REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE UNIVERSITE ABOU BEKR BELKAID - TLEMCEN - Faculté des Sciences Département de Mathématiques Projet de fin d'études pour l'obtention du diplôme de Master Option : Systèmes dynamiques et Applications Sur le Thème: Méthode d’agrégation des variables appliquée à la dynamique des populations Présenté par: CHEBAHI Ikram Soutenu le : 04/10/2012 devant le jury composé de: B. ABDELLAOUI M.C.A. Université de Tlemcen Président K. YADI M.C.A. Université de Tlemcen Examinateur S. E. MIRI M.A.A. Université de Tlemcen Examinateur A. MOUSSAOUI M.C.A. Université de Tlemcen Encadreur Année Universitaire : 2011- 2012 Dédicaces J e dédie ce modeste travail à Mes très chers parents, pour leur sacrifices, et qui n’ont jamais cessé de m’encourage que ALLAH me les garde. Mes très chères sœurs : Souhila et son mari Ayache, Mérième. Mes très chers frères Karim et Mohamed Magrand-mère que dieu me le garde Mes amies qui me connaissent de prêt et de loin et spécialement : Chaima, Hayate, Amel, Mérième, Kheira. Ikram 1 Remerciements Je remercie tout d’abord ALLAH tout puissant pour m’avoir donné la santé, la patience et le courage pour mener à terminer ce mémoire. Je tiens en tout deuxième lieu à témoigner ma plus profonde gratitude à mon encadreur Monsieur A. MOUSSAOUI qui a dirigé ce travail, de m'avoir encadré et proposé un sujet aussi passionnant et intéressant. Sa disponibilité permanente et son aide m'ont été d'un soutien dont je lui suis particulièrement reconnaissant. Sa compétence et ses conseils m'ont été d'un grand secours.Encore merci ! Par ailleurs, je tiens à exprimer mes vifs remerciements au président du jury Monsieur B. ABDELLAOUI. Je remercie très respectueusement Monsieur K. YADI et Monsieur S. E. MIRI qui ont consacré leur temps à bien examiner et juger mon travail d'une façon minutieuse. D'autre part, j'adresse une chaleureuse pensée à toute l'équipe pédagogique du Département de Mathématiques surtout le Chef du Département Monsieur M. MEBKHOUT. En fin, un grand merci à toute personne m'ayant aidée et guidée pour la réalisation de Cette étude. 2 Résumé Dans ce memoire, nous présenterons la "méthode d’agrégation des variables" qui a pour but de construire à partir d’un modèle complexe, un modèle réduit ne gouvernant que quelques variables globales évoluant à une échelle de temps lente.Cette méthode est basée sur la constatation que les systèmes dynamqies présentent une organisation "hiérarchique" (c’est-à- dire. En niveaux d’organisation emboîtés, du plus macroscopique au plus microscopique), avec des échelles de temps caractéristiques de chacun de ces niveaux assez différentes. Nous présenterons aussi des applications en dynamique de population. Le premier exemple concerne un modèle autonome de proie-prédateur dans lequel le prédateur est infecté par une maladie et nous étudions les effets d'une maladie qui affecte un prédateur. Nous finirons notre travail par la présentation d’un exemple du modèle épidémique SIS à plusieurs souches périodiques non autonomes dans un milieu constitué par un ensemble de sites discrets connectés par des migrations à une échelle de temps rapide. Mots clés : Agrégation de variables, Modèle de Lotka-Volterra, équations différentielles ordinaires, dynamique de population, stabilité, modèles epidémiologiques, échelles de temps. 3 Abstract In this memory, we will present the "method of aggregation of variables" which is intended to build from a complex model, a model that does some global variables governing moving at a slow time scale. This method is based on the observation that the systems have a dynamics organization "hierarchical" (that is to say. In level of organization nested, from the macroscopic to the most microscopic), with characteristic time scales of each of these levels are quite different.We also present applications in population dynamics. The first example concerns an autonomous model of predator-prey in which the predator is infected with a disease and we study the effects of a disease affecting a predator. We will finish our work by presenting an example of periodic multi strain SIS epidemic model non autonomous in an environment consisting of a set of discrete sites connected by migration at the fast time scale. Key words: Aggregation of variables,Lotka-Volterramodel, ordinary differential equations, population dynamics, Stability,epidemiological models,Time scales. 4 Table des matières Introduction générale .................................................................................................................... 7 1. Notions préliminaires ....................................................................................................... 8 1.1 Notions sur la stabilité ................................................................................................. 8 1.1.1 Définition de la stabilité .................................................................................. 8 1.1.2 Fonction de Lyapunov ...................................................................................... 9 1.1.3 Stabilité au sens de Lyapunov .......................................................................... 9 1.1.4 Principe d’invariance de Lasalle .................................................................... 10 1.2 Taux de reproduction de base .................................................................................... 11 1.2.1 Introduction .................................................................................................... 11 1.2.2 Méthode de calcul de .............................................................................. 11 2. La méthode d’agrégation des variables pour le système autonome .............................. 13 2.1 Définitions et notations ........................................................................................... 13 2.2 Théorème de réduction .............................................................................................. 15 2.3 Exemple d'application ....................................................................................................... 16 3. Effets d’une maladie qui affecte un prédateur sur la dynamique de système proie- prédateur ........................................................................................................................... 20 3.1 Introduction ............................................................................................................... 20 3.2 Formulation mathématique ........................................................................................ 20 3.2.1 Le modèle agrégé .............................................................................................. 21 3.2.1.1 Cas : ............................................................................... 21 3.2.1.2 Cas : ............................................................................... 21 3.2.1.3 Dynamique du système agrégé .......................................................... 22 3.2.2 Équilibres et stabilités ...................................................................................... 22 3.2.3 Simulation numérique ....................................................................................... 25 3.3 Commentaires .................................................................................................................... 28 3.4 Conclusion ......................................................................................................................... 29 4. La méthode d’agrégation des variables pour le système non autonome ...................... 30 5 4.1 Système lent-rapide .................................................................................................... 30 4.2 Théorème de Hoppensteadt ....................................................................................... 31 5. Agrégation approximative d’un modèle épidémique SIS périodiques à plusieurs souches non-autonomes .................................................................................................... 33 5.1 Introduction .............................................................................................................. 33 5.2 Modèle épidémique SIS à plusieurs souches avec des migrations rapides .................. 33 5.3 Réduction du modèle ................................................................................................. 34 5.4 Analyse du modèle agrégé ......................................................................................... 36 5.5 Conclusion .............................................................................................................. 41 Conclusion générale ..................................................................................................................... 43 Bibliographie ................................................................................................................................. 44 6 Introduction générale Dans le domaine de la dynamique des populations, nous sommes confrontés à prendre en considération les structures internes des populations. Une communauté est un ensemble de plusieurs populations en interaction, elles-mêmes subdivisées en des sous-populations distribuées spatialement sur des sites. La prise en considération d’un niveau de description détaillé en dynamique de population conduit alors à des modèles mathématiques composés d’un système d’équations comportant un grand nombre de variables d’état et consistant en deux parties : une rapide et une lente, qui sont en général difficiles à étudier analytiquement. La prise en compte d’échelles de temps différentes dans un modèle de dynamique de population permet de réduire la dimension du système dynamique. Cette opération s’appelle une agrégation de variables. L’objectif principal de la méthode d’agrégation des variables réside principalement dans la réduction de la dimension du système dynamique initial en un système agrégé administrant peu de variables globales évoluant à une échelle de temps lente. Ce travail s'articule en cinq chapitres: Dans le premier chapitre, nous faisons quelques rappels sur les notions de base des systèmes dynamiques. Qui vont nous servir dans ce mémoire. Dans le deuxième chapitre, on présente la méthode d'agrégation des variables pour les systèmes d'Equations Différentielles Ordinaires (E.D.O) dans le cas autonome. Ce chapitre est basé sur les travaux [1], [2] et [3]. Dans le troisième chapitre, on étudie la dynamique d’un système proie-prédateur, ou on suppose que les prédateurs sont infectés. On étudie l’effet de la maladie sur la dynamique globale des deux populations. Le contenu de ce chapitre n'est autre qu'une présentation détaillée et développée de l'article [5]. Dans le quatrième chapitre, on présente la méthode d’agrégation pour les modèles non autonomes. Dans le dernier chapitre, on étudie un modèle SIS périodique à plusieurs souches à l’aide de la méthode d’agrégation des variables on construit un modèle agrégé qui permet d’étudier certaines caractéristiques du comportement asymptotique du modèle originale. Ce chapitre est basé sur les travaux [6], [8]. On termine par une conclusion générale. 7 Chapitre 1 Notions préliminaires Nous allons consacrer ce premier chapitre à rappeler quelques notions nécessaires et préalables à une bonne compréhension de l’étude des modèles auxquels nous serons confrontés tout au long de ce mémoire. 1.1 Notions sur la stabilité 1.1.1 Définition de la stabilité Considérons un système continu autonome décrit par une équation différentielle du premier ordre : ̇ ( ) ( ) Une notion qui est primordiale dans l’étude de la stabilité est la notion de point d’équilibre. Définition 1.1 est appelé point d’équilibre pour le système ( ) s‘il est vérifie l’équation ( ) ( ) Remarque 1.1 : tout point d’équilibre peut être ramené à l’origine par un simple changement de variable . Donc, sans perte de généralité, les définitions et théorèmes qui suivent seront établis en considérant : ( ) Définition 1.2 (Stabilité simple) le point d’équilibre est stable : Si , tel que : ‖ ( )‖ ‖ ( )‖ ( ) Sinon le point d’équilibre est instable. 8 Définition 1.3 (Stabilité asymptotique) le point d’équilibre est asymptotiquement stable si : - Il est stable - Il existe tel que : ‖ ( )‖ ‖ ( )‖ ( ) Dans chacune des définitions précédentes, la stabilité est définie de manière locale puisque est reliée à la notion de voisinage. Définition 1.4 (stabilité globale) l’équilibre est dit globalement asymptotiquement stable, s’il est stable asymptotiquement pour n’importe quelle condition initiale dans . 1.1.2 Fonction de Lyapunov Définition 1.5 Soit une fonction continue, Où : désigne un ouvert non vide de ( ) contenant l’équilibre . On dira que ( ) est définie positive (respectivement définie négative) si seulement si : 1. ( ) ; 2. ( ) (respectivement ( ) )), . Elle est dite semi-définie positive (respectivement semi-définie négative) si seulement si : 1. ( ) ; 2. ( ) (respectivement ( ) )), Définition 1.6 (fonction de Lyapunov) Une fonction de classe définie positive et dont la dérivée ̇ par rapport au système ( ) est définie négative sur est appelée fonction de Lyapunov stricte pour le système ( ). Si est de classe , semi-définie positive et ̇ sur , alors V est une fonction de Lyapunov faible pour le système ( ) La théorie de Lyapunov joue un rôle central dans l’´etude théorique de la stabilisation des systèmes non linéaires. 1.1.3 Stabilité au sens de Lyapunov Théorème 1.1 - Si la fonction est défini positive et ̇ semi-définie négative sur , alors le point d’équilibre est stable pour le système ( ). 9