Sous la direction de Christian Gautier André Warusfel Bruno Caminade Gonzague de Monicault Serge Nicolas MATHÉMATIQUES 2 ECS e année TOUT-EN-UN • (cid:2)Un cours complet (cid:2)De nombreux exercices et problèmes (cid:2)Toutes les solutions détaillées en fin d’ouvrage PRÉPAS COMMERCIALES Mathématiques - - • ECS 2e TOUT EN UN ANNÉE Cours et exercices Mathématiques Tout-en-un • ECS 2e année Cours et exercices corrigés Sous la direction de Christian Gautier André Warusfel et Bruno Caminade Serge Nicolas Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-l’École Professeur au lycée HENRI IV à Paris Prépas commerciales © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre1 Complémentsd’algèbrelinéaire 1 1 Sommedirectedesous-espaces,sous-espacesstables 1 2 Réductiondesendomorphismes 7 3 Réductiond’unematrice 11 Chapitre2 Algèbrebilinéaire 24 1 Produitscalaire 24 2 Espaceseuclidiens 35 3 Endomorphismessymétriques 43 Chapitre3 Intégrationsurunintervallequelconque 59 1 Définitions 59 2 Propriétésdesintégralesconvergentes 64 3 Casdesfonctionspositives 71 4 Casdesfonctionsdesignequelconque 77 Chapitre4 ÉlémentsdetopologiedeRn 88 1 RappelssurRn 88 2 Distanceeuclidienne 91 3 Ouvertsetfermés 94 4 Partiesconvexes 98 Chapitre5 Fonctionsdenvariables–Continuité 104 1 Graphed’unefonction 104 Table des matières 2 Continuitéd’unefonctiondeRn dansR 108 3 Opérationssurlesfonctionscontinues 111 4 Propriétésdesfonctionscontinues 116 Chapitre6 Fonctionsdenvariables:calculdifférentiel 125 1 Calculdifférentield’ordre1 125 2 Calculdifférentield’ordre2 135 Chapitre7 Extremums 148 1 Extremumssurunouvert 148 2 Extremumssouscontrainted’égalitéslinéaires 161 Chapitre8 Variablesaléatoiresréellesdiscrètes 171 1 Généralitéssurlesvariablesaléatoiresréelles 171 2 Sériesdoublesconvergentes 179 3 Indépendancedevariablesaléatoiresréellesdiscrètes 185 4 Espéranceetconditionnementdesvariablesdiscrètes 186 Chapitre9 Vecteursaléatoiresdiscrets 202 1 Couplesdevariablesaléatoiresréellesdiscrètes 202 2 Variablealéatoirefonctiond’unvecteurdiscret 211 3 VecteursaléatoiresdiscretsàvaleursdansRn 221 Chapitre10 Variablesaléatoiresréellesàdensité 238 1 Définitiondesvariablesaléatoiresréellesàdensité 238 2 Momentsd’unevariablealéatoireàdensité 246 3 Lesloisusuelles 255 Chapitre11 Convergences 284 1 Convergenceenprobabilité 285 2 Loisdesgrandsnombres 295 3 Convergenceenloi 298 4 Convergenceenloietapproximationsclassiques 308 Chapitre12 Estimation 318 1 Échantillonsd’uneloideprobabilité 319 2 Estimateurs 327 3 Suitesd’estimateurs 333 4 Estimationparintervallesdeconfiance 337 5 Statistiquesbivariées 347 iv Table des matières Chapitre13 Interventionsinformatiques 364 1 Récursivité 364 2 Gestiondelistesàunedimension 380 3 Simulationsdeloisréellesdiscrètes 390 4 Simulationsdeloisréellesàdensité 401 5 Estimation 412 Annexes Tablesdesloisusuelles 420 Solutiondesexercices 428 Chapitre1 429 Chapitre2 446 Chapitre3 464 Chapitre4 486 Chapitre5 496 Chapitre6 511 Chapitre7 524 Chapitre8 539 Chapitre9 564 Chapitre10 575 Chapitre11 595 Chapitre12 604 Index 620 v Préface Cet ouvrage est le deuxième de la série «Tout-en-un» consacré aux classes prépara- toiresauhautenseignementcommercial.Ilestdestinéauxétudiantsdesecondeannée de la filièrescientifique. Couvrant la totalité des résultats au programme, il contient tout ce qui est nécessaire pourlasérie«économique»,auprixdecertainescoupesévidentes;celadit,unautre volume couvrant les deux années de celle-ci est en cours de rédaction, et sera publié en juin 2006. Rappelons dans quel esprit notre cours a été conçu et réalisé. Le rôle d’un professeur est, tout particulièrement en classes préparatoires, de construire son propre cours à partirdesesconnaissances,desesexpériencesetdeseslectures.Parsuitecelivren’est en aucun cas un modèle qui fournirait un cours prêt à l’emploi. En direction des enseignants, justement exigeants quant à leur liberté pédagogique, notre but a donc étéhumble:fournirànoscollèguesquelquespointsderéflexion,quelquessuggestions quant aux choix des propositions à invoquer et de leurs démonstrations. S’il n’est pas un cours à l’usage des enseignants, il n’est pas davantage un texte dans lequel un élève découvrirait seul la partie mathématique des programmes de seconde année(àquelquesexceptionsprès,duesàdescasd’isolementimparable).Ils’agitavant tout de donner aux étudiants un ouvrage de référence. Ce livre est à consulter de manière essentiellement ponctuelle, par exemple à la sortie d’un cours, pour trouver unevisionautrepermettantpeut-êtred’éclairer,parsesdifférences,l’exposédeparties plusdélicatesqued’autres,etaussipourprépareruneinterrogationorale,larédaction d’un devoir libre ou un contrôle. Il servira à vérifier, avec la plus grande précision possible, une définition, l’énoncé d’une proposition, une formule, et à se servir des nombreuses remarques mises au détour des points un peu subtils. L’introductionde nouveaux concepts concernant le calcul des probabilités,introduits de façon plutôt abstraite, a ses avantages scientifiques évidents; mais répétons qu’il serait stupide de penser que cela n’implique pas de réelles difficultés pédagogiques et techniques qu’on peut difficilement cacher sous le tapis.