Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Singapur Tokio T. Westermann • W. Buhmann • L. Diemer E. Endres· M. LauIe· G. Wilke Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple fur Lehrer und Dozenten i Springer Kontaktadresse fUr Hochschulen: Professor Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Postfach 2440 76012 Karlsruhe, Deutschland e-mail: [email protected] Kontaktadresse fur Schulen: Regierungsschuldirektor Wolfgang Buhmann Oberschulamt Karlsruhe Postfach 4840 76031 Karlsruhe, Deutschland e-mail: [email protected] Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple / von Thomas Westermann ... -Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer 2001 ISBN 3-540-42132-7 Mathematics Subject Classification (2000): 68Q40, 00A20 ISBN-13: 978-3-540-42132-0 e-ISBN-13: 978-3-642-83542-1 DOl: 10.1007/978-3-642-83542-1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk sen dung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten . Eine Ver vielfliltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland yom 9. Sep tember 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig.Zuwi derhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Der Springer-Verlag ist nicht Urheber der Daten und Programme. Weder der Springer-Verlag noch die Autoren iibernehmen Haftung flir die CD-ROM und das Buch, einschlieBlich ihrer Qualitat, Handels oder Anwendungseignung. In keinem Fall iibernehmen der Springer-Verlag oder die Autoren Haftung flir direkte, indirekte, zufallige oder Folgeschaden, die sich aus der Nutzung der CD-ROM oder des Buches ergeben. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001 Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 2001 Maple und Maple V sind eingetragene Warenzeichen von Waterloo Maple Inc. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solehe Namen im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jeder mann benutzt werden diirften. Einbandgestaltung: Erich Kirchner, Springer-Verlag Heidelberg Satz: Reproduktionsfertige Vorlage der Autoren Gedruckt auf saurefreiem Papier SPIN 10836893 40/3142CK-5432I 0 Vorwort zur zweiten Auflage Nachdem die erste Auflage nahezu vergriffen ist, haben uns mehrere Grunde veranlasst, die vorliegende Neuauflage erheblich zu erweitern und in einigen Punkten zu modifizieren. Zum einen haben sich die neuen Maple-Versionen Maple6 bzw. Maple7 auf dem Markt etabliert, so dass alle elektronischen Arbeitsblatter uberarbeitet und an diese neuen Versionen angepasst wurden. Die freundliche Aufnahme des Buches sowie der positive Zuspruch haben uns bewogen, den Themenkatalog erheblich zu erweitern. Das Kapitel Funktionen wurde durch die Themen Superposition, Uberlagerung sinusfOrmiger Funktio nen mit Zeigerdiagramm und Parameterkurven erganzt. Die Funktionenlupe erleichtert die Visualisierung "kritischer" Bereiche von Funktionen. Erweitert wurde auch das Kapitel "Gleichungen und Ungleichungen" urn die graphische Darstellung von Ungleichungen. Die Kegelschnitte erhielten eine zusatzliche Fassung, und das Thema Normalverteilung wurde im Kapitel Stochastik neu aufgenommen. Neu ist auch das Thema Ortskurven. Auch im Hinblick auf die Verbindung zu den Naturwissenschaften wurde die CD-ROM urn die Kapitel Sinusfunktionen in der Physik sowie Fraktale und Chaos erweitert. Unser besonderer Dank gilt den zahlreichen Anregungen und auch kritischen Zuschriften, die wir im Hinblick aufInhalt und Handhabung gerne berucksich tigten. Insbesondere danken wir Herrn Martin Busch fur die Erstellung des Kapitels Chaos sowie Herrn Matthias Hainz fUr die Ubernahme der Haupt arbeit beim Kapitel Fraktale. Karlsruhe, im Mai 2001 Prof. Dr. T. Westermann RSD W. Buhmann Fachhochschule Karlsruhe Oberschulamt Karlsruhe Vorwort zur ersten A uflage Die vorliegende CD-ROM Mathematische BegrifJe visualisiert mit Maple fur Lehrer und Dozenten ist ein Werkzeug, das mathematische Begriffe und Ver fahren, vorwiegend aus dem Themenbereich der Oberstufe der Gymnasien und der Anfangssemester an Hochschulen, im Unterricht/in der Vorlesung sichtbar und damit fur SchUler und Studenten visuell erfahrbar macht. Damit wird ein Weg beschritten, der dem erfahrenen Lehrer und Dozenten nicht neu ist; Anschauen und Ausprobieren stellen im Bereich der Mathema- VI Vorwort tik seit Euklid und Galilei ein unverzichtbares didaktisches und wissenschaft liches Mittel zur Gewinnung, aber auch zur Einpragung von Erkenntnissen und Kenntnissen dar. Neu ist allerdings, dass konsequent die Hilfsmittel des Computeralgebra-Systems Maple verwendet werden, urn komplexe graphi sche Darstellungen sowie numerische und symbolische Berechnungen in ein facher Weise darzustellen. Durch die groBe Verbreitung der Computeralgebra-Systeme (CAS) an Schu len und Hochschulen ist es moglich, die Unterrichts-/Vorlesungseinheiten ge rade durch die Visualisierungsmoglichkeiten dieser Systeme zu bereichern. Die vielen Animationen auf der CD-ROM entspringen diesem Gedanken. Das Computeralgebra-System Maple bietet die Moglichkeit, die ausgearbeiteten elektronischen Arbeitsblatter (Worksheets) so flexibel zu gestalten, dass sie direkt im Unterricht/Vorlesung als fertige Dokumente benutzt, bei Bedarf aber auch interaktiv mit eigenen Beispielen ausgeftihrt werden konnen. Aus eigener Erfahrung und Anschauung wissen wir, dass sich fUr Lehrer wie SchUler bei der Anwendung eines CAS zunachst das Problem ergibt, die Syntax dieses machtigen Werkzeuges zu lernen. Damit ist eine oft liinge re Ubungsphase verbunden bis die "Frtichte" der Vorarbeit geerntet werden konnen. Diese Ubungsphase wollen wir weitgehend abktirzen, indem wir die vorliegende CD-ROM so aufbereitet haben, dass yom Anwender nur wenige immer wiederkehrende Eingabeverfahren erwartet werden. 1m Vordergrund solI nicht die Erarbeitung der Software stehen, sondern der didaktisch sinn volle Einsatz. Nattirlich konnten auch wir nicht vollstandig auf Grundlagen verzichten. Durch eine kurzgefasste Einftihrung und Bedienungsanleitung so wie ausfUhrliche Hilfe-Dokumente meinen wir jedoch, dass die vorliegende CD-ROM von jedem Lehrer und Dozenten aus dem Bereich der Mathema tik/Naturwissenschaften und gegebenenfalls interessierten SchUlern und Stu dent en schnell und nutzbringend angewendet werden kann. AIle Materialien sind auch als HTML-Dokumente vorhanden, so dass Lehrer und Dozenten, die kein Maple zur VerfUgung haben, die graphischen Darstellungen sowie die Animationen auf der CD-ROM ebenfalls nutzen konnen. Die Themen decken weite Bereiche der Schulmathematik und der einftihren den Mathematik an den Fachhochschulen abo So wurden neb en "klassischen" Themen wie Elementare Funktionen, Gleichungen und Vektoren, Analyti sche Geometrie, Lineare Algebra, Komplexe Zahlen, Differential~ und In tegralrechnung auch "neuere" Themen wie Iterationsverfahren, Differential gleichungen, Wachstums~ und Zerfallsprozesse, Statistik und Wahrscheinlich keitsrechnung und vieles mehr (insgesamt 37 Themenbereiche) berticksichtigt. Zum besseren Uberblick haben wir die Themen tibersichtlich strukturiert und konsequent die Fenstertechnik in Form von Maple-Worksheets in Anwendung gebracht. Diese Strukturierung wurde innerhalb der einzelnen Themen wei terverfolgt, so dass ein schneller Zugriff auf die gewtinschte Einzeldarstellung jederzeit moglich ist. Vorvvort VII Das vorliegende Buch ist kein klassisches Lehrbuch, in dem die mathemati schen Begriffe herk6mmlich erklart vverden, sondern es sol1 ein Leitfaden fUr die CD-ROM sein, der a11e auf der CD-ROM vorhandenen Themen in der dortigen Gliederung aufgreift, kurz beschreibt sovvie die Funktion und ihre Visualisierung darste11t. Zudem vvird auf a11e Einzeldarste11ungen innerhalb eines Themas einzeln hingevviesen. Noch ein Wort zum Einsatz der vorliegenden CD-ROM: Sicher vverden auch in Zukunft die "klassischen" Hilfsmittcl im Unterricht vvie z.B. Tafel und Over headprojektor vveiterhin Anvvendung finden und finden mussen. A11erdings "passen" die vorhandenen Folien oft nicht fUr den gevvunschten Einstieg oder die graphische Darste11ung und mussten mit erheblichem Zeitaufvvand neu er stellt bzvv. modifiziert vverden. Zudem vvunschen vvir uns als Lehrende haufig aus der aktue11en Unterrichts-/Vorlesungssituation heraus ein anschauliches Beispiel, das aber als Tafelanschrieb zu zeitaufvvendig ist und daher meist unterbleibt. Wir meinen mit der vorliegenden CD-ROM ein Werkzeug geschaffen zu ha ben, das von Lehrem/Dozenten fur Lehrer/ Dozenten entvvickelt vvurde, leicht zu handhaben ist, unn6tige, zeitaufvvendige Vorarbeiten vermeidet, zur De monstration im Unterricht/in der Vorlesung dient, tlexibel auf Fragestellun gen im laufenden Unterricht/in der Vorlesung angevvendet vverden kann und vveite Bereiche des Unterrichts abdeckt. Naturlich konnte ein so umfangreiches Projekt nicht allein von der Autoren gruppe ohne die Hilfe vieler Kollegen und Institutionen bevvaltigt vverden. Dank sei an dieser Stelle ausdrucklich den Autoren zu speziellen Themen gesagt: Herrn StD Dr. Gerhard Bitsch, Tubingen fur die Uberlassung seiner Worksheets zum Thema Stochastik, Herrn StD Christoph Fisches, Schries heim fur die Erstellung eines Worksheets zum Thema Folgen, den Studenten des Studiengangs Sensorsystemtechnik Volker Ceh, Matthias Hainz, Armin Jerger, Carsten Klevvitz, Matthias Kienzler, Julian Neubig und Ivica Zelic fur die Erstellung von Worksheets im Rahmen u.a. von LARS-Projekten. In finanzieller und organisatorischer Hinsicht vvar die vvohlvvollende Hilfe des Ministeriums fUr Kultus, Jugend und Sport Baden-Wurttemberg, Herrn StD Walter Kinkelin, und der Studienkommission fUr Hochschuldidaktik an Fach hochschulen in Baden-Wurttemberg, Herrn Rektor Prof. Fischer, Fachhoch schule Karlsruhe, von groBer Bedeutung. Herrn TOL Klaus Bartholomae dan ken vvir fur die Erstellung des modernen Logos der Maple-Worksheets sovvie Herrn Prof. Dieter Koller, Staatl. Seminar Karlsruhe fur seine Unterstiitzung. Unser Dank gilt auch dem Springer-Verlag fur die angenehme und kooperative Zusammenarbeit, spezie11 Herrn Feith, der sehr auf unsere speziellen Wunsche und Vorstellungen eingegangen ist. Karlsruhe, im Juli 1999 Prof. Dr. T. Westermann RSD W. Buhmann Fachhochschule Karlsruhe Oberschulamt Karlsruhe Inhaltsverzeichnis 1. Einfiihrung............................................... 1 1.1 Systemvoraussetzungen.................................. 2 1.2 Installationshinweise.................................... 2 1.3 Allgemeine Hinweise zu den Worksheets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Hinweise zu den Html-Dateien ........................... 4 1.5 Datei-Struktur auf der CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Elementare Funktionen/Funktionenklassen ............... 5 2.1 Schaubilder von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion . . . . . . . . . . 5 Darstellung einer Kurvenschar . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6 Auswirkung des Parameters auf eine Kurvenschar . . . . . . . 6 Dreidimensionale Darstellung einer Kurvenschar ........ 6 2.2 Funktionenlupe........................................ 7 ganzrationale Funktion - differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Betragsfunktion - nicht differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 trigonometrische Funktion - nicht differenzierbar . . . . . . . . 9 2.3 Darstellung trigonometrischer Funktionen am Einheitskreis .. 11 Sinusfunktion und Zeigerdiagramm1 •..••••••••••.••.•• CD Kosinusfunktion und Zeigerdiagramm .................. CD Tangensfunktion und Zeigerdiagramm .. . . . . . . . . . . . . . .. 11 K otangensfunktion und Zeigerdiagramm. . . . . . . . . . . . . . .. CD 2.4 Uberlagerung sinusformiger Funktionen mit Zeigerdiagramm. 12 Zwei Funktionen mit gleicher Periode . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 Drei Funktionen mit gleicher Periode . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Zwei Funktionen mit unterschiedlicher Periode . . . . . . . . .. 13 2.5 Superpositionsprinzip................................... 14 Superposition von Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 Superposition von Variationen von Sinus bzw. Kosinus ... CD Superposition von nichttrigonometrischen Funktionen . . .. 15 2.6 Darstellung von Funktionen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . .. 16 Die allgemeine Sinusfunktion a sin(bx + c) + d . . . . . . . .. 16 Die allgemeine Exponentialfunktion exp( -a (x - XO)2) ... CD 2.7 Parameterkurven....................................... 17 Animation fiir hervorgehobene Punkte einzelner Kurven. 17 Darstellung aller Einzelpunkte in einem Koordinatensystem 17 Darstellung der Parameterkurve mit allen Einzelpunkten. 18 1 Dieses Verzeichnis gibt auch den Inhalt der CD wieder. Themen, die aus Platz griinden nur auf der CD zu finden sind, sind kursiv gesetzt. X Inhaltsverzeichnis 3. Gleichungen und Ungleichungen . .. .. . . .. . . . . .... .. . . ... .. 19 3.1 Darstellung von Funktionsgleichungen der Form f(x) = g(x) .. 19 Polynomgleichung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 Betragsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Exponentialgleichung ................................ CD Wurzelgleichung .................................... CD Nullstellenprobleme ................................. CD 3.2 Berechnung und graphische Darstellung von Ungleichungen .. 20 Polynomungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 Ungleichungen mit Punktlosungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Ungleichungen ohne exakt darstellbare Losung .......... CD 4. Vektoren / Ebenen / Geraden ............................ 22 4.1 Graphische Darstellung VOn Vektoren und der Vektorrechnung 22 Die Prozeduren arrow2d und arrow3d . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Darstellung von Vektoren im IR? und lR,3 . . . . . . . . . . . . . .. 22 Darstellung zweier Vektoren im lR,2 und lR,3 ............. CD Darstellung der Addition von Vektoren ................ 23 Darstellung der Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . .. 23 Darstellung der Projektion eines Vektors b in Richtung a. 24 Darstellung des Vektorproduktes (Kreuzproduktes) . . . . .. 24 4.2 Graphische Darstellung VOn Geraden und Ebenen im Raum .. 25 Die Prozeduren arrow2d und arrow3d . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Geraden im lR,2 und lR,3 . .. . . .. .. . . . . . . . . .. . . .. . . .. . .. 26 Ebenen im lR, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 5. Analytische Geometrie ................................... 29 5.1 Punkte, Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 Ortsvektor .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Schwerpunkt eines Dreiecks .......................... CD Seitenmittenviereck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Gegenseitige Lage zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . .. 30 Gegenseitige Lage zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 5.2 Kugeln und Ebenen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 Tangentialebene in einem gegebenen K ugelpunkt ........ CD Schnitt zweier Kugeln ............................... 31 5.3 Tangentialebenen mit Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32 Tangentialebenen parallel zu einer gegebenen Ebene . . . .. 32 Tangentialebenen durch eine gegebene Gerade . . . . . . . . .. 33 5.4 Kugeln und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel. . . . . . . . . .. 34 Beriihrkreis und Tangentialkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35 5.5 Kegelschnitte.......................................... 36 Raumliche Darstellung einer Ellipse ................... 36 Inhaltsverzeichnis XI Raumliche Darstellung einer Parabel ......... . . . . . . . .. CD Brennpunktseigenschaft der Ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 Brennpunktseigenschaft der Parabel ................... CD Visualisierung der Gartnerkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . .. 37 Parabel als geometrischer Ort ........................ 38 Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel . . . . . . . . .. 38 Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse .. 39 5.6 Animierte Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 K egelschnitte paralleler Ebenen ....................... CD Kegelschnitte mit veranderlichem Winkel. . . . . . . . . . . . . .. 40 5.7 Mehrstufige Prozesse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 Iterierung eines Markovprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 Stabiler Zustand des Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 Graphische Darstellung des Markovprozesses ........... 42 6. Lineare Algebra. .. .... .... . . .. .. .. .. .. . . .. . . . . . . . . .. . . . .. 43 6.1 Darstellung linearer Abbildungen im ]R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 Demonstration mit vorgegebener Matrix . . . . . . . . . . . . . .. 43 Parallelstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Zentrische Streckung ................................ CD Euler-Affinitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Scherung .......................................... CD Scherstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Abbildung ohne Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD 7. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 7.1 Graphische Darstellung komplexer Zahlen ................. 45 Darstellung einer Zahl in der komplexen Zahlenebene . . .. 45 Darstellung der komplex konjugierten Zahl ............. CD 7.2 Graphische Darstellung komplexer Rechenoperationen. . . . . .. 46 Addition zweier komplexer Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 Subtraktion zweier komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 Multiplikation zweier komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .. CD Division zweier komplexer Zahlen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Die n-te Potenz einer komplexen Zahl ................. CD Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . .. 47 8. Differential- und Integralrechnung ....................... , 49 8.1 Folgen................................................ 49 Schneeflockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 Folgen in Maple .................................... CD Graphische Darstellungen und Wertetabellen ........... 50 Systembefehl rsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CD Grenzwert einer Folge ............................... 51 K onvergenz ........................................ CD