom Al-Khwarizmi, traduit en latin, devient Algorismus ou Algorismi. Plus tard, le nom est trans- formé en nom commun, algorithme, qui signifie une suite de calculs menant à un résultat » (Conseil des écoles catholiques de langue française du Centre-Est et coll., 2003, p. 11). L’algèbre, telle qu’on la connaît, a évolué graduellement au cours des siècles. Son origine remonte probablement au mathématicien Diophante (IIIe siècle) qui cherchait à résoudre des problèmes numériques. Or, on retrouve aussi de tels problèmes dans des écrits babyloniens et égyptiens de l’Antiquité. Les mathématiciens arabes ont poursuivi l’étude de l’algèbre qui a pris la forme que l’on connaît aujourd’hui grâce à la contribution de mathématiciens euro- péens, du XIIe siècle jusqu’au XVIIIe siècle. 6 Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année Modélisation et algèbre