MATRIZES, VETORES E ´ GEOMETRIA ANALITICA ReginaldoJ.Santos DepartamentodeMatema´tica-ICEx UniversidadeFederaldeMinasGerais http://www.mat.ufmg.br/~regi Marc¸o2012 Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica Copyright(cid:13)c 2012byReginaldodeJesusSantos(120228) E´ proibidaareproduc¸a˜odestapublicac¸a˜o,oupartedela,porqualquermeio,semapre´viaautorizac¸a˜o,por escrito,doautor. Editor,CoordenadordeRevisa˜o,SupervisordeProduc¸a˜o,CapaeIlustrac¸o˜es: ReginaldoJ.Santos ISBN85-7470-014-2 FichaCatalogra´fica Santos,ReginaldoJ. S237m Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica/ReginaldoJ.Santos-Belo Horizonte: ImprensaUniversita´riadaUFMG,2012. 1. GeometriaAnal´ıtica I.T´ıtulo CDD: 516.3 Suma´rio Prefa´cio vii 1 MatrizeseSistemasLineares 1 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Operac¸o˜escomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 PropriedadesdaA´lgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Aplicac¸a˜o:CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ApeˆndiceI:Notac¸a˜odeSomato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 SistemasdeEquac¸o˜esLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Me´tododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2.3 SistemasLinearesHomogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.2.4 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ApeˆndiceII:UnicidadedaFormaEscalonadaReduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 iii iv Suma´rio 2 Inversa˜odeMatrizeseDeterminantes 68 2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.1.2 MatrizesElementareseInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.1.3 Me´todoparaInversa˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1.4 Aplicac¸a˜o:Interpolac¸a˜oPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.1.5 Aplicac¸a˜o:Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2.3 MatrizAdjuntaeInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ApeˆndiceIII:Demonstrac¸a˜odoTeorema2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3 VetoresnoPlanoenoEspac¸o 132 3.1 SomadeVetoreseMultiplicac¸a˜oporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.2 ProdutosdeVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.2.2 Projec¸a˜oOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.2.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.2.4 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 ApeˆndiceIV:Demonstrac¸a˜odoitem(e)doTeorema3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4 RetasePlanos 204 4.1 Equac¸o˜esdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.1.1 Equac¸o˜esdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.1.2 Equac¸o˜esdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.2 AˆnguloseDistaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.3 Posic¸o˜esRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012 Suma´rio v 5 Sec¸o˜esCoˆnicas 286 5.1 CoˆnicasNa˜oDegeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 5.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 5.1.4 Caracterizac¸a˜odasCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 5.2 CoordenadasPolareseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 5.2.1 CoˆnicasemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 5.2.2 CircunfereˆnciaemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 5.2.3 Equac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6 Superf´ıcieseCurvasnoEspac¸o 359 6.1 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 6.1.1 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.1.2 Hiperboloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 6.1.3 Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.1.4 ConeEl´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.1.5 CilindroQua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 6.2 Superf´ıciesCil´ındricas,CoˆnicasedeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 6.2.1 Superf´ıciesCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 6.2.2 Superf´ıciesCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 6.2.3 Superf´ıciesdeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 6.3 CoordenadasCil´ındricas,Esfe´ricaseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 6.3.1 CoordenadasCil´ındricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 6.3.2 CoordenadasEsfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 6.3.3 Equac¸o˜esParame´tricasdeSuperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 6.3.4 Equac¸o˜esParame´tricasdeCurvasnoEspac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7 Mudanc¸adeCoordenadas 452 7.1 Rotac¸a˜oeTranslac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.1.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Marc¸o2012 ReginaldoJ.Santos vi Suma´rio 7.1.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.2 Identificac¸a˜odeCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 7.3 Identificac¸a˜odeQua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 RespostasdosExerc´ıcios 509 Bibliografia 649 ´IndiceAlfabe´tico 652 MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012 Prefa´cio EssetextocobreomaterialparaumcursodeGeometriaAnal´ıticausandoMatrizeseVetoresministradopara estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado um programa comooMATLAB(cid:114) ∗,SciLabouoMaxima. Oconteu´doe´ divididoemsetecap´ıtulos. OCap´ıtulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aquitodasas propriedadesdaa´lgebramatricialsa˜odemonstradas. Aresoluc¸a˜odesistemaslinearese´ feitausandosomente o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´ usado no estudo da inversa˜o de matrizes no Cap´ıtulo2.NesteCap´ıtuloe´tambe´mestudadoodeterminante,quee´definidousandocofatores.Assubsec¸o˜es 2.2.2e2.2.3sa˜oindependentesentresi. Asdemonstrac¸o˜esdosresultadosdestecap´ıtulopodemser,acrite´rio doleitor,feitassomenteparamatrizes3×3. OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoressa˜odefinidosdeformageome´trica, assim comoasomaeamultiplicac¸a˜oporescalar. Sa˜oprovadasalgumaspropriedadesgeometricamente. Depoissa˜o introduzidossistemasdecoordenadasdeformanaturalsemanecessidadedadefinic¸a˜odebase. Osprodutos escalarevetorialsa˜odefinidosgeometricamente.OCap´ıtulo4trataderetaseplanosnoespac¸o.Sa˜oestudados ∗MATLAB(cid:114)e´marcaregistradadeTheMathworks,Inc. vii viii Suma´rio aˆngulos,distaˆnciaseposic¸o˜esrelativasderetaseplanos. O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. Sa˜o tambe´m estudadas as coordenadas polares e parametrizac¸o˜esdascoˆnicas. Assuperf´ıciessa˜oestudadasnoCap´ıtulo6incluindoa´ıasqua´dricas,superf´ıcies cil´ındricas,coˆnicasederevoluc¸a˜o. NesteCap´ıtulosa˜otambe´mestudadasascoordenadascil´ındricas,esfe´ricas e parametrizac¸a˜o de superf´ıcies e curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7 traz mudanc¸a de coordenadas, rotac¸a˜o e translac¸a˜o.Dadaumaequac¸a˜ogeralde2ograuemduasoutreˆsvaria´veis,nesteCap´ıtulo,atrave´sdemudanc¸as decoordenadase´ feitaaidentificac¸a˜odacoˆnicaoudaqua´dricacorrespondenteaequac¸a˜o. Osexerc´ıciosesta˜oagrupadosemtreˆsclasses. Os“Exerc´ıciosNume´ricos”,queconte´mexerc´ıciosquesa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que conte´m exerc´ıcios que requerem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o sim- ples, outros sa˜o mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados (cid:114) de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLAB ”, que conte´m exerc´ıcios para serem resolvidos usando o (cid:114) MATLAB ou outro software. Os comandos necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios sa˜o tambe´m forneci- dosjuntamentecomumaexplicac¸a˜ora´pidadouso. Osexerc´ıciosnume´ricossa˜oimprescind´ıveis,enquantoa resoluc¸a˜odosoutros,dependedon´ıveledosobjetivospretendidosparaocurso. (cid:114) (cid:114) O MATLAB e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory). (cid:114) Oscomandosdo MATLAB sa˜omuitopro´ximosdaformacomoescrevemosexpresso˜esalge´bricas,tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s rotinas pre´-definidas, pacotes para ca´lculos espec´ıficos. Umpacotechamadogaalcomfunc¸o˜esquesa˜odirecionadasparaoestudodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebra Linear pode ser obtido atrave´s da internet no enderec¸o http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um (cid:114) (cid:114) texto com uma introduc¸a˜o ao MATLAB e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. O MATLAB na˜o e´ um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se comprar o guia do usua´rio. Atu- almente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de GeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear. Napa´ginadoautornawebpodemserencontradospacotesdefunc¸o˜es paraestesprogramasale´mdelinksparaaspa´ginasdoSciLabedoMaximaeva´riaspa´ginasinterativasque podemauxiliarnaaprendizagem. Nofimdecadacap´ıtulotemosum“TestedoCap´ıtulo”,ondeoalunopodeavaliarosseusconhecimentos. (cid:114) Os Exerc´ıcios Nume´ricos e os Exerc´ıcios usando o MATLAB esta˜o resolvidos apo´s o u´ltimo cap´ıtulo utili- (cid:114) zando o MATLAB . Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software pode obter apenas MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012 Prefa´cio ix asrespostasdosexerc´ıcios,enquantoaquelequetiveralguminteresse,podeficarsabendocomoosexerc´ıcios (cid:114) poderiamserresolvidosfazendousodoMATLAB edopacotegaal. Gostariadeagradeceraosprofessoresquecolaboraramapresentandocorrec¸o˜es,cr´ıticasesugesto˜es,entre elesJoanaDarcA.S.daCruz,RinaldoVieiradaSilvaJunioreSe´rgioGuilhermedeAssisVasconcelos. Marc¸o2012 ReginaldoJ.Santos x Prefa´cio Histo´rico Marc¸o2012 Mudanc¸anaformatac¸a˜odotexto. Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas. Foramacres- centadosoexerc´ıcio5.2.12sobreapropriedaderefletoradaelipseeoexerc´ıcio5.2.13sobreapropriedade refletoradahipe´rbole. Marc¸o2010 Foramacrescentadosdoisexerc´ıciosedoisitensemumexerc´ıcionaSec¸a˜o5.2edoisitensemum exerc´ıcionaSec¸a˜o6.3. Foramescritasasrespostasdosexerc´ıciosdasSec¸o˜es5.2. e6.3. Julho2009 Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas. Marc¸o2008 Algumas correc¸o˜es. Foram acrescentados dois exerc´ıcios a` Sec¸a˜o 4.3. As respostas de alguns exerc´ıciosforamreescritas. Marc¸o2007 Va´rias figuras foram refeitas e outras acrescentadas. Foi acrescentado um item ao Teorema 2.13 napa´gina104. ForamreescritosoExemplo3.12eoCorola´rio3.10. Marc¸o2006 OsCap´ıtulos1e2foramreescritos.Foiacrescentadaumaaplicac¸a˜oa`sCadeiasdeMarkov.Foram acrescentadosva´riosexerc´ıciosaosCap´ıtulos3e4.OCap´ıtulo5foireescrito.Foramescritasasrespostas dos exerc´ıcios das Sec¸o˜es 4.3. e 6.1. Foram acrescentados exerc´ıcios nume´ricos a`s Sec¸o˜es 4.3 e 5.1 e exerc´ıciosteo´ricosa`sSec¸o˜es3.1,4.2,5.1e7.3. Julho2004 Foi acrescentada uma aplicac¸a˜o a` criptografia (Exemplo na pa´gina 88). Foi acrescentado um exerc´ıcionaSec¸a˜o1.1. Foiinclu´ıdaademonstrac¸a˜odequetodamatrize´ equivalenteporlinhasauma u´nica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na pa´gina 26 que passou para o ApeˆndiceIIdaSec¸a˜o1.2. OTeorema1.4agoraconte´maspropriedadesdarelac¸a˜o“serequivalentepor linhas”comademonstrac¸a˜o. NoCap´ıtulo3foramacrescentados2exerc´ıciosnasec¸a˜o3.1,1exerc´ıciona Sec¸a˜o3.2. NoCap´ıtulo4aSec¸a˜o4.1foireescritaeforamacrescentados2exerc´ıcios. Marc¸o2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear’ para ser usado numa disciplina deGeometriaAnal´ıtica. MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012