UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finan£na matematika - 2. stopnja (cid:131)rt Grahonja Modeliranje £asovnih vrst z GARCH modeli v R-u Magistrska naloga Mentor: izred. prof. dr. Janez Bernik Somentor: doc. dr. Dejan Velu†£ek Ljubljana, 2017 iii Zahvala Najve£ja zahvala gre mojemu mentorju, doc. dr. Dejanu Velu†£ku, ki mi je skozi †tudijska leta pomagal z nasveti in razlagami. Iskreno se zahvaljujem star†ema, ki sta izkazala veliko mero potrpljenja in spodbujanja. Zahvaljujem se tudi Andreju Mar†i£u, na katerega sem se obrnil, ko sem imel te”ave z manj†im, vendar trdovra- tnim, gra(cid:28)£nim hro†£em v svoji kodi. iv Izvle£ek Nalogapredstavljateorijoinprakti£nomodeliranjevariance£asovnihvrstzGARCH modeli v programskem okolju R. V nalogi so razlo”eni tako matemati£na osnova kot tudiprogramerskodelo, kisemgaizvedelzapotrebeprimerjanjrazli£nihnapovednih modelov. Posebej sem se pri delu osredoto£il na HMM-GARCH modele, v katerih predpostavljamo ve£ volatilnostnih re”imov. Cilj naloge je preveriti, £e in kdaj je modeliranje s speci(cid:28)£nimi volatilnostmi modeli res bolj†e kot splo†no GARCH mo- deliranje. Preverjanje se je izvedlo na umetno sestavljeni £asovni vrsti. Klju£nebesede: splo†naavtoregresivnapogojnaheteroskedasti£nost, skriti Markovski modeli, modeliranje, R Klasi(cid:28)kacija matemati£nih predmetov: 62M10, 62P05 Abstract This work presents the theory and practical modelling of GARCH models in the R program environment. In the thesis I explain the mathematical basis and my pro- gramming work, which was done for the purpose of comparing di(cid:27)erent forecasting models. I have especially focused on HMM-GARCH models, in which we assume severalregimesofvolatility. Theobjectiveofthisworkistocheckwhetherandwhen the use of speci(cid:28)c volatility models really is better compared to a general GARCH model. This was done on an arti(cid:28)cial time series. Key words: general autoregressive conditional heteroscedasticity, hidden Markov models, modelling, R. Mathematics Subject Classi(cid:28)cation: 62M10, 62P05 v vi Kazalo 1 Uvod 1 2 Modeli za napovedovanje 3 2.1 Stacionarnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Skriti Markovski modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Kratek opis osnovnih modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Metoda najmanj†ih kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Avtoregresivni model, model drse£ih sredin in ARMA . . . . . 10 2.2.3 ARCH in GARCH modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Teoreti£na osnova modelov GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Navadni GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Kombinacija osnovnih modelov za napovedovanje povpre£ja oziroma variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 GARCH s skritim Markovskim modelom (HMM-GARCH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.4 Razli£ice GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Priprava na delo v R-u 21 3.1 Paketi stats, TSA, tseries in forecast . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Paketi za modeliranje GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Paket fGarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2 Paket rugarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.3 Paketi za modeliranje HMM-jev . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Opis podatkov in izra£uni 29 4.1 Podatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1.1 Modeliranje podatkov z ARMA in GARCH modeli . . . . . . 32 4.2 Rezultati modeliranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1 Primerjava rezultatov dela na residualih . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2 Primerjava rezultatov dela na diferenciranih vrstah . . . . . . 52 5 Zaklju£ek 57 Literatura 59 Dodatek A Matrike najve£jih verjetij in AIC matrike vrst 61 A.1 Residuali vrst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.1.1 Modeliranje z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.1.2 Modeliranje z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 vii A.2 Diferencirane vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A.2.1 Modeliranje z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A.2.2 Modeliranje z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Dodatek B Gra(cid:28) optimalnih ocen σ in napovedi 71 t B.1 Gra(cid:28) modeliranj z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B.2 Gra(cid:28) modeliranj z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 B.3 Gra(cid:28) napovedi modelov z osve”evanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.4 Gra(cid:28) napovedi HMM-GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 viii Program dela V magistrskem delu predstavite modeliranje variance £asovnih vrst z GARCH mo- deli. Predstavljenih naj bo ve£ razli£nih GARCH volatilnostnih modelov, pri £emer se posebej osredoto£ite na HMM-GARCH pristop. Vse teoreti£no predstavljene mo- dele uporabite †e na konkretnih prakti£nih primerih £asovnih vrst iz podro£ja (cid:28)nanc in primerjajte ter komentirajte dobljene rezultate. ix x Poglavje 1 Uvod Vtejnalogiobravnavamsplo†no avtoregresivno pogojno heteroskedasti£nost £asovnih vrst (s kratico modeli GARCH). Take modele uporabljamo ob prisotnosti posebnih lastnostivolatilnosti£asovnihvrst,insicer,kadarvolatilnostprej†njihobdobijvpliva na trenutno. S tem pride do skupkov manj†e oziroma ve£je variance skozi ve£ ob- dobij, kar lahko uporabimo pri napovedovanju v prihodnosti. Modele uporabljamo v kombinaciji z drugimi, ki modelirajo povpre£ne vrednosti. Teoriji za GARCH in pred tem tudi za manj splo†ne ARCH modele sta razvila Engle in Bollerslev v drugi polovici prej†njega stoletja. Njune ugotovitve so zapisane v [7] in [8]. V delu opi†em tudi nekatere speci(cid:28)£nej†e modele, ki pa jih nisem uporabil pri prakti£nemu delu naloge. Taki modeli predstavljajo izbolj†ave za delo na £asovnih vrstah, ki se ne dr”ijo osnovnih predpostavk. Literaturo za take primere najdemo v [9] in [11]. Poleg dveh osnovnih GARCH modelov iz razli£nih paketov programskega okolja R primerjam tudi modele z osve”itvijo ter HMM-GARCH modele. Prvi uporabljajo osve”evanje podatkov za napovedovanje prihodnosti, s £imer pridobimo ve£jo na- tan£nost napovedi na ra£un kraj†ega napovednega obdobja. Drugi pa uporabijo posebne Markovske procese, znane pod imenom skriti Markovski modeli (HMM), za †e natanj£nej†o napoved v naslednjem obdobju. Tako kot modeli z osve”itvijo, tudi ti izrabljajo kraj†e napovedno obdobje za natan£nej†e napovedovanje. V poglavju 2 najprej povzamem dva pomembna koncepta, ki ju kasneje upora- bim pri delu, in sicer stacionarnost ter teorijo skritih Markovskih modelov. Za te je na spletu dosti £tiva; navajam le tiste, ki sem jih uporabljal za delo v nalogi: teorija je razlo”ena v virih [1], [2], [3] in na kratko povzeta v [4], [5] ter [6]. Nadaljujem s pregledom napovednih modelov, ki jih rabim za pripravo podatkov za izvajanje GARCH modeliranja. Najprej obrazlo”im uporabo linearne regresije za pridobiva- nje residualov, na katerih potem modeliram povpre£je in volatilnost. Za ta namen uporabim modele AR, MA ali skupni ARMA, ki so tudi razlo”eni v poglavju. Na hitro predstavim tudi ARCH modele, vendar se ne spu†£am v podrobnosti. Sledita dve pomembni podpoglavji. Prvo predstavlja tehni£no ozadje osnovnih GARCH modelov, drugo pa podrobneje izpostavi idejo GARCH modela z ve£ re”imi vola- tilnosti. Te predhodno modeliram s HMM procesom. Ozadje ARCH in GARCH modelovjerazlo”enov”eprejomenjeniliteraturi, ve£re”imskimodelipasoopisaniv viru [10]. Na koncu poglavja na kratko omenim ”e prej omenjene modele volatilnosti GARCH. Glavni cilj naloge je primerjava modeliranja GARCH modelov z razli£nimi pa- 1