MMaatthhéémmaattiiqquueess rree EECCSS 11 aannnnééee LE COMPAGNON Françoise Benoist Benoît Rivet Professeur agrégée Professeur agrégé de mathématiques de mathématiques en ECS2 en classes préparatoires au lycée Gay-Lussac (Limoges) au lycée Gay-Lussac (Limoges) Samuel Maffre Lionel Dorat Professeur agrégé Professeur agrégé de mathématiques en ECS1 de mathématiques en ECS1 au lycée Gay-Lussac (Limoges) au lycée Camille Vernet (Valence) Brice Touzillier Professeur agrégé de mathématiques en ECS2 au lycée Michelet (Vanves) ©Dunod,Paris,2011 ISBN 978-2-10-056931-1 Table des matières 1. Nombres réels 1 4.4 Racinesd’unpolynôme 97 Synthèse 105 1.1 Additionetsymbolesomme 1 Testsetexercices 106 1.2 Multiplicationetcoefficientsbinomiaux 6 Corrigésdesexercices 110 1.3 Inégalités 12 Synthèse 15 5. Systèmes linéaires 124 Testsetexercices 16 5.1 Définitions 124 Corrigésdesexercices 20 5.2 Opérationsélémentaires 125 2. Ensembleset applications 29 5.3 Miseenœuvredelaméthodedupivot deGauss 125 2.1 Logique 29 Synthèse 130 2.2 Modesderaisonnement 32 Testsetexercices 131 2.3 Ensembles 38 Corrigésdesexercices 132 2.4 Applications 42 6. Espacesvectoriels 135 Synthèse 48 Testsetexercices 49 6.1 Structured’espacevectoriel 135 Corrigésdesexercices 53 6.2 Sous-espacesvectoriels 137 6.3 Famillesdevecteurs 143 3. Nombres complexes 62 6.4 Sommedesous-espacesvectoriels 149 3.1 Propriétésfondamentales 62 Synthèse 153 3.2 Formetrigonométriqued’uncomplexe 65 Testsetexercices 154 3.3 ÉquationsdansC 70 Corrigésdesexercices 156 Synthèse 73 7. Applicationslinéaires 164 Testsetexercices 74 Corrigésdesexercices 77 7.1 Applicationslinéaires 164 7.2 Noyauetimaged’uneapplicationlinéaire 167 4. Polynômes réels ou complexes 85 7.3 Opérationssurlesapplicationslinéaires 172 4.1 PolynômesàcoefficientsdansK 85 7.4 Imaged’unefamilledevecteurs 4.2 Divisioneuclidiennedepolynômes 92 paruneapplicationlinéaire 176 4.3 Dérivéessuccessives 95 7.5 Projectionsetsymétries 177 IV Tabledesmatières Synthèse 185 11.2 Suitesconvergentes 291 Testsetexercices 186 11.3 Limitesinfinies 298 Corrigésdesexercices 188 11.4 Quelquespropriétésdel’ensemble desnombresréels 302 8. Espaces vectoriels dedimensionfinie 196 Synthèse 306 Testsetexercices 307 8.1 Dimension 196 8.2 Sous-espacesd’unespacededimensionfinie 201 Corrigésdesexercices 312 8.3 Rang 203 12. Exemplesde suites 321 Synthèse 207 12.1 Suitesarithmético-géométriques 322 Testsetexercices 208 12.2 Relationlinéairederécurrenced’ordre2 323 Corrigésdesexercices 210 12.3 Relationderécurrencedutypeun+1=f(un) 325 9. Matrices 218 Synthèse 331 9.1 Matricesetapplicationslinéaires 218 Testsetexercices 332 9.2 Opérationssurlesmatrices 222 Corrigésdesexercices 336 9.3 Rangd’unematrice 227 9.4 Matricescarrées 230 13. Étudeasymptotique des suites 345 9.5 Changementdebase 237 9.6 Retoursurlessystèmeslinéaires 241 13.1 Suitenégligeabledevantuneautre 345 Synthèse 243 13.2 Suiteséquivalentes 348 Testsetexercices 244 Synthèse 353 Corrigésdesexercices 248 Testsetexercices 354 10. Réduction Corrigésdesexercices 357 des endomorphismes et des matricescarrées 258 14. Étudelocaledes fonctions 363 10.1 Elémentspropresd’unendomorphisme 258 14.1 Limiteetcontinuitéenunpoint 363 délit 10.2 Endomorphismesdiagonalisables 261 14.2 Limiteàgauche,àdroite.Prolongement n u 10.3 Réductiondesmatricescarrées 263 parcontinuité 366 est orisée 10.4 Applicationsdeladiagonalisation 269 14.3 Propriétés 369 ut Synthèse 271 a 14.4 Comparaisondesfonctionsauvoisinage n no Testsetexercices 272 d’unpoint 374 pie oco Corrigésdesexercices 275 14.5 Branchesinfiniesdescourbes 377 ot h p Synthèse 381 La 11. Généralitéssurles suites od. réelles 287 Testsetexercices 382 n u D © 11.1 Définitions 287 Corrigésdesexercices 386 V Tabledesmatières 15. Étudeglobaledes fonctions 392 19. Séries numériques 501 15.1 Rappelsetcomplémentssurquelques 19.1 Généralités 501 propriétésglobalesdesfonctions 392 19.2 Sériesàtermespositifs 504 15.2 Fonctionsmonotones 395 19.3 Sériesgéométriquesetexponentielles 507 15.3 Fonctionscontinuessurunintervalle 397 Synthèse 513 15.4 Théorèmedelabijection 400 Testsetexercices 514 Synthèse 403 Corrigésdesexercices 518 Testsetexercices 404 20. Fonctionsde deuxvariables 528 Corrigésdesexercices 408 20.1 Rappelssurleplan.Élémentsdetopologie 528 16. Dérivation 416 20.2 FonctionsdéfiniessurR2,continuité 534 16.1 Conceptionlocaledeladérivée 416 20.3 Calculdifférentiel 538 16.2 Propriétésglobalesdeladérivée 421 Synthèse 543 16.3 Dérivéessuccessives 428 Testsetexercices 544 16.4 Fonctionsconvexes 430 Corrigésdesexercices 547 Synthèse 433 21. Dénombrement 554 Testsetexercices 434 21.1 Définitionetpropriété 555 Corrigésdesexercices 438 21.2 Dénombrementsusuels 558 17. Intégrationsurun segment 21.3 Exemple:jeudecarteetdénombrement 564 et primitives 448 Synthèse 567 17.1 Constructiondel’intégralesurunsegment 448 Testsetexercices 568 17.2 Propriétésdel’intégralesurunsegment 451 Corrigésdesexercices 571 17.3 Primitivesetintégrales 454 22. Statistiques 580 17.4 Calculdesintégrales 459 22.1 Cadremathématique 582 Synthèse 462 22.2 Représentationgraphique 583 Testsetexercices 463 22.3 Caractéristiquesdeposition 585 Corrigésdesexercices 467 22.4 Caractéristiquesdedispersion 589 18. FormulesdeTaylor etdéveloppements limités 479 Synthèse 590 23. Espaces probabilisésfinis 591 18.1 FormulesdeTaylor 479 18.2 Développementslimités 483 23.1 LeproblèmeduchevalierdeMéré 592 Synthèse 488 23.2 Probabilitésurunensemblefini 593 Testsetexercices 489 23.3 Probabilitéconditionnelle 598 Corrigésdesexercices 492 23.4 Indépendance 603 VI Tabledesmatières Synthèse 605 Testsetexercices 696 Testsetexercices 606 Corrigésdesexercices 699 Corrigésdesexercices 609 27. Couplesdevariablesaléatoires 24. Variablesaléatoiresfinies 621 discrètes 706 24.1 Loid’unevariablealéatoire 622 27.1 Loiconjointe,loismarginalesd’uncouple devariablesaléatoires 706 24.2 Espéranceetvarianced’unevariablealéatoire 626 27.2 Indépendance 708 24.3 Loisusuelles 632 27.3 Espéranceetcovariance 709 Synthèse 643 27.4 Sommedevariablesaléatoires 714 Testsetexercices 645 Synthèse 717 Corrigésdesexercices 647 Testsetexercices 718 25. Espaceprobabilisés infinis 656 Corrigésdesexercices 722 25.1 σ-algèbredesévénements 657 28. Élémentsd’algorithmique 735 25.2 Probabilité 658 28.1 EnvironnementPASCAL 735 25.3 Probabilitéconditionnelle 664 28.2 Structuresdebase 738 25.4 Indépendance 667 28.3 Fonctionsetprocédures 743 Synthèse 668 28.4 LesTableaux 745 Testsetexercices 669 28.5 Simulationsenprobabilité 747 Corrigésdesexercices 672 28.6 Logiciel 749 26. Variablesaléatoiresinfinies 680 Synthèse 750 26.1 Variablealéatoirediscrète 680 Testsetexercices 751 26.2 Espéranceetvarianced’unevariablealéatoire 683 Corrigésdesexercices 756 26.3 Loisusuelles 688 Index 765 Synthèse 695 délit n u est e orisé ut a n o n pie o oc ot h p La d. o n u D © VII Pour bien utiliser cet ouvrage Lapaged’entréedechapitre Elleproposeuneintroductionaucours,un rappel des prérequis et des objectifs, ainsi qu’unplanduchapitre. Lecours • Lecoursabordelesnotionsduprogrammede façonsynthétiqueetstructuréeafind’enfaci- literl’apprentissage. • Desencartsdétaillentétapeparétapelesmé- thodes essentielles, et sont suivis d’exemples d’application. Pictogramme • Des commentaires pédagogiques vous ac- compagnent dans le cours et dans les corri- gés d’exercices. Ils sont identifiés par ce pic- togramme: Miseengardecontredeserreursfréquentes. Lasynthèse Enfindechapitre,ellevousproposeunrécapi- tulatifdessavoirs,dessavoir-faireetdesmots- clés. VIII Pourbienutilisercetouvrage Testersesconnaissances Quelques QCM et Vrai ou Faux? pour tester votreconnaissanceducours. Exercicesd’application Ils vous proposent d’utiliser vos connaissances ducourspourrésoudredesproblèmessimples. Leur difficulté est indiquée sur une échelle de 1à3. Exercicesd’approfondissement Des énoncés qui vous proposent de ré- soudre des problèmes demandant une ré- flexion plus poussée, souvent extraits d’an- nales de concours. Leur difficulté est indiquée suruneéchellede1à3. délit Lescorrigésdesexercices un Tous les tests de connaissances, les exercices est d’application et d’approfondissement sont corri- e orisé gés. ut Lessolutionssontregroupéesenfindechapitre. a n o n pie o oc ot h p La d. o n u D © IX