Mechanics of Aeronautical Solids, Materials and Structures Mechanics of Aeronautical Solids, Materials and Structures Christophe Bouvet First published 2017 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc. Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as permitted under the Copyright, Designs and Patents Act 1988, this publication may only be reproduced, stored or transmitted, in any form or by any means, with the prior permission in writing of the publishers, or in the case of reprographic reproduction in accordance with the terms and licenses issued by the CLA. Enquiries concerning reproduction outside these terms should be sent to the publishers at the undermentioned address: ISTE Ltd John Wiley & Sons, Inc. 27-37 St George’s Road 111 River Street London SW19 4EU Hoboken, NJ 07030 UK USA www.iste.co.uk www.wiley.com © ISTE Ltd 2017 The rights of Christophe Bouvet to be identified as the author of this work have been asserted by him in accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988. Library of Congress Control Number: 2016962010 British Library Cataloguing-in-Publication Data A CIP record for this book is available from the British Library ISBN 978-1-78630-115-4 Contents Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii Chapter 1. Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Notion of stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. External forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Internal cohesive forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3. Normal stress, shear stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Properties of the stress vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Torsor of internal forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. Reciprocal actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Cauchy reciprocal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Stress matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Invariants of the stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3. Relation between the stress matrix and the stress vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4. Principal stresses and principal directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Equilibrium equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5. Mohr’s circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chapter 2. Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Notion of strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Displacement vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 vi Mechanics of Aeronautical Solids, Materials and Structures 2.1.2. Unit strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3. Angular distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Strain matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. Definition of the strain matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2. Principal strains and principal directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3. Volume expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4. Invariants of strain tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Compatibility condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Strain measurement: strain gage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chapter 3. Behavior Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1. A few definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Tension test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. Brittle materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2. Ductile materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3. Particular cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Shear test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1. Brittle materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2. Ductile materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4. General rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.1. Linear elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5. Anisotropic materials: example of a composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.1. Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6. Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Chapter 4. Resolution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1. Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2. Displacement method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. Stress method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4. Finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chapter 5. Work-energy Theorem: Principle of Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1. Work-energy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.1. Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.2. Strain energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.3. Work of external forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.4. Strain energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.1.5. Energy minimization: Ritz method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Contents vii 5.2. Finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2.1. General principle of finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2.2. Example of the three-node triangular element . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3. Application: triangle with plate finite element using Catia . . . . . . . . . . . . 80 Chapter 6. Sizing Criteria of an Aeronautical Structure . . . . . . . . . . . . . 83 6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2. Experimental determination of a sizing criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3. Normal stress or principal stress criterion: brittle material . . . . . . . . . . . . 87 6.4. Stress or maximum shear energy criterion: ductile material . . . . . . . . . . . 91 6.4.1. Tresca criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.4.2. Von Mises criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4.3. Rupture of a ductile material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.5. Maximum shear criterion with friction: compression of brittle materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6. Anisotropic criterion: example of the composite . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Chapter 7. Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2. Plastic instability: necking, true stress and true strain . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3. Plastic behavior law: Ramberg–Osgood law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.4. Example of an elastic–plastic calculation: plate with open hole in tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Chapter 8. Physics of Aeronautical Structure Materials . . . . . . . . . . . . 127 8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2. Aluminum 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.3. Carbon/epoxy composite T300/914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.4. Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Chapter 9. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1. Rosette analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.2. Pure shear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.3. Compression of an elastic solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.4. Gravity dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.5. Shear modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.6. Modulus of a composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.7. Torsional cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.8. Plastic compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.9. Bi-material beam tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 viii Mechanics of Aeronautical Solids, Materials and Structures 9.10. Beam thermal expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.11. Cube under shear stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.12. Spherical reservoir under pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.13. Plastic bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.14. Disc under radial tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.15. Bending beam: resolution by the Ritz method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.16. Stress concentration in open hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.17. Bending beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Chapter 10. Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.1. Rosette analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.2. Pure shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.3. Compression of an elastic solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.4. Gravity dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.5. Shear modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.6. Modulus of a composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.7. Torsional cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10.8. Plastic compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.9. Bi-material beam tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.10. Beam thermal expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.11. Cube under shear stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 10.12. Spherical reservoir under pressure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.13. Plastic bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10.14. Disc under radial tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.15. Bending beam: resolution by the Ritz method . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.16. Stress concentration in open hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.17. Bending beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281