Contents Chapter 1: Preliminaries 1 1.1 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Concepts of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Almost sure (a.s.) convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Convergence in Lq-norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Convergence in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Time Series Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Dependent and Identically Distributed Observations . . . . . 14 1.4.2 Dependent and Heterogeneously Distributed Observations . 15 1.4.3 Martingale Difference Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Central Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Dependent and Identically Distributed Observations . . . . . 17 1.5.2 Dependent Heterogeneously Distributed Observations. . . . 18 1.5.3 Martingale Difference Observations . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Elements of Spectral Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chapter 2: DSGE Models, Solutions and Approximations 27 2.1 Few useful models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 A basic Real Business Cycle (RBC) Model . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Heterogeneous agent models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Monetary Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Approximation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1 Quadratic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 Discretization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3 Log linear Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.4 Second order approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.5 Parametrizing expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.6 A Comparison of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 i ii Chapter 3: Extracting and Measuring Cyclical Information 67 3.1 Statistical Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.1 Traditional methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2 Beveridge-Nelson (BN) decomposition . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.3 Unobservable Components (UC) decompositions . . . . . . . 72 3.1.4 Regime shifting decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2 Hybrid Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.1 The Hodrick and Prescott (HP) Filter . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.2 Exponential smoothing (ES) filter. . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.3 Moving average (MA) filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2.4 Band Pass (BP) filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 Economic Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3.1 Blanchard and Quah (BQ) Decomposition . . . . . . . . . . . 95 3.3.2 King, Plosser Stock and Watson (KPSW) Decomposition . 97 3.4 Time Aggregation and Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5 Collecting Cyclical Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Chapter 4: VAR Models 105 4.1 The Wold theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Specification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.1 Lag Length 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.2 Lag Length 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.3 Nonlinearities and nonnormalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.4 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.5 Breaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3 Moments and parameter estimation of a VAR(q) . . . . . . . . . . . 119 4.3.1 Companion form representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2 Simultaneous equations format . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Reporting VAR results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.1 Impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.2 Variance decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.3 Historical decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4.4 Distribution of Impulse Responses . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4.5 Generalized Impulse Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.1 Stationary VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.2 Nonstationary VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.5.3 Alternative identification schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.6 Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.7 Validating DSGE models with VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 iii Chapter 5: GMM and Simulation Estimators 157 5.1 Generalized Method of Moment and other standard estimators . . 158 5.2 IV estimation in a linear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.3 GMM Estimation: An overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3.1 Asymptotics of GMM estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.2 Estimating the Covariance Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3.3 Optimizing the Asymptotic covariance matrix . . . . . . . . . 174 5.3.4 Sequential GMM Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.5 Two-Step Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.6 Hypotheses Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.4 GMM estimation of DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.4.1 Some Applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.5 Simulation Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.5.1 The General Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.5.2 Simulated Method of Moments Estimator . . . . . . . . . . . 191 5.5.3 Simulated Quasi-Maximum Likelihood/ Indirect Inference . 192 5.5.4 Matching impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Chapter 6: Likelihood methods 201 6.1 The Kalman filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2 The Prediction error decomposition of likelihood . . . . . . . . . . . 209 6.2.1 Some Asymptotics of ML estimators . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.3 Numerical tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.4 ML estimation of DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.5 Two examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.5.1 Does monetary policy react to technolocy shocks? . . . . . . 227 6.5.2 Does fiscal policy help to stabilize the cycle? . . . . . . . . . . 233 Chapter 7: Calibration 235 7.1 A Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.2 The Uncontroversial parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.3 Choosing parameters and stochastic processes . . . . . . . . . . . . . 239 7.4 Model Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.4.1 Watson’s R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.4.2 Measure of fit based on simulation variability . . . . . . . . . 253 7.4.3 Measures of fit based on sampling variability . . . . . . . . . 256 7.4.4 Measures of fit based on sampling and simulation variability 259 7.5 The sensitivity of the measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.6 Savings, Investments and Tax cuts: an example . . . . . . . . . . . . 268 iv Chapter 8: Dynamic Macro Panels 273 8.1 From economic theory to dynamic panels . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.2 Panels with Homogeneous dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.2.1 Pitfalls of standard methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.2.2 The Correct approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.2.3 Restricted models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.2.4 Recovering the individual effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.2.5 Some practical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3 Dynamic heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 8.3.1 Average time series estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8.3.2 Pooled estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.3.3 Aggregate time series estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.3.4 Average Cross sectional Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.3.5 Testing for dynamic heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . 297 8.4 To Pool or not to Pool? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8.4.1 What goes wrong with two-step regressions? . . . . . . . . . . 302 8.5 Is Money superneutral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Chapter 9: Introduction to Bayesian Methods 309 9.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.1.1 Bayes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.1.2 Prior Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.2 Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.3 Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.3.1 Inference with Multiple Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.3.2 Normal Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.3.3 Testing hypotheses/relative fit of different models . . . . . . 325 9.3.4 Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.4 Hierarchical and Empirical Bayes models . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.4.1 Empirical Bayes methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 9.4.2 Meta analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 9.5 Posterior simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9.5.1 Normal posterior analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9.5.2 Basic Posterior Simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.5.3 Markov Chain Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . 340 9.6 Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 9.7 Estimating Returns to scale: Spain (1979-1999) . . . . . . . . . . . . 352 Chapter 10: Bayesian VARs 355 10.1 The Likelihood function of an m variable VAR(q) . . . . . . . . . . 356 10.2 Priors for VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10.2.1 Least square under uncertain restrictions . . . . . . . . . . . . 358 10.2.2 The Minnesota prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 v 10.2.3 Adding other prior restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 10.2.4 Some Applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.2.5 Priors derived from DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . 366 10.2.6 Probability distributions for forecasts: Fan Charts . . . . . . 370 10.3 Structural BVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 10.4 Time Varying Coefficients BVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 10.4.1 Minnesota style prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.4.2 Hierarchical prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 10.5 Panel VAR models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 10.5.1 Univariate dynamic panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10.5.2 Endogenous grouping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 10.5.3 Panel VARs with interdependencies . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.5.4 Indicators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.5.5 Impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Chapter 11: Bayesian time series and DSGE models 399 11.1 Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 11.1.1 Arbitrage Pricing (APT) Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 11.1.2 Conditional Capital Asset Pricing models (CAPM) . . . . . 406 11.2 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 11.3 Markov switching models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.3.1 A more complicated structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.3.2 A General Markov switching specification . . . . . . . . . . . 418 11.4 Bayesian DSGE Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 11.4.1 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 11.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 11.4.3 A few applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 11.4.4 Comparing the quality of models to the data . . . . . . . . . 433 11.4.5 DSGEs and VARs, once again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 11.4.6 Non linear specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 11.4.7 Which approach to use? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Appendix 443 vi List of Figures 1.1 Short and long cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Cyclical weights and gain function, HP filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 Gain functions, HP and ES filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 ACF of the cyclical component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Gain: symmetric and asymmetric MA and HP filters . . . . . . . . . . . . . 89 3.5 Gain, ideal and approximate BP filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6 Monthly and Quarterly spectrum, simulated data and IP growth . . . . . . 99 4.1 Non fundamental technological progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2 Bootstrap responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.3 Impulse responses to monetary shocks, Working capital model . . . . . . . . 141 4.4 Responses to a US policy shock, 1964:1-2001:10 . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.5 Quarterly and Monthly MA representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.6 Responses in the Blanchard and Quah model . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.7 Responses to Monetary Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1 Responses to Monetary shocks in the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 Shape of distance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 Likelihood function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.2 Likelihood surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.3 Impulse responses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.1 Watson’s measure of fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.2 Spectra and Coherences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3 Distributions of Hours and Real Wage Correlation . . . . . . . . . . . . . . 260 7.4 Effects of tax cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.1 Individual Effects, GDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.2 Cross sectional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 vii viii 8.3 Output growth responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.4 Alternative Estimators of Output Responses in Japan . . . . . . . . . . . . 306 9.1 Prior and posterior densities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.2 Highest credible set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.3 Price Differential responses, US states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 9.4 Posterior simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.5 MCMC draws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.6 True and Gibbs sampling distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 9.7 MCMC simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.1 Minnesota prior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 10.2 Forecasts of Italian inflation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 10.3 Median and 68% band for the responses to a US monetary policy shock. . . 378 10.4 Median responses to US monetary policy shock. . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10.5 Cross sectional density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 10.6 Convergence clubs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.7 One year ahead 68% prediction bands, EU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 11.1 Coincident Indicator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 11.2 Recession probabilities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.3 Likelihood and Posterior, RBC model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 11.4 Priors and Posteriors, Basic RBC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 11.5 Priors and Posteriors, RBC with habit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 11.6 CUMSUM statistic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 11.7 Priors (dotted) and Posteriors (solid), Sticky price model. . . . . . . . . . . 431 11.8 Impulse Responses, sample 1948-2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 11.9 Impulse responses, various samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 List of Tables 3.1 Simulated statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.2 Summary statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.3 US Business Cycle Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1 Penalties of Akaike, Hannan and Quinn and Schwarz criteria . . . . . . . . 114 4.2 Lag length of a VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3 Regressions on simulated data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.1 Estimates of New Keynesian Phillips curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2 Estimates of a RBC model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.3 Moments of the data and of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4 Indirect Inference Estimates of New Keynesian Phillips curve . . . . . . . . 195 6.1 ML estimates, Sticky Price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.2 Cross covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3 ML estimates, US 1948-1984. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.4 Diebold and Mariano Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.1 Monte Carlo distribution of αρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 | 7.2 ACF of hours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.3 Cross correlation hours-wage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.4 Parameters selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.5 The Fit of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.1 Growth and Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.2 Bias in the AR(1) coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.3 Monte Carlo evidence I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.4 Monte Carlo evidence II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 9.1 Posterior distribution of returns to scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.1 One year ahead Theil-U statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 10.2 Marginal Likelihood, Sticky price sticky wage model. . . . . . . . . . . . . . 370 ix