UNIVERSIDAD DE SONORA Divisio´n de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´aticas Sobre la Ortogonalidad y algunas de sus consecuencias T E S I S que para obtener el t´ıtulo de Licenciado en Matem´aticas presenta Francisco Miguel Velarde L´opez Director de tesis: Dr. Mart´ın Gildardo Garc´ıa Alvarado Hermosillo, Sonora, M´exico Marzo de 2009 Agradecimientos Quiero agradecer a todas las personas de quienes recib´ı apoyo durante el proceso de elabroraci´on de tesis. En particular al Dr. Efra´ın Urrutia Ban˜uelos, del Departamento de Investigaci´on en F´ısica de la Universidad de Sonora, por su desinteresado apoyo, sin el que me hubiera sido muy dif´ıcil llegar a esta etapa de mi formaci´on. Tambi´en quiero agradecer a los integrantes del Comit´e Revistor de tesis, Dr. Agust´ın Grijalva M., Dr. Daniel Olmos L., M. C. Francisco Javier Parra B. y M. C. Jorge Ruperto V., por los u´tiles y enriquecedores comentarios y sugerencias sobre este trabajo. Tambi´en agradezco al director de tesis, Dr. Mart´ın Gildardo Garc´ıa Alvarado, especialmente por propiciar la libertad suficiente para desarrollar los temas desde mi particular punto de vista, pero ejerciendo siempre su autoridad como acad´emico. A mis padres, Miguel Velarde y Rosario L´opez, agradezco su paciencia y su apoyo constante e incondicional. Dedico este trabajo a Gumer. The art of doing mathematics consists in finding that special case which con- tains all the germs of generality. David Hilbert Finally, there is a most remarkable coincidence: The equations for many dif- ferent physical situations have exactly the same appearance. Of course, the symbols may be different - one letter is substituted for another- but the math- ematical form of the equations is the same. This means that having studied one subject, we immediately have a great deal of direct and precise knowledge of the equations of another. Feynman, Leighton, Sands Lectures on Physics vol. II, cap. 12. Contenido 1 Introducci´on 1 2 Conceptos preliminares 9 3 Operadores Hermitianos 17 3.1 Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Problema de Sturm-Liouville y los polinomios ortogonales . . . . . . . . . . 19 3.3 Polinomios representativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Polinomios de tipo Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Polinomios de tipo Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.3 Polinomios de tipo Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Serie de Fourier 31 4.1 Comentarios hist´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Convergencia de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1 Comentarios hist´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Aplicaciones de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.1 La ecuaci´on de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 Transformada de Fourier 49 5.1 Definiciones y resultados b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Algunas Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.1 La ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 Distribuciones 59 6.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Sucesiones delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 i 6.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Transformada de Laplace 73 7.1 Definiciones y resultados b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2 Algunas Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A Desarrollo hist´orico, matem´atico y biogr´afico 81 1 Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8 Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9 Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bibliograf´ıa 109 Cap´ıtulo 1 Introducci´on Enelpresentetrabajotrataremosdeasomarnosunpocoalaimportanciadelconcepto de ortogonalidad en el desarrollo de las matem´aticas que, como veremos, ha seguido caminos insospechados y sorprendentes en muchos casos. Veremos c´omo algunos conceptos te´oricos y herramientas (an´alisis funcional, distribu- ciones, etc.) bajo estudio se pueden aplicar a problemas de inter´es. Es un esfuerzo por presentarelconocimientoenunformatoenelquequedendemanifiestolasrelacionesentre campos aparentemente inconexos, de tal modo que resulte un tratamiento mas unificado, aunque por estas mismas conexiones y debido a la longitud del trabajo no esperamos que el material sea autocontenido, pero si esperamos que arroje luz al lector que des´ee profundizar hacia una visi´on mas global de las matem´aticas. Trataremos a las series y transformadas de Fourier como uno de los casos en que la ortogonalidad ha producido resultados con mayor fuerza, asi como las transformadas de Laplace. La geometr´ıa del espacio tridimensional en el que estamos inmersos nos resulta muy natural. Conceptos tales como distancia, longitud, ´angulo, perpendicularidad, son de uso cotidiano. En matem´aticas frecuentemente podemos agrupar ciertos objetos en espacios abstractos y definir entre ellos relaciones semejantes a las existentes entre los puntos del espacio ordinario. El paralelismo que se establece as´ı entre los espacios abstractos y el espacio euclidiano nos permite visualizar y lograr un entendimiento mas profundo de estos objetos. En algunas aplicaciones el planteamiento mas simple que puede usarse es el de espacio m´etrico. De manera informal se puede decir que un espacio m´etrico es un conjunto en el que esta definida la noci´on de distancia entre elementos del conjunto. Podemos usar la funci´on distancia, o m´etrica, para definir los conceptos fundamentales del an´alisis, tales como convergencia, continuidad y compacidad. Un espacio m´etrico no necesita tener ningunaclasedeestructuraalgebraicadefinida, esdecir, puedenotenersentidolasumade elementos del espacio o la multiplicaci´on de un elemento por un nu´mero real o complejo. 1 Sin embargo es muy frecuente el uso de espacios m´etricos que son, a su vez, espacios vectoriales, con una m´etrica derivada de una norma que mide la longitud de un vector. Tales espacios son llamados espacios normados. Una buena parte de la matem´aticas esta destinada al estudio de espacios normados de diemensi´on infinita, incluyendo los espacios de funciones, en los que “un punto” representa una funci´on (de all´ı el nombre de an´alisis funcional que recibe esta ´area de las matem´aticas). La intuici´on geom´etrica derivada de los espacios euclidianos de dimensi´on finita es esencial, aunque en espacios de dimensi´on infinita surgen caracter´ısticas completamente nuevas. En lo posible, en este trabajo las manipulaciones se har´an sobre los operadores por s´ı mismos, y no sobre las matrices que resultan despu´es de la introducci´on de un (particular y arbitrario) sistema de coordenadas. Este m´etodo invariante (libre de coordenadas) con su lenguaje fuertemente geom´etrico pos´ee ventajas formales notables. En palabras de Dirac: “las matem´aticas son el instrumento especialmente indicado para tratar conceptos abstractos de cualquier clase, y en este campo su poder no tiene l´ımites. Por esta raz´on todo libro sobre la nueva f´ısica que no sea puramente una descripci´on de trabajos experi- mentales ha de ser esencialmente matem´atico. Se necesita gran cantidad de conocimientos te´oricos para poder resolver problemas de valor pr´actico, pero este hecho es una conse- cuencia inevitable del importante papel que tiene la teor´ıa de transformaciones y que est´a destinado a acentuarse en la f´ısica te´orica del futuro. El m´etodo simb´olico considera di- rectamente y de forma abstracta las cantidades de importancia fundamental (invariantes, etc.) El m´etodo simb´olico parece atacar con m´as profundidad la naturaleza de las cosas. Nos permite expresar las leyes f´ısicas de una forma clara y concisa, y probablemente se ir´a utilizando cada vez m´as en el futuro a medida que vaya siendo mejor conocido y se vayan desarrollando las matem´aticas especiales que emplea”. ([19]) Uno de los problemas del que se ocuparon los matem´aticos del siglo XVIII es el que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibrante”. Este problema fue estudiado por D’Alembert y Euler (usando el m´etodo de propagaci´on de las ondas) y un poco mas tarde, concretamente en 1753, por Daniel Bernoulli. La soluci´on dada por este difer´ıa de la proporcionada por los anteriores y consisti´o b´asicamente en expresar la soluci´on del problema como superposici´on (en general infinita) de ondas sencillas. Las ideas de Bernoulli fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1807, en el estudio de proble- mas relacionados con la conducci´on del calor. Quedaron plasmadas por escrito en el libro cl´asico Theorie analytique de la Chaleur, publicado en 1822. Los razonamientos realiza- dos por Fourier en este libro plantearon de manera inmediata numerosas controversias y cuestiones que han tenido una influencia significativa en las matem´aticas tales como la presentaci´on actual de la teor´ıa de series de Fourier, a trav´es del espacio de funciones de cuadrado integrable, y de los problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville, que propor- cionan bases mas generales que la de Fourier. Comentamos el papel jugado en este siglo por el an´alisis funcional para situar la teor´ıa de series de Fourier en su marco abstracto: el de las bases de los espacios de Hilbert separables, obtenidas con los vectores propios de los operadores lineales, compactos y autoadjuntos. Este punto de vista abri´o el rango de aplicabilidad de los m´etodos de Fourier a campos insospechados. Los miembros de la Academia Francesa estaban convencidos de la importancia que ten´ıan los problemas relacionados con la propagaci´on del calor y, los resultados te´oricos presentados por Fourier ten´ıan una gran concordancia con diversos experimentos llevados acabopreviamente. Porestemotivo,convocaronunconcursosobreeltema. Elpremiofue otorgado a Fourier en 1812, pero a pesar de esto, los miembros de la Academia segu´ıan criticando su falta de rigor, de tal manera que, a pesar de obtener el citado premio, Fourier no consigui´o el prop´osito de publicar su trabajo en la celebre serie Memoires de la Academia Francesa. Fourier, haciendo gala de un gran tes´on, sigui´o trabajando en el tema y en 1822 public´o su famoso libroTheorie Analytique de la Chaleur, donde incorpor´o parte de su art´ıculo de 1812 pr´acticamente sin cambio. Este libro es actualmente una de las obras cl´asicas en matem´aticas. Dos an˜os mas tarde, Fourier consigui´o el cargo de Secretario de la Academia Francesa y al fin pudo publicar el mencionado art´ıculo en la serie Memoires. La historia ha dado la raz´on a Fourier, como es ahora bien sabido. Las ideas expuestas por Fourier en el libro citado plantearon de manera inmediata in- numerables interrogantes. Algunos, entre muchos, fueron los siguientes: dada una funci´on real f definida en [0,L] (o en [ L,L]), − ¿Ser´a posible encontrar coeficientes adecuados tales que se tenga el desarrollo en serie de Fourier? ¿Cuales son las expresiones concretas de tales coeficientes? ¿En que sentido se tiene la anterior convergencia? ¿Que tipos de problemas pueden resolverse usando las anteriores ideas? Las cuestiones anteriores han originado, a lo largo de casi dos siglos, gran cantidad de investigaci´on y han sido muchas las partes de la matem´aticas que se han desarrollado a partir de ellas. Comentar, incluso solo las m´as significativas, ser´ıa demasiado largo. Sin embargo, no nos resistimos a mencionar algunas de las que ma´s nos han llamado la atenci´on. Las nociones de continuidad y diferenciabilidad de una funci´on real de variable real est´an hoy en d´ıa perfectamente establecidas. Durante bastante tiempo se estuvo con- vencido de que cualquier funci´on continua deb´ıa ser derivable, excepto posiblemente en conjuntos “aislados” de puntos. Pero, ¿en cu´antos puntos puede una funci´on continua no ser derivable? La respuesta a esta pregunta estuvo relacionada desde el principio con la siguiente cuesti´on sobre series de Fourier: ¿En cu´antos puntos puede no converger la serie de Fourier de una funci´on continua dada? De hecho, despu´es de la publicaci´on, en 1822, del libro de Fourier, Dirichlet se ocupo durante varios an˜os del problema de la con- vergencia de las series de Fourier, dando, por primera vez de forma rigurosa, un conjunto ¨ de hip´otesis para garantizar la convergencia de las mismas (Jour. fAur Math., 4, 1829, 157-69). Este conjunto de hip´otesis inclu´ıa la continuidad. Durante, aproximadamente, los cincuenta an˜os siguientes, se pens´o que la continuidad de la funci´on deber´ıa ser su- ficiente para la convergencia de su serie de Fourier. Sin embargo, algunos matem´aticos sospechaban que ello no deb´ıa ser as´ı y todo ello motiv´o el estudio de funciones “raras” en el sentido de que tales funciones fuesen continuas, pero no derivables “en el m´aximo nu´mero de puntos posibles”. ¨ Weierstrass (Jour. fAur Math., 79, 1875, 21-37), estudiando el tipo de funciones que pod´ıan representarse o desarrollarse en serie de Fourier, present´o en 1872 un ejemplo sorprendente a la Real Academia de Ciencias de Berlin de una funci´on real, de variable real, continua en cualquier punto y derivable en ninguno. Concretamente, el ejemplo de Weierstrass est´a dado por la funci´on f(x) = ∞ bncos(anπx) n=0 P 3π donde 0 < b < 1, y a es cualquier entero impar tal que ab > 1+ . 2 Puede pensarse que el tipo de funciones anteriores es excepcional. Nada m´as lejos de la realidad. El an´alisis funcional permite probar que las situaciones anteriores son las que usualmente cabe esperar, aunque no encontrar. La herramienta clave para entenderlo es lo que se conoce con el nombre de Teorema de la Categor´ıa de Baire. En lo que respecta ¨ a las series de Fourier de funciones continuas, Du Bois- Reymond (Nachrichten KAonig, ¨ Ges. der Wiss. zu GAott., 1873, 571- 82), dio, en 1873, un ejemplo de una funci´on continua cuya serie de Fourier no converg´ıa en un punto particular. Es m´as, construy´o un ejemplo de una funci´on continua tal que su serie de Fourier no converg´ıa en un conjunto denso de puntos. ¿En cuantos puntos puede no converger la serie de Fourier de una funci´on continua? Hubo que esperar hasta 1966, an˜o en que Charleston demostr´o que se da la convergencia salvo posiblemente en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Para redondear el tema, Kahane y Katznelson probaron, tambi´en en 1966, que dado cualquier conjunto A de medida nula existe una funci´on continua cuya serie de Fourier diverge en cada punto de A. La teor´ıa de conjuntos de Cantor, base y fundamento de lo que se conoce con el nombre de Matem´atica Moderna, estuvo en buena parte motivada por el estudio de los puntos de convergencia o divergencia de las series trigonom´etricas. Fue este problema lo que llevo a Cantor a definir algunas de las primeras nociones de topolog´ıa conjuntista, como las de conjunto cerrado y punto de acumulaci´on. En efecto, cuando Cantor comenz´o a trabajar en la Universidad de Halle, otro colega, Heine, estaba interesado en aquella ´epoca en la cuesti´on de la unicidad de la representaci´on de una funci´on dada en serie trigonom´etrica. Mas concretamente, si suponemos que la serie de Fourier es convergente, en todos los puntos del intervalo [ L,L] a una funci´on f(x), la cuesti´on era: ¿sera u´nica la − representaci´on de f en serie trigonom´etrica? La respuesta afirmativa a´esto es equivalente al hecho de que si la serie trigonom´etrica es convergente a cero en todos los puntos de ¨ [ L,L], entonces todos los coeficientes deben ser cero. Cantor prob´o (Jour. fAur Math., − 72, 1870, 139-42) que ello era as´ı y que incluso, se puede renunciar a la convergencia de la serie en un conjunto finito de puntos. La pregunta que Cantor se hizo a continuaci´on era obvia: ¿en cuantos puntos podemos renunciar a la convergencia de la serie dada y sin embargo seguir teniendo el mismo resultado de unicidad? Este problema sigue sin resolverse hoy en d´ıa en toda su generalidad, a pesar de que se han realizado numerosos estudios sobre ello, comenzando por varios de Cantor, el primero fechado en 1871 (Jour. ¨ fAur Math., 73, 1871, 294-6). En este trabajo Cantor demostr´o que el conjunto de puntos excepcionales, es decir, aquellos donde no se tiene necesariamente convergencia de la serie trigonom´etrica, puede estar formado por una cantidad infinita de elementos, siempre que tal conjunto sea “de orden finito”. Riemann tambi´en se interes´o en el tema de las series trigonom´etricas. Dec´ıa que era importante, al menos para los matem´aticos, aunque no necesariamente para las aplica- ciones f´ısicas, establecer las condiciones mas amplias posibles bajos las cuales una funci´on se puede expresar como una serie de Fourier. Introdujo as´ı lo que llamamos hoy en d´ıa integral de Riemann, cuya idea b´asica es suponer s´olo la acotaci´on de la funci´on f (no necesariamente continua) y establecer condiciones lo mas generales posibles para que las sumas (hoy conocidas como de Riemann) tengan un u´nico limite, cuando las longitudes de todos los subintervalos de la partici´on considerada tienden a cero. Esto le permiti´o integrar funciones con un numero infinito de discontinuidades. El punto de partida, res- pecto de la noci´on de integral de Riemann era medir, de alguna forma, el conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on dada. No obstante, hay subconjuntos de medida nula que no son numerables. En la actualidad la teor´ıa de series de Fourier puede presentarse usando los conceptos y m´etodos del an´alisis funcional. Ello permite, por una parte, comprender mejor los m´etodos de Fourier; por otra, se consigue, sin apenas esfuerzo, una gran generalidad. Es ciertamente satisfactoria la estructura algebraico-topol´ogica de L2( L,L). Sin em- − bargo, este espacio encierra muchos misterios. Por ejemplo, ¿Qu´e significado tiene la convergencia en el espacio L2( L,L)? ¿Qu´e relaci´on tiene con la convergencia puntual o − uniforme? La respuesta se pone de manifiesto en lo siguiente, que indica, que, al menos, se ha de ser precavido: convergencia en L2 no implica convergencia uniforme. Otros es- pacios de Hilbert que conocemos, como el espacio Euclidiano Rn, deben gran parte de sus propiedades al hecho de que tienen una base. Adem´as, tal base puede elegirse siempre ortonormal. Esto facilita much´ısimo su estudio, as´ı como el de ciertas clases de funciones definidas entre estos espacios (por ejemplo, las funciones lineales u homomorfismos) . La pregunta que l´ogicamente cabe hacerse es la siguiente: ¿Tendr´a L2( L,L) una − base? Esto origina, a su vez, otras cuestiones tales como: ¿Cual ser´ıa una definici´on “ade- cuada” de base en L2( L,L)? ¿Cu´antas bases hay (si es que las hay) en L2( L,L)? ¿Qu´e − − ventajas tiene la utilizaci´on del concepto de base?, etc. Para responder a las cuestiones anteriores, conviene que pensemos en los espacios de Hilbert que conocemos: R R2, R3, etc. En R, una base esta formada por un elemento no nulo (dicho elemento forma trivial- mente un subconjunto ortogonal de R.) En R2, una base esta formada por un subconjunto