PAUL TANNERY MÉMOIRES SCIENTIFIQUES P U B L IE S PAR J.-L. HEIBERG & H.-G. ZEUTHEN II SCIENCES EXACTES DANS L’ANTIQUITÉ i883-i8g8 II TOULOUSE PARIS ÉDOUARD PRIVAT GAUTHIER-VILLARS LIBRAIRE-BDITBUB UBRAIBB-ÉDITEUB 14 RUE DES ARTS 55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS 1912 SCIENCES EXACTES DANS L’ANTIQUITÉ [888-1898 II MÉMOIRES OOISTTENUS DANS LE TOME II No 3o. — 1883-1884 (p. 1-47). Pour l’histoire des lignes et surfaces courbes dans l’antiquité. No3i. —1884(p. 48-63). Sur l’authenticité des axiomes d’Euclide. No 32. — 1884 (p. 64-72). Sur les manuscrits de Diophante à Paris. N® 33. — 1884 (p. 73-90). La perte de sept livres de Diophante. No 34. — 1884 (p. 91-104). Sur la langue mathématique de Platon. No 35.— 1884 (p. 105-117). Domninos de Larissa. No 36.— 1884 (p. ii8-i36). Eutocius et ses contemporains. XII MEMOIRES CONTENUS DANS LE TOME II. 30. — i883 et 1884. Ν· 6ι. 1895 (p. 517-526). Sur les subdivisions de Vheure dans l’antiquité. Ν® 62. 1896 (p. 527-539). Sur la religion des derniers mathématiciens de l’antiquité. POUR L ’HISTOIRE N® 63. — 1897 (p. 54o-544)· Sur la locution έξ Ισου. DES LIGNES ET SURFACES COURBES N® 64. - 1897 (p. 545-548). ΣΚΟΤΤΑΩΣίΣ et ΣΤΡΟΦΙΟΛΟΣ. DANS L’ANTIQUITÉ. N® 65. — 1898 (p. 549-554). Sur Carpos d’Antioche. I. La première courbe qu’un géomètre grec ait considérée en dehors du cercle paraît avoir été la quadratrice (τετραγωνιζουσα) * p sin φ ru R ^ , si son invention remonte réellement au sophiste Hippias d’Elis, qui florissait dans la seconde moitié du cinquième siècle avant J.-G. Proclus^y p. 2η2 : « D’autres ont résolu le même problème (la trisection de l’angle) par les quadratrices ^ d’Hippias et de I, Je donne l’équation polaire de cette courbe sous la forme la plus simple qui corresponde à sa définition dans Pappus, IV, 3i, éd. Hultsch, p. 252. a. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commen- tarii, éd. G. Friedlein. — Leipzig·, Teubner, 1873. 3. Le pluriel est ici un hellénisme et ne doit nullement faire soupçonner que les anciens aient considéré sous le nom de quadratrice différentes espèces de PAUL TANNERY. MÉM. SCIENT. — II. I 2 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY. 3o. — LIGNES ET SURFACES COURBES DANS l’ANTIQUITÉ. 3 Nicomède, lignes également mixtes (comme la conchoïde de introduire un mouvement d’instruments dans une figure géo­ Nicomède). » métrique ; et le tracé de la quadratrice réclame un tel mouve­ P. 356 : « C’est, au reste, la coutume générale des mathéma­ ment. Cette remarque est inexacte. Un nombre indéfini de points ticiens, quand ils traitent des lignes, de donner le caractère (το de la quadratrice, aussi rapprochés qu’on le veut, peuvent être σύ(Απτω(Λα, la relation correspondant à ce que nous appelons obtenus avec la règle et le compas, et il est douteux que les aujourd’hui Véquation) de chaque espèce. Ainsi Apollonius donne anciens aient jamais cherché un autre procédé pour construire le caractère de chacune des coniques ; Nicomède a fait de même cette courbe. pour les conchoïdes, Hippias pour les quadratrices, Persée pour L’autorité de Diogène Laërce est d’ailleurs d’autant moins les spiriques. » acceptable qu’il parle én termes exprès de la solution du problème A la vérité, Hankel a prétendu, sans toutefois donner de raisons, de Délos par Archytas ; or Eutocius {Archimède^ éd. Torelli, que l’Hippias cité par Proclus dans ces deux passages n’était pas pp. 143-144) nous a conservé, d’une part, cette solution où ne le contemporain de Socrate. Mais M. Cantor {Vorlesunqen^ p. i65) figure l’emploi d’aucun instrument, et, d’un autre côté (p. i4h), a excellemment défendu l’opinion commune, fondée d’ailleurs une lettre où Eratosthène affirme que, « si Archytas, Eudoxe, etc., surtout sur ce qu’on ne connaît pas d’autre géomètre du nom furent capables de démontrer l’exactitude de leurs solutions, ils d’Hippias. Je me contenterai donc de répondre aux objections ne purent les réaliser manuellement et pratiquement, sauf jusqu’à nouvelles formulées par M. G.-I. Allman (Greek Geometry from un certain point Ménechme, mais d’une façon très pénible ». Thaïes to Euclid, Part II, Dublin, i88i). Le mésolabe d’Eratosthène est de fait le plus ancien instrument 1° Hippias d’Elis ne figure pas comme mathématicien, mais dont on connaisse l’emploi pour une construction géométrique ; seulement comme autorité historique, dans la liste des géomètres car, en présence du texte que je viens de citer, on ne peut consi­ de Proclus (pp. 64-68), liste qui provient d’Eudème. L’inventeur dérer que comme apocryphe l’élégante solution pratique du pro­ de la quadratrice aurait mérité davantage. blème de Délos attribuée à Platon par Eutocius (p. i35). Ce même Mais cette omission s’explique suffisamment par le discrédit texte indique qu’avant Ménechme on ne se préoccupait pas du qui frappait les sophistes aux yeux d’Eudème, et la liste en tracé pratique des courbes, tandis que l’inventeur des sections question en présente une autre bien plus singulière, celle de coniques aurait essayé plus ou moins de résoudre cette question Démocrite. pour les lignes qu’il avait découvertes. 2® Diogène Laërce (VIII, 83) dit qu’Archytas fut le premier à 3® M. Allman objecte encore que Pappus ne connaît nullement Hippias. Pappus dit en effet (IV, 3o, pp. 260-2) : « Pour la quadrature courbes. Mixtes désigne chez Geminus, qui suit Proclus, les lignes autres que la droite et le cercle. du cercle, Dinostrate, Nicomède et quelques autres plus récents [Gp. La Géométrie grecque, par Paul Tannery. Paris, Gauthier-Villars, ont employé une courbe qui prend son nom de sa propriété même, 1887, chap. VIII, p. 108. car ils l’appellent quadratrice ; voici sa génération. » Intermédiaire des Mathématiciens, t. II, p. 29, n° i58.] 4 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNE RY. 3o.--LIGNES ET SURFACES COURBES DANS L^NTIQUITE. 5 Dinostrate, frère de Ménechme, vivait vers le milieu du qua­ J’ai essayé d’établir ailleurs* que ce Sporos, de Nicée, vivait trième siècle et doit avoir été postérieur à Hippias de deux géné­ probablement à la fin du troisième siècle de notre ère, c’est-à-dire rations. Quant à Nicomède, postérieur à Eratosthène, il appartient qu’il était contemporain de Pappus, mais plus âgé que lui ; qu’il au troisième siècle. avait recueilli, pour une compilation intitulée 'Αριστοτελικά κτίρια Mais la divergence des renseignements fournis par Proclus et (rucher aristotélique), les travaux mathématiques relatifs à la par Pappus s’explique facilement par la différence des sources où quadrature du cercle et à la duplication du cube ; que ce recueil ils puisent. Tout ce que dit le premier des courbes est incontesta­ fut pour les deux objets la source principale de Pappus et blement emprunté à Geminus, auteur du premier siècle avant l’ère d’Eutocius. chrétienne, et son langage prouve dès lors que Geminus connais­ Au temps de Sporos, l’écrit d’Hippias pouvait parfaitement sait un écrit d’Hippias sur la quadralrice et le considérait comme avoir disparu sans laisser de traces ailleurs que dans Geminus ; inventeur de cette courbe, quoiqu’il n’ignorât pas que Nicomède et cela d’autant plus que les travaux postérieurs de Dinostrate, de s’en était également occupé. Nicomède, etc., avaient naturellement dû le faire négliger. Le Cette remarque nous permet d’écarter immédiatement le qua­ silence de Pappus sur Hippias n’a donc rien d’étonnant, et l’iden­ trième argument de M. Allman, à savoir qu’il y aurait eu un tification de cet Hippias avec le sophiste d’Elis reste, en somme, autre Hippias auquel pourraient se rapporter les citations de l’hypothèse la plus plausible. Proclus. Ce serait un architecte contemporain de Lucien, qui en fait un grand éloge comme géomètre, etc., dans son écrit : H. Hippias ou le Bain. A vrai dire, l’existence de cet Hippias n’est nullement prouvée, car l’écrit en question semble bien n’être Il ne me paraît pas douteux que le but de l’invention de la qu’une pure fantaisie ; mais, en tout cas, il est impossible de quadratrice n’ait été le partage d’un angle ou d’un arc donné songer à aucun géomètre postérieur à Geminus ou même, nous suivant un rapport donné. La génération de la courbe est com­ semble-t-il, à Nicomède. binée pour la solution immédiate de ce problème, tandis que la Quant à Pappus, il ne cite Geminus qu’à propos des travaux quadrature du cercle, ou plutôt la rectification de la circonférence, d’Archimède en Mécanique ; il ne semble lui avoir rien emprunté ne correspond, pour ainsi dire, qu’accidentellement à la solution pour la Géométrie, et notamment en ce qui concerne les lignes d’un problème particulier, la recherche du point d’intersection et les surfaces courbes. Sa manière de voir diffère en plusieurs de la courbe avec son axe. J’avais par suite été amené à inter­ points essentiels de celle de l’auteur suivi par Proclus. A la préter le passage de Pappus, cité plus haut, en admettant que le citation qu’il fait d’ailleurs (IV, 3i, p. 254) d^un Sporos dont il travail d’Hippias s’était borné à la division d’un angle donné, reproduit les critiques sur la quadrature du cercle au moyen de la courbe d’Hippias, on ne peut guère douter que ce Sporos ne I. Annales de la Faculté des Lettres de Bordeaux, pp. 70-76, 257-261 ; soit la source où il puise ce qu’il dit sur la quadratrice. 1882 [plus haut, t. I, η°® i5 et 16J. 6 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY. 3o. LIGNES ET SURFACES COURBES DANS l’ANTIQUITÉ. 7 que Dinostrate avait le premier fait l’application de la courbe à sections coniques) ; mais la division d’un angle ou d’un arc donné la quadrature du cercle, et que la dénomination qui lui a été dans un rapport donné est un problème grammique (exigeant donnée correspondait à ce travail postérieur. M. Gantor semble l’emploi de courbes plus complexes que les coniques) ; il a été avoir admis {Vorlesungen, pp. 167, 218), plus ou moins explici­ résolu par les auteurs récents (ΰπό των νεωτέρων), et nous le traitons tement, les mêmes conclusions ; mais, en y réfléchissant davan- de deux façons. » tag-e, je crois qu’elles soulèvent de graves objections. Suivent en effet deux solutions, l’une par la quadratrice, l’autre Tout d’abord le texte de Geminus dans Proclus suppose nette­ (46) par la spirale d’Archimède. Pappus revient plus loin (IV, 5i, ment que le nom de la courbe lui avait été (Jonné par son inventeur p. 296) sur la même question pour montrer qu’on peut construire Hippias. D’autre part, il est clair que l’usage pratique de la courbe μη angle incommensurable avec un angle donné. suppose la construction d’un patron découpé en équerre avec la Quant aux applications à la quadratrice, elles se rencontrent quadratrice remplaçant l’hypoténuse et applicable, comme notre dans Pappus après le premier passage cité (IV, 3i, 82, p. 266 et rapporteur, sur les figures considérées. Dès lors la détermination suiv.), puis (IV, 49? p· 292) : Trouver un cercle dont la circonfé­ de l’intersection de la courbe avec l’axe s’imposait immédiatement, rence soit égale à une droite donnée, d’après le théorème démontré et le problème n’est réellement pas si difficile qu’on doive précédemment, et IV, 5o : Décrire sur une corde donnée un arc croire qu’Hippias fût incapable d’apercevoir sa relation avec la de cercle qui soit à cette corde dans un rapport donné. Dans tout quadrature du cercle. Enfin la célébrité de ce dernier problème cela, il n’y a rien évidemment d’original de la part de Pappus, était dès lors assez grande pour qu’Hippias lui empruntât le nom quoique, dans ces derniers problèmes et dans ceux sur la division de sa courbe, plutôt qu’au problème qu’il avait sans aucun doute de l’angle, ce ne soit plus à Sporos qu’il fasse ses emprunts. considéré en premier lieu. Mais, en dehors de Pappus et de Proclus, il existe dans l’anti­ Quant au témoignage de Pappus, les remarques que nous avons quité, à propos de la quadratrice, un témoignage important sur faites plus haut en infirment notablement la valeur, et je suis lequel l’attention n’a pas été suffisamment appelée, quoiqu’il ait été publié par Bretschneider. C’est un passage d’un commentaire d’autant moins disposé à en tenir compte qu’il ne serait nullement de Jamblique sur les catégories d’Aristote, passage conservé par en fait favorable à la thèse que j’examine ; car non seulement il Simplicius {Comment, in Aristotelis phys. libros quattuor prio- ignore absolument Hippias, mais il considère l’emploi de la qua res, ed. Diels, p. 60) : dratrice pour la division de l’angle comme une découverte relati­ « Aristote ne connaissait probablement pas encore la quadra­ vement récente, ce qui est inadmissible. On pourrait seulement ture du cercle, mais elle a été trouvée par les Pythagoriciens, conclure de là que ni Dinostrate, ni Nicomède n’avaient traité ce comme il est clair d’après les démonstrations du pythagoricien problème sur la quadratrice. Sextus qui avait reçu par une tradition éloignée la méthode de Pappus, IV, 45, p. 284 : « Le partage d’un angle ou d’un arc ses démonstrations. Plus tard, Archimède l’a trouvée au moyen donné en trois parties égales est un problème solide, Gomme nous de la ligne hélicoïde, Nicomède au moyen de celle qu’on appelle l’avons démontré (c’est-à-dire un problème réclamant l’emploi de 8 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY. 3o. LIGNES ET SURFACES COURBES DANS l’ANTIQUITÉ. 9 proprement quadratrice, Apollonius au moyen d’une ligne qu’il Il est difficile de savoir pourquoi le géomètre de Perge a tenu appelle sœur de la cochloïde et qui est la même que celle de Nico- à rejeter le terme de quadratrice. Peut-être le trouvait-il trop mède, Garpos au moyen d’une ligne qu’il appelle simplement général et regardait-il d’autres courbes, par exemple, lui aussi, de double mouvement ; beaucoup d’autres enfin ont diversement la spirale d’Archimède, comme ayant autant de droits à ce titre; résolu le problème. » peut-être, ayant calculé plus exactement encore que le Syracu- Il ne semble pas qu^il y ait lieu de s’arrêter au témoignage sain le rapport de la circonférence au diamètre, voulait-il affirmer concernant les Pythagoriciens ; leur fanatique preneur perd tout l’insuffisance des solutions graphiques. sens critique quand il s’agit d’eux. Il suffira de remarquer que Le rapprochement de la courbe d’Hippias avec la conchoïde, Sextus ou plutôt Sextius* vivait sous Auguste et Tibère. Pour au point de vue géométrique, ne peut, d’autre part, être regardé Archimède, Jamblique fait incontestablement allusion au théo­ que comme passablement forcé ; cependant, je serais porté à en rème (πβρί ελίκων, i8) sur l’égalité entre la sous-tangente à la induire qu'Apollonius avait prolongé la quadratrice en dehors spirale à l’extrémité de la première spire et la circonférence du du cercle générateur et qu’il en avait reconnu les asymptotes. On cercle correspondant, théorème que nous ne pouvons évidem­ peut être confirmé dans cette hypothèse par ce fait que Geminus ment considérer comme donnant la quadrature du cercle, mais (Proclus, p. iii), essayant de classer les courbes d’après leur auquel les anciens attribuaient une importance considérable, forme, n’en reconnaît point qui s’arrêtent brusquement, comme en tant qu’établissant l’égalité d'une droite déterminée avec une le supposerait pour la quadratrice la façon dont Pappus expose courbe. la génération de la courbe, et comme on la donne d’ordinaire Nous rencontrons ensuite, en concordance avec Pappus et Pro- d’après lui. clus, une preuve du travail de Nicomède sur la quadratrice, puis Avant de quitter la citation de Jamblique, j’ajouterai que, dans une donnée importante; Apollonius s’est occupé de la même la courbe de double mouvement de Garpos, il est difficile de ne courbe, mais en lui donnant un autre nom : sœur de la cochloïde. pas reconnaître la cycloïde dont la génération si simple n’a pas Cochloïde est, d’après Pappus, le nom de la courbe inventée dû échapper aux anciens. par Nicomède et que nous appelons conchoïde avec Proclus et L'âge de Garpos ne peut être fixé avec précision. Proclus cite Eutocius. Le terme sœur de la cochloïde doit donc avant tout être longuement (p. 2Î\i et suiv.) une discussion sur la prééminence regardé comme une flatterie adressée par Apollonius à Nicomède. logique entre les théorèmes et les problèmes : dans cette discus­ Il permet par conséquent de fixer l’époque de ce dernier entre sion, Garpos le mécanicien soutenait une opinion opposée à celle Eratosthène et Apollonius, au lieu de la faire descendre après de Geminus; il semble bien lui être postérieur. D’autre part, Apollonius, comme on le fait ordinairement. Pappus cite Garpos d’Antioche à propos des travaux mécaniques d’Archimède. On a ainsi un intervalle de trois siècles de Geminus à Pappus; mais, d’après le titre de l’ouvrage cité par Proclus I. Il y eut deux philosophes de ce nom, le père et le fils ; il est difficile de (άστρολογικ·ίΐ πραγ(Λατεία, Traité astrologique)^ j’inclinerais à le pla­ conjecturer duquel Jamblique a voulu parler. ΙΟ MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY. 3o. ---- LIGNES ET SURFACES COURBES DANS l’ANTIQUITÉ. 11 cer avant Ptolémée, c’est-à-dire au premier siècle de l’ère chré­ et il est douteux qu’il soit le même pour Pappus et pour Sporos ; tienne. chez le premier, ce sens paraît plutôt à rapprocher de celui de grossier; il oppose la génération vulgaire à celle qu’il va donner, III. par d’élégantes combinaisons de surfaces, sur lesquelles nous allons revenir, combinaisons qui, au reste, n’aboutissent nulle­ La citation de Sporos par Pappus (IV, p. 254), relative à la ment à un mode de construction pratique, et surfaces qui sup­ quadratrice, renferme une expression qui mérite d’appeler l’atten­ portent la construction de l’hélice ou de la spirale d’Archimède, tion. Après avoir critiqué l’emploi de la courbe pour la quadra­ c’est-à-dire de courbes aussi mécaniques au moins que la quadra­ ture et observé qu’en fait l’intersection avec l’axe ne peut être trice. déterminée mathématiquement si l’on ne connaît pas le rapport Pour Sporos, le sens paraît différent, et il me semble précisé de la circonférence au rayon, Sporos ajoute : « A moins de se par un membre de phrase qui suit dans le texte^ mais que le donner ce rapport, il ne faut pas, par confiance dans la réputa­ savant éditeur a regardé avec quelque raison comme suspect. tion des inventeurs, admettre une courbe en quelque sorte trop Après trop mécanique, vient « et servant aux mécaniciens pour mécanique ([ληχανικωτέραν πως ουσαν). » beaucoup de problèmes ». Quelle que soit l’origine de cette Un peu plus loin (p. 258), Pappus reprend cette expression à phrase, que Pappus y ait condensé avec trop de négligence le son compte : « La g-énération de cette lig-ne (la quadratrice) est, texte qu’il avait sous les yeux, qu’elle soit une glose postérieure, comme on l’a dit, trop mécanique (ρχανικωτερα), mais on peut il n’en paraît pas moins probable que des équerres en quadra­ l’analyser comme suit g’éométriquement par les lieux en sur­ trice étaient depuis le temps d’Hippias employées dans la prati­ faces. » que, et que Sporos insiste sur ce que la construction nécessaire­ Ces deux passag-es sont remarquables parce que c’est unique­ ment approximative de ces instruments ne permet point de les ment sur eux qu’a été fondée la fameuse distinction des courbes comparer à la règle et au compas. géométriques et des courbes mécaniques^ que le dix-septième Quoi qu’il en soit au reste à cet égard, je laisse ce sujet pour siècle considérait comme ayant été classique dans l’antiquité : aborder ce que Pappus (IV, 33, 34, pp. 258-264) appelle la géné­ rien ne justifiait en réalité cette opinion; en fait, Pappus ne dis- ration géométrique de la quadratrice. ting-ue guère les courbes que suivant qu’elles sont engendrées Gha^s et M. Cantor ont déjà appelé l’attention sur ces deux par des intersections de solides ou d’une autre façon. Dans la propositions intéressantes où il est démontré : seconde classe, il range à côté des hélices (ce qui comprend les 1° Qu’on obtient une quadratrice en projetant sur le plan hori­ spirales) les quadratrices, les cochloïdes, les cissoïdes (III, p. 54; zontal l’intersection d’une surface de vis à filet carré à axe ver­ IV, p. 270). Geminus, dans Proclus, ne fait que des classements tical : aussi artificiels. X tang 2 , Le véritable sens de l’expression est au reste assez obscur. 3o. — LIGNES ET SURFACES COURBES DANS l’ANTIQUITÉ. l3 12 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY. donnait * pour désigner, par exemple, les surfaces de révolution et d’un plan passant par une des génératrices rectilignes de cette du second degré. surface z-=zmy\ Le terme de plectoïde ne se rencontre, au reste, ailleurs que dans un autre passage de Pappus (IV, 36, p. 270) que nous 2° Que cette même surface de vis qui donne une quadratrice allons traduire. pour son intersection avec un plan peut être définie comme ayant Pappus distingue les trois genres de problèmes reconnus par pour directrice courbe non plus l’hélice, mais l’intersection d’un les anciens, problèmes plans (du premier ou du second degré), cône * ayant le même axe solides (du troisième ou quatrième degré), grammiques (d’ordre supérieur). Il s’exprime ainsi sur ces derniers® : zz Æ* -j- (( Il reste encore un troisième genre de problèmes qu’on appelle grammiquesj parce que pour leur solution on emploie d’autres et d’une surface cylindrique * à génératrices verticales et ayant lignes (γρα(Λ(Ααί) que celles dont nous venons de parler^ : ce sont pour trace horizontale une spirale d’Archimède dont le pôle est des lignes dont la génération est plus variée et plus forcée, qui sur l’axe dérivent de surfaces moins régulièrement classées et de mouve­ y x^-\~ y^ — a arc tanff—, X ments plus compliqués. Telles sont les lignes qu’on rencontre dans ce qu’on appelle les lieux en surface, ainsi que les autres Il est intéressant de rechercher à quelle époque on doit attri­ encore plus diversifiées qu’ont trouvées en grand nombre Démé- buer ces propositions. trios d’Alexandrie dans ses « Epistases grammiques » et Philon Il faut remarquer que la surface de vis est appelée plectoïde de Tyane par l’entrelacement de surfaces plectoïdes et autres de par Pappus^. D’après le contexte, on ne peut douter que ce toute sorte. Ces lignes présentent nombre de caractères singu­ terme ne désigne une surface réglée à plan directeur, dont une liers; quelques-unes ont été jugées par les auteurs plus modernes des directrices est rectiligne et l’autre une courbe quelconque. dignes de traités spéciaux, entre autres celle que Menelaos a C’est ce qu’on appelle d’ordinaire aujourd’hui une surface conoïde. appelée « paradoxes ». Au même genre de problèmes s’appli- Il serait évidemment à désirer que l’on reprît le terme antique, incontestablement plus rationnel, et que l’on n’employât celui de 1. Archimède appelle conoïde orthogone notre paraboloïde de révolution, conoïde que dans un sens où pût rentrer celui qu’Archimède lui conoïde amblygone une des deux nappes de l’hyperboloïde de révolution autour de l’axe transverse. Plectoïde dérive de πλέκειν (tresser) et paraît signifier particulièrement « qui ressemble à un ouvrage de vannerie ». 1. Pappus suppose ce cône rectangle. a. Il est à remarquer que la même distinction se retrouve dans les mêmes 2. Plus littéralement cylindroîde. termes, mais avec moins de développement, III, p. 54. 3. P. 202, 1. i8 : έν πλεκτοειδει έπιφανεία. — P. 260, 1. i3-i4, le terme 3. La droite, le cercle et les coniques ; les anciens n’ont pas à proprement technique est illisible dans les manuscrits. F. Hultsch, induit en erreur par parler de terme spécial pour désigner les courbes. Torelli, a restitué à tort /,υλινδραί;.