Lothar Gaul Christi an Fiedler Methode der Randelemente in Statik und Dynamik Grundlagen und Fortschritte der Ingenieurwissenschaften Fundamentals and Advances in the Engineering Sciences herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Wil[ried B. Krätzig, Ruhr-Universität Bochum Prof. em. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Theodor Lehmannt, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Oskar Mahrenholtz, TU Hamburg-Harburg Prof. Dr. Peter Hagedorn, TH Darmstadt Konvektiver Impuls-, Wärme-und StotTaustausch von Michael Jischa Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen-und Modalanalyse von Hans G. Natke Mechanik der Flächentragwerke von Yavuz Basar und Wilfried B. Krätzig Festigkeitsanalyse dynamisch beanspruchter OtTshore-Konstruktionen von Karl-Heinz Hapel Computational Mechanics of Reinforced Concrete Structures von Günter Hofstetter und Herbert A. Mang Strömungsmechanik von Klaus Gersten und Heinz Herwig Konzepte der Bruchmechanik von Reinhold Kienzier Dünnwandige Stab-und Stabschalentragwerke von Johannes Altenbach, Wolfgang Kissing und Holm Altenbach Thermodynamik der Strahlung von Stephan Kabelac Simulation von Kraftfahrzeugen von Georg Rill Berechnung von Phasengleichgewichten von Ralf Dohrn Wärme- und StotTübertragung in Zweiphasenströmungen von Jürgen Köhler Methode der Randelemente in Statik und Dynamik von Lothar Gaul und Christi an Fiedler Lothar Gaul Christian Fiedler Methode und Berechnung in Statik und Dynamik Mit 62 Bildern und 14 Tabellen 11 vleweg Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1997 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden 1997 Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1997 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-663-08001-5 ISBN 978-3-663-08000-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-08000-8 v Vorwort Drei Dekaden einer stürmischen Entwicklung der Randelementmethode haben ihren Niederschlag in zahlreichen Anwenderprogrammen gefunden, die zur Lösung von Feld problemen der Statik und Dynamik in der industriellen Konstruktion, Forschung und Entwicklung eingesetzt werden. Daraus erklärt sich der gewachsene Bedarf anwen dungsbezogener Ausbildung zum Verständnis der Grundlagen der Methode. In Vor lesungen und Anwenderkursen über die Finite Elemente Methode und die Methode der Randelemente haben die Autoren das erstgenannte Gebietsdiskretisierungsverfah ren dem letztgenannten gegenübergestellt, Vor- und Nachteile des Einsatzes der ersten und der zweiten Methode sowie deren Kopplung vermittelt. Erfahrungen aus den Lehrveranstaltungen und der Grundlagenforschung zur Rand elementmethode in den Ingenieurwissenschaften sind in dieses Lehrbuch eingeflossen. Auf eine Darstellung des Standes der Forschung, z. B. über Formulierung im Zeit be reich und das Zitat grundlegender, überwiegend englischsprachiger Bücher, wird ver zichtet. Zahlreiche Beispiele wurden so ausgewählt, daß die Lösung auch ohne Rechen programm möglich ist. Die Autoren hoffen auf diesem Wege, interessierten Ingenieuren, Physikern und Mathematikern in Konstruktions-, Forschungs- und Entwicklungsabtei lungen sowie Studenten dieser Fachrichtungen im Vertiefungsstudium die Grundlagen zum Verständnis der Randelementmethode auf einfache Weise zu vermitteln. Herr Dipl.-Ing. W. Wenzel (Univ. Stuttgart) hat die Entstehung des Manuskriptes durch kritische Durchsicht und mit wertvollen Beiträgen unterstützt. Herr Liu Zhan gyu (Hefei University of Technology) berechnete sorgfältig Beispiele. Beiden gilt unser besonderer Dank. Den Herausgebern sowie dem Verlag danken wir für die Förderung des Buchprojektes. L. Gaul (Stuttgart) und C. Fiedler (Hamburg), März 1996 VI Inhaltsverzeichnis Notation 1 1 Einführung und Grundlagen der Randelementmethode 3 1.1 Einführung und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1.2 Vergleich der Randelementmethode mit der Methode der Finiten Elemente 5 1.3 Grundlagen der Randelementmethode . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Techniken gewichteter Residuen . . . . . . . . . . ... . . 8 1.3.2 Transformation einer Differentialgleichung auf den Rand 12 1.4 Eindimensionale Beispiele ...... 17 1.4.1 Stab unter Streckenlast . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Balken unter Biegebelastung . . . . . . . . . 21 1.5 Allgemeine Vorgehensweise zur BEM-Formulierung 34 2 Mehrdimensionale Probleme: Wärmeleitung 37 2.1 Die Feldgleichung der Wärmeleitung 37 2.2 Ebene Problemstellung . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Räumliche Problemstellung .......... 42 2.4 Randelementformulierung der Laplace-Gleichung . 43 2.4.1 Schwache Form der Differentialgleichung . 43 2.4.2 Transformation auf den Rand . . . . . . . 43 2.4.3 Wahl der Fundamentallösung als Wichtungsfunktion 49 2.4.4 Randintegralgleichung des ebenen Problems 50 2.4.5 Das Prinzip der Kollokationsmethode . . . 57 2.4.6 Beispiel zur Wärmeleitung . . . . . . . . . 58 2.4.7 Berechnung der Lösung für innere Punkte 68 2.5 Randelementformulierung der Poisson-Gleichung 69 2.5.1 Berechnung von Gebietsintegralen durch Integration. 71 2.5.2 Berechnung von Gebietsintegralen durch Transformation auf den Rand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.3 Berechnen der unbekannten Randwerte . . . . . . . . . . 76 2.6 Orthotrope Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 Indirekte Berechnung der Hauptdiagonalelemente der Matrix H 78 2.8 Konzentrierte Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Inhaltsverzeichnis vii 2.9 Substrukturtechnik .................... . 79 2.10 Beispiel: Orthotrope Wärmeleitung und Gebietskopplung 81 3 Anwendungen der BEM in der Elastomechanik 87 3.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik ...... . 87 3.1.1 Kinematik der Verformung ........ . 87 3.1.2 Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik 98 3.1.3 Das Stoffgesetz ............ . 104 3.1.4 Lame-Navier-Gleichungen....... 106 3.2 Integralformulierung der Bewegungsgleichung . 109 3.2.1 Vorbemerkung.............. 109 3.2.2 Schwache Form der Bewegungsgleichung 109 3.2.3 Inverse Form der gewichteten Gleichung 110 3.2.4 Somigliana-Identität, Verschiebungsintegralgleichung 114 3.3 Übergang zur Randintegralgleichung ........... 117 3.4 Numerische Implementierung der Randintegralgleichung . 121 3.4.1 Ortsdiskretisierung................. 121 3.4.2 Diskretisierung der Randlösung . . . . . . . . . . 123 3.4.3 Aufbau des Gleichungssystems mit der Kollokationsmethode 126 3.5 Beispiel: Berechnung im Frequenzbereich . . . . . . . . . 129 3.5.1 Lame-Navier Gleichungen in Zylinderkoordinaten 129 3.5.2 Symmetrieb edingungen . . . . . . . 130 3.5.3 Näherungslösung des Feldproblems 131 3.5.4 Anpassung an Randbedingungen 133 3.5.5 Statischer Fall . . . . . . . . . . . . 136 3.5.6 Eindimensionaler Fall. . . . . . . . 138 3.5.7 Vergleich BEM - analytische Lösung 138 4 Numerische Integration 143 4.1 QuadraturformeIn . . . 143 4.2 Eindimensionale Integration 143 4.2.1 Rechteckverfahren . 143 4.2.2 Sehnentrapezformel . 144 4.2.3 Simpsonregel .... 145 4.2.4 Vergleich der Verfahren. 146 4.2.5 Gaußsche Quadraturformeln 147 4.2.6 Ermittlung von Gauß-Quadraturformeln 150 4.3 Mehrdimensionale Integration . . . . 159 4.4 Singuläre Integration . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.4.1 Schwach singuläre Integration ..... . 163 4.4.2 Stark singuläre (Cauchy-singuläre) Integration. 169 viii Inhal tsverzeichnis Anhang A Fundamentallösungen 177 A.l Eindimensionale Fundamentallösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.l.l Eindimensionale Laplace-G leichung - Fundamentallösung des Sta- bes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.1.2 Eindimensionale Helmholtz-Gleichung . 179 A.1.3 Fundamentallösung des Balkens . 180 A.2 Mehrdimensionale Fundamentallösungen . . . 182 A.2.1 Vorbemerkung.......... . . . . 182 A.2.2 Fundamentallösung der Laplace-Gleichung 183 A.2.3 Fundamentallösung der Helmholtz-Gleichung . 187 A.2.4 Fundamentallösung der Elastostatik. . 191 A.2.5 Fundamentallösung der Elastodynamik . . . 195 Anhang B Sommerfeldsehe Ausstrahlungsbedingung 199 Literaturverzeichnis 201 Index 204 1 Notation Verwendet wird die Einsteinsche Summationskonvention, bei der über doppelt vorkom mende Indizes summiert wird. So ist die Spur einer (n x n) Matrix A = [aij] 3 L aii = aii = an + a22 + ... + ann . (0.1) i=l Das Skalarprodukt zweier Vektoren 3 3 ii = L ai ei und b = L bj ej (0.2) i=l j=l mit den Koordinaten ai ,bj und den orthonormierten Basisvektoren ei ,ej lautet ii . b= ai bj ei . ej = ai bj Dij = ai bi = aj bj (0.3) unter Verwendung des Kronecker-Symbols I füri=j Dij = { 0 für i =f j (0.4) Das zugeordnete Vektorprodukt ergibt ii x b = f.ijk aj bk ei (0.5) mit dem Permutationssymbol f.ijk, das für gerade Permutationen (123,231,312) den Wert 1, für ungerade Permutationen (132,321,213) den Wert -1 und sonst den Wert o annimmt. Das Matrizenprodukt AB = C zweier Matrizen A = [aij] und B = [bij] ist die Matrix C mit den Elementen (0.6) wobei die Summation über k die Gleichheit der Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B fordert. Faßt man die Vektoren a = {ai} und b = {bi} als (n x 1) Matrizen auf, so kann man für das Skalarprodukt ii· b = aTb (0.7) schreiben. Transponiert man b, so folgt C = abT = ii®b (0.8) mit den Elementen Gj = ai bj . 3 1 Einführung und Grundlagen der Randelementmethode 1.1 Einführung und Überblick Bei der Konzeption und Auslegung technischer Bauteile spielt die numerische Simula tion heute oft eine wesentliche Rolle, da einerseits Experimente oftmals zu kostspielig oder aber technisch nicht durchführbar sind, andererseits in der Computerwelt rasen de Fortschritte erzielt werden. Um Experimente zu ergänzen oder sogar zu ersetzen, müssen die Simulationsverfahren einer Reihe hoher Anforderungen genügen. Die we sentliche Forderung besteht darin, daß die Berechnung auf effizientem Weg möglichst gen aue Ergebnisse liefert, d. h. das reale System, seine Belastung und seine Reaktion auf diese Belastung möglichst genau wiederspiegelt. Ausgehend vom realen technischen System wird zunächst eine Abbildung der Wirk lichkeit auf ein Modell durchgeführt, wobei entweder bekannte physikalische Gesetze oder, wenn diese nicht zur Verfügung stehen, Versuche, Beobachtungen und Meßrei hen herangezogen werden. Bekannte Methoden der Modellbildung sind, abhängig von der AufgabensteIlung, das Verfahren der Mehrkörpersysteme sowie die kontinuierliche Modellierung. Die dem Modell zugrundeliegenden Differentialgleichungen lassen sich jedoch nur in den einfachsten Fällen analytisch lösen. Für komplexe AufgabensteIlun gen sind numerische Verfahren erforderlich. Hier haben sich in vielen Bereichen der Technik Finite-Elemente-Verfahren und in jüngerer Zeit auch Randelementverfahren (Boundary Element Methods, im folgenden kurz BEM genannt) durchgesetzt. Eine abschließende physikalische Interpretation und kritische Bewertung des gewonnenen Ergebnisses liefert schließlich die gesuchte Ingenieurlösung. Diese Vorgehensweise ist in Abb. 1.1 [29J noch einmal zusammenfassend dargestellt. Das vorliegende Buch folgt der Vorgehensweise, indem für die verschiedenen Pro blemstellungen zunächst die theoretischen Grundlagen bereitgestellt werden. Dies er scheint gerade für die Anwendung der Randelementmethode unverzichtbar zu sein, da diese Methode eine weitaus größere analytische Vorarbeit voraussetzt als beispielsweise die Finite-Elemente-Methode. Orientiert an den einzelnen Problemstellungen sollen