Editor / Herausgeber: Prof. Salomon Klaczko-RYfldziun, Frankfurt a. M. Co-Editors / Mitherausgeber: Prof. Ranan Banerji, Temple University, Philadelphia Prof. Jerome A. Feldman, University of Rochester, Rochester Prof. Mohamed Abdelrahman Mansour, ETH, Zurich Prof. Ernst Billeter, Universitat Fribourg, Fribourg Prof. Christof Burckhardt, EPF, Lausanne Prof. Ivar Ugi, Technische Universitat Munchen Interdisciplinary Systems Research Interdiszipliniire Systemforschung Analysis - Modelling - Simulation Analyse - Formalisierung - Simulation The system science has been developed from several Die Systemwissenschaft hat sich aus der Verbindung scientific fields: control and communication theory, mehrerer Wissenschaftszweige entwickelt: der Rege model theory and computer science. Nowadays it ful lungs-und Steuerungstheorie, der Kommunikationswis fills the requirements which Norbert Wiener formulated senschaft, der Modelltheorie und der Informatik. Sie originally for cybernetics; and were not feasible at his erfullt heute das Programm, das Norbert Wiener mit time, because of insufficient development of computer seiner Definition von Kybernetik urspriinglich vorgelegt science in the past. hat und dessen Durchfiihrung zu seiner Zeit durch die Research and practical application of system science noch ungeniigend entwickelte Computerwissenschaft involve wOt"ks of specialists of system science as well stark eingeschriinkt war. as of those from various fields of application. Up to Die Forschung und die praktische Anwendung der Sy now, the efficiency of this co-operation has been proved stemwissenschaft bezieht heute sowohl die Fachleute in many theoretical and practical works. der Systemwissenschaft als auch die Spezialisten der The series 'Interdisciplinary Systems Research' is in Anwendungsgebiete ein. In vielen Bereichen hat sich tended to be a source of information for university diese Zusammenarbeit mittlerweile bewiihrt, students and scientists involved in theoretical and ap Die Reihe «Interdiszipliniire Systemforschung» setzt plied systems research. The reader shall be informed sich zum Ziel, dem Studenten, dem Theoretiker und about the most advanced state of the art in research, dem Praktiker iiber den neuesten Stand aus Lehre und application, lecturing and metatheoretical criticism in Forschung, aus der Anwendung und der metatheore this area. It is also intended to enlarge this area by in tischen Kritik dieser Wissenschaft zu berichten. cluding diverse mathematical modeling procedures Dieser Rahmen soli noch insofern erweitert werden, als developed in many decades for the description and op die Reihe in ihren Publikationen die mathematischen timization of systems. Modellierungsverfahren mit einbezieht, die in verschie In contrast to the former tradition, which restricted the densten Wissenschaften in vielen Jahrzehnten zur theoretical control and computer science to mathemati Beschreibung und Optimierung von System en erarbeitet cians, physicists and engineers, the present series em wurden. phasizes the interdisciplinarity which system science Entgegen der friiheren Tradition, in der die theoretische has reached until now, and which tends to expand. City Regelungs-und Computerwissenschaft auf den Kreis and regional planners, psychologists, physiologists, der Mathematiker, Physiker und Ingenieure beschriinkt economists, ecologists, food scientists, sociologists. war, liegt die Betonung dieser Reihe auf der Interdiszi political scientists, lawyers, pedagogues, philologists, plinaritiit, die die Systemwissenschaft mittlerweile er managers, diplomats, military scientists and other spe reicht hat und weiter anstrebt. Stadt-und Regionalpla cialists are increasingly confronted or even charged ner, Psycholog.en, Physiologen, Betriebswirte, Volks with problems of system science. wirtschafter, Okologen, Erniihrungswissenschafter, The ISR series will contain research reports - including Soziologen, Politologen, Juristen, Piidagogen, Mana PhD-theses - lecture notes, readers for lectures and ger, Diplomaten, Militiirwissenschafter und andere Fach proc88dings of scientific symposia. The use of less ex leute sehen sich zunehmend mit Aufgaben der System pensive printing methods is provided to assure that the forschung konfrontiert oder sogar beauftragt. authors'results may be offered for discussion in the Die ISR-Reihe wird Forschungsberichte - einschliess shortest time to a broad, interested community. In or lich Dissertationen -, Vorlesungsskripten, Readers zu der to assure the reproducibility of the published results Vorlesungen und Tagungsberichte enthalten. Die Ver the coding lists of the used programs should be in wendung wenig aufwendiger Herstellungsverfahren soli cluded in reports about computer simulation. dazu dienen, die Ergebnisse der Autoren in kiirzester The international character of this series is intended to Frist einer moglichst breiten, interessierten (Jffentlich be accomplished by including reports in German, Eng keit zur Diskussion zu stellen, Um auch die Reprodu lish and French, both from universities and research zierbarkeit der Ergebnisse zu gewiihrleisten, werden in centers In the whole world. To assure this goal, the edi Berichten iiber Arbeiten mit dem Computer wenn im tors' board will be composed of representatives of the mer moglich auch die Befehlslisten im Anhang mitge different countries and areas of interest. druckt. Der internationale Charakter der Reihe soli durch die Aufnahme von Arbeiten in Deutsch, Englisch und FranziJ sisch aus Hochschulen und Forschungszentren BUS slIer Welt verwirklicht werden, Dafiir soli eine entspre chende Zusammensetzung des Herausgebergremiums sorgen. ISR14 Interdisciplinary Systems Research Interdisziplinare Systemforschung Alexander van der Bellen Mathematische Auswahlfun ktionen und gesellschaftliche Entscheidungen Rationalitat, Pfad-Unabhangigkeit und andere Kriterien der axiomatischen Praferenztheorie Springer Basel AG 1976 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Bellen, Alexander van der Mathematische Auswahlfunktionen und gesellschaftliche Entscheidungen: Rationalität, Pfad-Unabhängigkeit u. andere Kriteriend.axiomat. Präferenztheorie (Interdisciplinary systems research; 14) Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten © Springer Basel AG 1976 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976 ISBN 978-3-7643-0814-8 ISBN 978-3-0348-5790-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5790-1 I nhaltsverzeichnis EinfUhrung Abstract 1. Formale Grundlagen der Auswahltheorie ............... . 1 1.1. Mathematische Vorbereitung ......................... . 3 1 . 1 . 1 . Logische Zeichen und Konzepte ........................ . 3 1.1.2. Mengen ......................................... . 6 1.1.3. Relationen und Funktionen ........................... . 10 1.1.3.1. Cartesische Produkte ............................... . 10 1.1.3.2. Binare Relationen .................................. . 11 1.1.3.3. Eigenschaften von RelatlOnen ......................... . 14 1.1.3.4. Maximale und beste Elemente ......................... . 20 1.1.3.5. Aquivalenz- und Ordnungsrelationen .................... . 22 1.1.3.6. Funktlonen ....................................... . 25 1.2 Auswahlen und Praferieren ........................... . 27 1.2.1. Alternativenmengen und Auswahlfunktionen ............... . 27 1.2.2. Praferenzen, Kollektlve, Gesellschaften ................... . 31 1.2.3. Uber die Verbindungvon Praferenzrelationen undAuswahlfunktionen 42 2. Typen von Auswahlfunktionen ....................... . 51 2.1. Konsensfunktionen ................................. . 52 2.2. Mehrheitsfunktlonen einschlieBllch Condorcet-Funktlonen ..... . 55 2.3. Pluralitat und verwandte Funktionen .................... . 67 2.4. Rangsummenfunktionen ............................. . 76 2.5. Andere Funktionen ................................. . 89 2.6. Uber Inklusionsbeziehungen zwischen den Auswahlfunktionen .. . 95 2.7. Appendix: Zur Reform des § 218 im Deutschen Bundestag .... . 113 3. Transitivitat offenbarter Praferenzrelationen und andere Ra- tionalitatsbedingungen ............................ . 119 3.1. Freiheit von Armutsillusion oder die Rationalitatsbedingung « R 1 » 122 3.2. Blnare oder Richter-rationale Auswahlfunktionen und die Rationali- tatsbedingungen « R 2» und «R 3» ...................... . 142 3.3. Transitivitat cum Binaritat und die Rationalltatsbedingung « R4» . 158 3.4. Uber die Kompatibilitat von Rationalitatskonzepten mit Typen von Auswahlfunktionen ................................. . 166 4. Pfad-Unabhangigkeit und verwandte Kriterien .......... . 190 4.1. Verfahren der sequentiellen Elimination .................. . 190 4.2. Sequentielle Invarianz, Begrenzte Varianz, Pfad-Unabhangigkelt .. 194 4.3. Divide et Impera Teilbarkelt und Ausscheldungs-Unabhanglgkelt elner Auswahlfunktion ............................... . 222 4.4. Diskussion einiger konkreter Elimlnationsverfahren .......... . 241 5 Revaluations-Unabhangigkeit und andere Aggregationsbedin- gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 255 5 1. Vorbemerkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 255 5.2 Kriterien der Revaluations-Unabhangigkeit ................. 258 5.3. Ole Revaluatlons-Unabhangigkelt einiger Typen von Auswahlfunktio- nen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270 5.4. Andere Aggregationsbedingungen ....................... 284 6. SchluBbemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288 FuBnoten 293 Literatur 315 Autorenverzelchnls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 327 Sachverzeichnis .................................... 329 EINFOHRUNG Die vorliegende Arbeit verwendet das Instrument einer Auswahlfunktion, um einige Beitrage zur Praferenztheo rie zu entwickeln. Eine Auswahlfunktion ist eine Vor schrift, die jeder Menge von Alternativen eine eindeu tige Untermenge dieser Alternativenmenge zuordnet; diese Untermenge reprasentiert die ausgewahlten Al ternativen und wird Auswahlmenge genannt. Die verwendeten mathematischen Konzepte werden im er sten Kapitel erklart. 1m wesentlichen handelt es sich um einige Grundbegriffe der formalen Logik sowie um Konzepte der Mengentheorie, namlich mengenwertige Funk tionen und binare Relationen als Untermengen Cartesi scher Produktmengen. Unter den Relationen spielen Pra ordnungen eine besondere Rolle: diese definieren auf der Menge der Alternativen eine reflexive und tran sitive Ordnung. Je nach Interpretation kann eine Auswahlfunktion zur Analyse der Auswahlhandlungen eines individuellen Konsumenten, der verschiedene Kriterien bei seiner Entscheidung berucksichtigt, oder zur Analyse der Auswahlhandlungen eines Kollektivs von Personen, die bei'divergierenden Meinungen (Praferenzen) gemeinsam einen Entscheid zu fallen haben, dienen. Unter einer kollektiven Entscheidungssituation i.e.S. verstehen wir, daB eine Menge von Personen durch Verwendung einer besonderen kollektiven Auswahlfunktion (beispielsweise einer Form der Mehrheitsabstimmung) eine Wahl unter den zur Verfugung stehenden Alternativen trifft. Fur jede dieser Personen wird im allgemeinen unterstellt, daB sie uber eine Praferenz im ublichen Sinn, d.h. eine vollstandige Praordnung, auf der Alternativenmenge verfugt. Jede Menge vollstandiger Praordnungen auf der Alternativenmenge nennen wir eine Gesellschaft, und eine Indexmenge einer Gesellschaft nennen wir Kollektiv. 1m zweiten Kapitel werden zahlreiche kollektive bzw. gesellschaftliche Auswahlverfahren formalisiert, d.h. als Auswahlfunktionen definiert: Einstimmigkeits- und Mehrheitsabstimmungen, Pluralitats-, Borda- und Copeland Verfahren sowie gewisse Arten sogenannter Punktwahlen. Diese Verfahren sind Methoden der Praferenzaggregation, oder allgemeiner ausgedruckt, sie ordnen jeder Menge vollstandiger Praordnungen eine und nur eine Auswahl menge (die allerdings auch leer sein kann) zu. Anschlies send werden die Inklusionsbeziehungen die~er Verfahren untersucht, d.h. die Frage, inwieweit bei identischen Gesellschaften das Ergebnis des kollektiven Auswahlver fahrens je nach verwendeter Auswahlfunktion differlert. (So ist beispielsweise von Interesse, ob eine Alter native, die von der Mehrheit des Kollektivs allen anderen vorgezogen wird, durch die verwendete Auswahl funktion tatsachlich der Auswahlmenge zugeschlagen wird.) Ein Anwendungsbeispiel, nAmlich die Debatte um den Ab treibungsparagraphen im deutschen Bundestag und die Ab hangigkeit des Resultats vom verwendeten Auswahlver fahren, illustriert diese Problematik. Da also auch bei gegebenen PrAferenzen des Kollektivs die Auswahlmenge von der Art der verwendeten Auswahl funktion abhAngen kann, stellt sich die Frage, nach welchen Kriterien die "Auswahl einer Auswahlfunktion" erfolgen k5nnte. In der Arbeit werden verschiedene Kri terien postuliert, ihre Implikationen untersucht, und schlieBlich wird gezeigt, welche Funktionen diesen Kriterien - wenigstens unter bestimmten Bedingungen - genugen. 1m Zentrum stehen drei Gruppen von Kriterien: sogenannte RationalitAtskriterien, die vor allem aus der Konsum- bzw. Nachfragetheorie stammen; Kriterien fur sequentielle Eliminationsverfahren; und Revalua tionskriterien, das sind Varianten von Arrow's Be dingung der Unabhangigkeit von irrelevanten Alternativen. Die Rationalitatskriterien betreffen im wesentlichen drei Fragen. Einmal, welche Eigenschaften die durch eine Auswahlfunktion offenbarte Praferenzrelation hat. (1st sie z.B. vollstandig, transitiv, zyklisch oder azyklisch?) Diese Relation ist determiniert durch das Verhalten der Auswahlfunktion auf zweiwertigen Unter mengen der Alternativenmenge. Zweitens, in welchem Verhaltnis stehen die Auswahlmengen von Ober- und Un termengen von Alternativen? Verandert sich z.B. die Auswahl, wenn die Alternativenmenge verkleinert wird? SchlieBlich, ist die Auswahlfunktion binar, d.h. ent halt sie alle gemaB der offenbarten (binaren) Prafe renzrelation besten Elernente der Alternativenmenge? Bei sequentiellen Eliminationsverfahren wird die Al ternativenmenge in (haufig zweiwertige) Untermengen aufgespalten, und die Auswahl in der Gesamtmenge wird durch einen Vergleich der "Sieger" in den Untermengen getroffen. unter Umst&nden hangt diese Auswahl (auch bei gegebener Pr&ferenzstruktur und gegebener Auswahl funktion) von der Reihenfolge dieser vergleiche ab; d.h. manche Verfahren sind pfad-abh&ngig, wobei "Pfad" die Reihenfolge der vergleiche heiBt. Mehrere Krite rien von unterschiedlicher Stringenz werden fur sol che Eliminationsverfahren entwickelt; sie stehen, wie bewiesen wird, in logischer Interdependenz zu den Ra tionalit&tskriterien. Die Revaluationskriterien schlieBlich dienen zur Ein sch&tzung von Auswahlfunktionen, die grob gesagt eine Xnderung der Auswahlmenge zulassen, wenn sich Pr&fe renzen bezuglich nicht unmittelbar zur Auswahl stehen der Alternativen andern. 1m Ergebnis stellt sich heraus, daB die einzelnen Ty pen von Auswahlfunktionen im Hinblick auf diese Gruppen von Kriterien durchaus unterschiedlich abschneiden.