ll" >:::OOllVnr - H" llOHHINS WI V WV~HWVL.Il)V.l R. COURANT - H. ROBBINS MI A MATEMATIKA? tÓ, , • GONDOLAT KÖNYVKIADÓ . BUDAPEST, 1966 A mű eredeti cime: R. Courant-H. Robbins: WHAT IS MATHEMATICS? © Richard Courant, New York, 1941 Fordította: VEKERDI LÁSZLÓ A fordítást ellenőrizte: LUKÁCS ERNŐNÉ Tartalomjegyzék Az első kiadás előszava .............................................••.. ~.::.. 13 A második, harmadik és negyedik kiadás előszava ............................ 15 Hogyan használjuk ezt a könyvet 16 Mi a matematika? 17 I. fejezet A természetes számok 23 Bevezetés . 23 1.§Számolás egész számokkal .....•....................................... 24 1.Az aritmetika törvényei , . 24 2. Pozitív egész számok jelölése . 26 3. Számolás nem tízes számrendszerekben . 29 2.§ A számrendszer végtelen voltáról. A matematikai indukció . 31 1.A matematikai indukció elve . 31 2. Számtani sor . 34 3. Geometriai sor . 35 4. Az első negész szám négyzetének összege . 36 5. Egy fontos egyenlőtlenség . 37 6. A binomiális tétel . 38 7. További megjegyzések a matematikai indukcióról : . 40 Kiegészítés az I. fejezethez Számelmélet . 42 Bevezetés ~. 42 1.§ Prímszámok . 42 1.Alapvető tények . 42 2. A prímszámok eloszlása : . 46 a) Prímszámokat előállító képletek . 46 b) Prímszámok a számtani sorokban . 47 c) A prímszámtétel . 48 d) Két, prímszámokra vonatkozó megoldatlan probléma . 51 2.§ Kongruenciák -: . 52 1.Alapfogalmak . 52 2. A kis Fermat-tétel . 57 3. Kvadratikus maradékok 58 5 3.§Püthagoraszi számok és Fermat elveszett tétele (a "nagy Fermát-tétel") ...... 60 4.§ Euklidészi algoritmus 62 1.Általános elmélet ................................................ 62 2. Az aritmetika alaptételének alkalmazása 66 3. Az Euler-féle q:>-függvény.Újból a kis Fermat-tétel ................... 67 4. Lánctörtek. Diophantoszi egyenletek ............................... 68 II. fejezet A"matematika számrendszere Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72 1.§ A racionális számok 12 1.Racionális számok mint a mérés eszközei '......... 12 2. A racionális számok elméleti szükségessége. Az általánosítás elve 74 3. Racionális számok geometriai értelmezése ..... '........................ 17 2.§ Inkommenzurábilis szakaszok, irracionális számok, határérték 78 1.Bevezetés ,.................................... 78 2. Tizedes törtek. Végtelen tizedes törtek 80 3. Határérték. Végtelen geometriai sorok 83 4. Racionális számok és szakaszos tizedes törtek ........................ 86 5.Irracionális számok általános definíciója intervallumskatulyázással ..... 88 6. Más módszerek irracionális számok definiálására. Dedekind-szelet 90 3.§ Néhány megjegyzés az analitikus geometriával kapcsolatban .. ............ 92 1.Alapelvek 92 2. Az egyenes egyenlete. Görbék egyenletei .. ............................. 93 4.§ A végtelen matematikai analizise 96 1.Alapfogalmak :.............................. 96 2. A racionális számok megszámlálhatósága és akontinuum nemmegszárnlálha- tósága............................................................. 98 3.A Cantor-féle "számosságok" ......... . 102 4. Az indirekt bizonyítás 104 5. A végtelen paradoxonai 105 6. A matematika alapjai ........•..................................... 106 5. § Komplex számok ,'107 1.A komplex számok eredete 107 2. A komplex számok geometriai szemléltetése 110 3. A de Moivre-képlet és az egységgyökök 115 4. Az algebra alaptétele 118 6. § Algebrai és transzcendes számok 120 1.Definíciójuk és létezésük 120 2. Liouville tétele és transzcendens számok előállítása 121 Kiegészítés l.II. fejezethez A halmazalgebra elemei 126 1. Általános elmélet 126 6 2. A halmazalgebra alkalmazása a matematikai logikában 130 3. A halmazalgebra alkalmazásáról a valószínűségszámításban 132 III. fejezet Geometriai szerkesztések. Számtestek algebrája 135 Bevezetés 135 I. rész A megoldhatatlan ság bizonyítása és az algebra .................................... 138 1.§ Alapvető geometriai szerkesztések 138 1.A négy alaprnűvelet és a gyökvonás mint szerkesztések 138 2. Szabályos sokszögek 140 3. Az Apollóniosz-féle feladat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142 - 2. § Megszerkeszthető számok és számtestek 144 1.Általános elmélet 144 2. Minden megszerkeszthető szám algebrai szám 150 3.§ A három görög probléma megoldhatatlansága 151 1.A kocka megkettőzése 151 2. Egy harmadfokú egyenletekre vonatkozó tétel ...............•......... 153 3.A szög harmadolása 154 4. A szabályos hétszög ............... 156 5. Néhány megjegyzés a kör négyszögesítéséről ,....... 157 II. rész Különféle szerkesztési módszerek 157 4.§ Geometriai transzformációk. Az inverzió 157 1.Általános megjegyzések. ............................................ 157 2. Az inverzió tulajdonságai " 159 3. Inverz pontok geometriai megszerkesztése 160 4. Vonalszakasz megfelezése és a kör középpontjának meghatározása pusztán körző használatával ...............................................• 162 5.§ Egyéb segédeszközöket használó szerkesztések. Mascheroni-féle szerkesztések pusztán körző használatával " ., 163 1.A kocka megkettőzésének klasszikus szerkesztési módja 163 2. A körző geometriája 164 3. Rajzolás mechanikus eszközökkel. Mechanikus görbék. Cikloisok 168 4. Csuklós szerkezetek. Peaucellier-féle és Hart-féle invezorok .............. 170 6. § Az inverzió néhány sajátsága és alkalmazása ............................. 173 1.Szögállandóság. Körseregek 173 2. Alkalmazás az Apollóniosz-féle feladatok megoldására 176 3. Többszörös tükrözések ................... 177 IV. fejezet Projektív geometria. Axiomatika. Nem-euklidészi geometriák 180 1.§ Bevezetés 180 1.Geometriai tulajdonságok osztályozása. Transzformációk invariánsai 180 2. Projektív transzformációk _.. 182 7 2. §Alapfogalmak 183 1.A projektív transzformációk csoportja 183 2. Desargues tétele .................................................. 185 3. § Kettősviszony ....................................................... 187 1.A kettősviszony definíciója és invariáns voltának bizonyítása 187 2. A teljes négyoldal 193 4. § Párhuzamosság és végtelen 194 1. Végtelen távoli pontok mint "ideális pontok" 194 2. Ideális elemek és projekció 197 3. Kettősviszony végtelen távoli elemekkel 199 5. § Alkalmazások 199 l. Előzetes megjegyzések 199 2. A síkbeli Desargues-tétel bizonyítása 201 3. Pascal tétele 202 4. Brianchon tétele ..... 203 5. A dualitás elvéről 204 6. §Analitikus előállítási mód 205 1.Bevezető megjegyzések 205 2. Homogén koordináták. A dualitás algebrai alapja 206 7. § Vonalzó használatával megszerkeszthető feladatok 209 8. § Kúpszeletek és másodrendű felületek 211 1. Kúpszeletek elemi metrikus geometriája ............................. 211 2. Kúpszeletek projektív tulajdonságai 214 3. Kúpszelet mint burkológörbe 217 4. A kúpszeletekre vonatkozó általános Pascal- és Brianchon-féle tételek ..... 221 5. A hiperboloid 223 9. § Axiomatika és nem-euklidészi geometria 224 1.Az axiomatikus módszer 224 2. Hiperbolikus nem-euklidészi geometria ................................ 228 3. Geometria és valóság 232 4. A Poincaré-féle modell .............................................. 233 5. Elliptikus vagy Riemann-féle geometria 234 Függelék Több dimenziós terek geometriája 236 1. Bevezetés 236 2. Analitikus eljárás 236 3. Geometriai vagy kombinatorikus eljárás ............................. 239 V. fejezet Topológia 243 Bevezetés 243 1. § Euler poliéder tétele 244 2. § Az alakzatok topologikus tulajdonságai ................................ 248 l. Topologikus tulajdonságok 248 2. Összefüggés 250 3.§ További példák topológiai tételekre 251 1.Jordan-féle síkgörbetétel 251 2. A négyszínprobléma 252 3. A dimenzió fogalma 254 4. Egy fixponttétel .............................................. 257 5. Csomók 260 4. § Felületek topológiai osztályozása 261 1.A felületek nemszáma 261 2. A felület Euler-féle karakterisztikája ............................ 263 3. Egyoldalú felületek 264 Függelék 1.Az ötszíntétel ............................................ 268 2. A Jordan-tétel sokszögek esetében .. .................................. 270 3. Az algebra alaptétele 272 VI. fejezet Függvény és határérték. ........................................................ 275 Bevezetés 275 1.§ Változók és függvények 276 1.Definiciók és példák 276 2. Az ívmérték . 280 3. A függvény grafikus ábrázolása. Inverz függvény . 281 4. Összetett függvények . 284 5. Folytonosság . 285 6. Több változós függvények . 287 7. Függvény és transzformáció 290 2. § Határérték 291 1.Az an sorozat határértéke 291 2. Monoton sorozatok 296 3. Az Euler-féle eszám 298 4. A :rt szám 300· 5. Lánctörtek 302 3. § Függvény határértéke folytonos megközelítéssel 305 1.Bevezetés. Általános definíció 305 2. Megjegyzések a határérték fogalmáról 306 3.A sin x sin határértéke 308 x 4. Határérték, ha x->- ee ••.••.••..•• :.••••••..•••••.••••.•••••••..•••• 310 4. § A folytonosság pontos definíciója 311 5.§ A folytonos függvények elméletének két alapvető tétele 314 1.Bolzano tétele 314 2. Bolzano tételének bizonyítása 314 3. Weierstrass tétele szélső értékek létezéséről 315 4. Egy sorozatokra vonatkozó tétel. Zárt halmazok 317 ,6.§ Bolzano tételének néhány alkalmazása. .................................. 318 1. Geometriai alkalmazások 318 2. Egy mechanikai probléma 321 Kiegészítés a VI. fejezethez További példák a határértékre és a folytonesságra 323 1.§ Példák ahatárértékre 323 1.Általános megjegyzések 323 2. q" határértéke 323 yp 3. határértéke 324 4. A szakadásos függvények mint folytonos függvények határértéke ......... 326 5. Határérték kiszámítása iterációval 327 2. § Példa a folytonosságrá 328 VII. fejezet Szélső értékek. ................................................................ 330 Bevezetés 330 1.* Elemi geometriai feladatok , 331 1.Háromszög maximális területe, ha a háromszög két oldala adott 331 2. Héron-tétele. A fénysugarak szélső érték tulajdonsága 331 3. A Héron-tétel alkalmazása háromszög-feladato kra 333 4. Az ellipszis és hiperbola érintési tulajdonságai. Megfelelő szélső érték tulaj- donságok .... .................................................... 333 5. Adott görbék extrém távelságai .................................... 336 2. § Szélső érték problémák egyik általános alapelve 338 1. Az elv , 338 2. Példák 339 3.§ Stacionárius pontok és a differenciálszámítás 341 1.Szélső értékek és stacionárius pontok 341 2. Több változós függvények maximuma és minimuma. Nyeregpontok 342 3. Minimax pontok és a topológia 344 4. A pont távolsága egy felülettől 345 4. § A Schwarz-féle háromszögprobléma 345 1. Schwarz bizonyítása 345 2. Másik bizonyítás 347 3. Tompaszögű háromszög ........................................... 349 4. Háromszögek fénysugarakból 350 5. Néhány megjegyzés tükrözési problémákról és ergodikus mozgásról 351 5. § Steiner-féle probléma 352 1. A probléma megoldása 352 2. A két lehetőség elemzése ............................................ 353 3. Egy komplementer probléma 355 4. Megjegyzések ésfeladatok 356 5. Általánosítás úthálózat-probléma esetére 356 10