(cid:48)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3) (cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:91)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92) (cid:48)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3) (cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:91)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92) (cid:36)(cid:17)(cid:44)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:72)(cid:83)(cid:68)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:86) (cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:19)(cid:3)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:3)(cid:23)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:26) (cid:139)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:24)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:15)(cid:3)(cid:47)(cid:72)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:86)(cid:17) (cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:83)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:80)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:70)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3) (cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:82)(cid:73)(cid:73)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:54)(cid:51) (cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:17)(cid:44)(cid:17)(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86) (cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)(cid:49)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:92)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:3) (cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:86)(cid:92)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:15) (cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:90)(cid:76)(cid:86)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:88)(cid:87)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:17) (cid:36)(cid:88)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:93)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:3)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3) (cid:87)(cid:75)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:72)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:86)(cid:72)(cid:90)(cid:82)(cid:82)(cid:71)(cid:3) (cid:39)(cid:85)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:28)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:81)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:36)(cid:3)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:21)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:17) Contents PREFACE xi PART I 1. REGULARITYOFLINEARMETHODSOFSUMMATION OFFOURIERSERIES 1 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nikol’skiiandNagyTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. LebesgueConstantsofClassicalLinearMethods . . . . . . . . . . . 15 4. LowerBoundsforLebesgueConstants . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. LinearMethodsDeterminedbyRectangularMatrices . . . . . . . . . 23 6. EstimatesforIntegralsofModuliofFunctionsDefinedbyCosineand SineSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7. AsymptoticEqualityforIntegralsofModuliofFunctionsDefinedby TrigonometricSeries. TelyakovskiiTheorem . . . . . . . . . . . 43 8. CorollariesofTheorem7.1. RegularityofLinearMethods ofSummationofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2. SATURATIONOFLINEARMETHODS 79 1. StatementoftheProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2. SufficientConditionsforSaturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. SaturationClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4. CriterionforUniformBoundednessofMultipliers . . . . . . . . . . . 90 5. SaturationofClassicalLinearMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. CLASSESOFPERIODICFUNCTIONS 101 1. SetsofSummableFunctions. ModuliofContinuity . . . . . . . . . . 101 2. Classes H [a,b] and H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ω ω 3. ModuliofContinuityinSpaces L . Classes H . . . . . . . . . . 110 p ωp v vi Contents 4. ClassesofDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. ConjugateFunctionsandTheirClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6. Weyl–NagyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7. Classes LψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 β 8. Classes CψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 β 9. Classes LψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ¯ β 10. OrderRelationfor (ψ,β¯)-Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 11. ψ¯-IntegralsofPeriodicFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12. Sets M0,M∞, and MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13. Set F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14. TwoCounterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 15. Function η (t) andSetsDefinedbyIt . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 a 16. Sets B and M0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4. INTEGRALREPRESENTATIONSOFDEVIATIONS OFPOLYNOMIALSGENERATEDBYLINEARPROCESSES OFSUMMATIONOFFOURIERSERIES 165 1. FirstIntegralRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2. SecondIntegralRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 ¯ 3. RepresentationofDeviationsofFourierSumsonSets CψM ¯ and Lψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5. APPROXIMATIONBYFOURIERSUMSINSPACES C AND L1 187 1. SimplestExtremalProblemsinSpace C . . . . . . . . . . . . . . . 189 2. SimplestExtremalProblemsinSpace L1 . . . . . . . . . . . . . . . 198 3. ApproximationsofFunctionsofSmallSmoothness byFourierSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4. AuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 (cid:3) 5. ProofsofTheorems3.1–3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6. ApproximationbyFourierSumsonClasses H . . . . . . . . . . . 235 ω 7. ApproximationbyFourierSumsonClasses H˜ . . . . . . . . . . . 239 ω (cid:3) 8. AnalogsofTheorems3.1–3.3 inIntegralMetric . . . . . . . . . . . 243 9. AnalogsofTheorems6.1and7.1inIntegralMetric . . . . . . . . . . 252 10. ApproximationsofFunctionsofHighSmoothnessbyFourier SumsinUniformMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11. AuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 (cid:3) 12. ProofsofTheorems10.1–10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Contents vii (cid:3) 13. AnalogsofTheorems10.1–10.3 inIntegralMetric . . . . . . . . . . 278 14. RemarksontheSolutionofKolmogorov–Nikol’skiiProblem . . . . . 279 15. Approximation of ψ¯-Integrals That Generate Entire Functions by FourierSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 16. ApproximationofPoissonIntegralsbyFourierSums . . . . . . . . . 294 17. CorollariesofTelyakovskiiTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 18. SolutionofKolmogorov–Nikol’skiiProblemforPoissonIntegralsof ContinuousFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 19. LebesgueInequalitiesforPoissonIntegrals . . . . . . . . . . . . . . 338 20. ApproximationbyFourierSumsonClassesofAnalyticFunctions . . 345 21. ConvergenceRateofGroupofDeviations . . . . . . . . . . . . . . . 363 22. CorollariesofTheorems21.1and21.2. OrdersofBestApproximations374 23. Analogs of Theorems 21.1 and 21.2 and Best Approximations in In- tegralMetric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 24. StrongSummabilityofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 BIBLIOGRAPHICALNOTES(PartI) 393 REFERENCES(PartI) 399 PART II 6. CONVERGENCERATEOFFOURIERSERIES ANDTHEBESTAPPROXIMATIONSINTHESPACES Lp 429 0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 1. ApproximationsintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 2. DirectandInverseTheoremsintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . 437 3. ExtensiontotheCaseofCompleteOrthonormalSystems . . . . . . . 439 4. JacksonInequalitiesintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 5. Marcinkiewicz,Riesz,andHardy–LittlewoodTheorems . . . . . . . 448 ¯ 6. ImbeddingTheoremsfortheSets LψL . . . . . . . . . . . . . . . . 452 p ¯ 7. ApproximationsofFunctionsfromtheSets LψL byFourier p Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8. BestApproximationsofInfinitelyDifferentiableFunctions . . . . . . 466 9. JacksonInequalitiesintheSpaces C and L . . . . . . . . . . . . . 481 p 7. BESTAPPROXIMATIONSINTHESPACES C AND L 489 1. ChebyshevanddelaValle´ePoussinTheorems . . . . . . . . . . . . . 490 2. PolynomialoftheBestApproximationintheSpace L . . . . . . . . 492 3. GeneralFactsontheApproximationsofClassesofConvolutions . . . 495 viii Contents 4. OrdersoftheBestApproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 5. ExactValuesoftheUpperBoundsofBestApproximations . . . . . . 510 6. Dzyadyk–Stechkin–XiungYungshenTheorem. Korneichuk Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 7. SerdyukTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 8. BernsteinInequalitiesforPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 9. InverseTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 8. INTERPOLATION 553 1. InterpolationTrigonometricPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 553 2. LebesgueConstantsandNikol’skiiTheorems . . . . . . . . . . . . . 557 3. ApproximationbyInterpolationPolynomialsintheClasses ofInfinitelyDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . 560 4. ApproximationbyInterpolationPolynomialsontheClassesof AnalyticFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 5. SummableAnalogoftheFavardMethod . . . . . . . . . . . . . . . . 586 9. APPROXIMATIONSINTHESPACESOFLOCALLY SUMMABLEFUNCTIONS 597 1. Spaces Lˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 p 2. OrderRelationfor (ψ,β)-Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 3. ApproximatingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 4. GeneralEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 5. OntheFunctions ψ(·) SpecifyingtheSets Lˆψ . . . . . . . . . . . . 624 β 6. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = σ−h and h > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 7. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = θσ, 0 ≤ θ ≤ 1, and ψ ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 c 8. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = 2σ−η(σ) and ψ ∈ A∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 9. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆc(t,0)(cid:2)1 for c = θσ, 0 ≤ θ < 1, σ and ψ ∈ A0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 10. EstimatesoftheQuantities (cid:2)δˆσ,c(t,β)(cid:2)1 . . . . . . . . . . . . . . . 636 11. BasicResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 12. UpperBoundsoftheDeviations ρ (f;·) intheClasses Cˆψ σ β,∞ and CˆψH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 β ω 13. SomeRemarksontheApproximationofFunctionsofHigh Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 Contents ix 14. StrongMeansofDeviationsoftheOperators F (f;x) . . . . . . . . 668 σ 10.APPROXIMATIONOFCAUCHY-TYPEINTEGRALS 679 1. DefinitionsandAuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 2. Setsof ψ-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 3. ApproximationofFunctionsfromtheClasses Cψ(T)+ . . . . . . . . 702 4. LandauConstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 5. AsymptoticEqualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 6. Lebesgue–LandauInequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 7. ApproximationofCauchy-TypeIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . 727 11.APPROXIMATIONSINTHESPACES Sp 741 1. Spaces Sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 ϕ 2. ψ-IntegralsandCharacteristicSequences . . . . . . . . . . . . . . . 745 3. BestApproximationsandWidthsof p-Ellipsoids . . . . . . . . . . . 747 4. ApproximationsofIndividualElementsfromtheSets ψSp . . . . . . 750 ϕ 5. Best n-TermApproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 6. Best n-TermApproximations (q > p) . . . . . . . . . . . . . . . . 771 7. ProofofLemma6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 8. BestApproximationsby q-EllipsoidsintheSpaces Sp . . . . . . . . 808 ϕ 9. ApplicationofObtainedResultstoProblemsofApproximation ofPeriodicFunctionsofManyVariables . . . . . . . . . . . . . . 811 10. Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 11. TheoremsofJacksonandBernsteinintheSpaces Sp . . . . . . . . . 822 12.APPROXIMATIONSBYZYGMUNDAND DELAVALLE´EPOUSSINSUMS 847 1. Feje´rSums: SurveyofKnownResults . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 2. RieszSums: ASurveyofAvailableResults . . . . . . . . . . . . . . 860 3. ZygmundSums: ASurveyofAvailableResults . . . . . . . . . . . . 863 4. ZygmundSumsontheClasses Cψ . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 β,∞ 5. DelaValle´ePoussinSumsontheClasses Wr and WrH . . . . . 871 β β ω 6. DelaValle´ePoussinSumsontheClasses CψN and Cψ¯N . . . . . 877 β BIBLIOGRAPHICALNOTES(PartII) 881 REFERENCES(PartII) 885 Index 917