THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE Sp´ecialit´e: MATHEMATIQUES APPLIQUEES Ecole Doctorale de Math´ematiques de Paris Centre - ED 386 Pr´esent´ee par Nicolas Barral Pour obtenir le grade de Docteur de l’Universit´e Pierre et Marie Curie Time-accurate anisotropic mesh adaptation for three-dimensional moving mesh problems soutenue le 27 Novembre 2015 devant le jury compos´e de: Rapporteurs : Prof. Jean-Francois Remacle - Universit´e Catholique de Louvain Dr. Michel Visonneau - CNRS - Ecole Centrale de Nantes Directeur de th`ese : Dr. Fr´ed´eric Alauzet - INRIA Rocquencourt Examinateurs : Prof. Thierry Coupez - Ecole Centrale de Nantes Dr. Alain Dervieux - INRIA Sophia-Antipolis Dr. Miguel A´. Ferna´ndez - INRIA / UPMC Paris VI Dr. Paul Louis George - INRIA Rocquencourt Prof. David L. Marcum - Mississippi State University 2 Remerciements Je tiens `a remercier tout d’abord Fr´ed´eric Alauzet, mon directeur de th`ese, qui m’a donn´e la possibilit´e de d´ecouvrir le monde de la recherche en me proposant ce sujet. Je lui suis tr`es reconnaissantdem’avoirfaitpartagersonsavoiretsonexp´erienceavecpatienceetdisponibilit´e. Je suis particuli`erement reconnaissant envers Paul Louis George, responsable du projet Gamma, pour son encadrement strict mais juste d`es mon arriv´ee dans le projet, et pour m’avoir patiemment transmis une petite part de son savoir (qui est grand...). Je suis tr`es honor´e que Messieurs Jean-Franc¸ois Remacle et Michel Visonneau aient accept´e de rapporter mon travail et je les en remercie. Je suis´egalement reconnaissant envers Messieurs Thierry Coupez, Alain Dervieux, Miguel Fern´andez, Paul Louis George et Dave Marcum pour leur participation a` mon jury. Un grand merci `a tous les membres du projet Gamma que je vois tous les jours depuis cinq ans, pour les discussions int´eressantes avec certains, et les bons moments de d´etente avec d’autres, les deux ensembles n’´etant pas d’intersection nulle: Adrien - qui m´eriterait une phrase `a lui tout seul si mon r´epertoire de synonymes ´etait plus ´eto↵´e-, Lo¨ıc, Dave, Houman, Patrick, Victorien, Alexis, Olivier, Lo¨ıc sans oublier Maryse pour son aide pr´ecieuse. Mention sp´eciale `a Julien, Alex et Eleonore, pour m’avoir support´e dans le mˆeme bureau. Merci aussi `a St´ephanie, Bruno et Estelle, ainsi qu’`a G´eraldine, sans son travail approfondi cette th`ese n’aurait pas ´et´e bien loin. Mes remerciements `a tous les gens des autres ´equipes et bˆatiments crois´es plus ou moins longuement ici et l`a. Je remercie mes amis, qui auront support´e mes sautes d’humeur et que j’ai parfois injuste- ment n´eglig´es, Antoine, Camille, C´edric, Jeanne, Lindsay, Ma¨ıssane, Marion, M´elanie, Nicolas, Paco,Sibylle,tousceuxd’IRC,Dominique,Benjamin,Florence,Cyprien,Fabien,Valentin,sans oublier tous ceux que j’oublie et qui ne m’en voudront pas. Je voudrais ´egalement remercier la Principaut´e de Monaco, et la Direction de l’Education Nationale, de la Jeunesse et des Sports, pour leur soutien. Enfin, je veux remercier ma famille pour son soutien sans faille tout au long de la th`ese, malgr´e les ´epreuves douloureuses qu’elle traverse, `a cˆot´e desquelles la convergence d’un r´esidu ou la r´ejection d’un papier sont bien peu de choses. ii Contents Conventions 3 Introduction 5 I 3D FSI moving mesh simulations 11 Introduction 13 1 Connectivity-change moving mesh strategy 15 1.1 Our moving mesh algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 A two step process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 Mesh deformation step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.3 Mesh optimization step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.4 Optimization procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.5 Handling of boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.6 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.7 Choice of the di↵erent parameters for a robust algorithm . . . . . . . . . 23 1.2 Mesh deformation with Inverse Distance Weighted method . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 IDW method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1 Rigid-body examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2 Deformable-body examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Boundary layers for deformable geometries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.1 One boundary layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Several boundary layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5 Large volume variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Engine piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 ALE solver 47 2.1 Euler equations in the ALE framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Edge-based Finite-Volume solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.2 HLLC numerical flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3 High-order scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4 Limiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.5 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iv Contents 2.3.1 The Geometric Conservation Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.2 Discrete GCL enforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.3 RK schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.4 Application to the SSPRK(4,3) scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.5 Practical computation of the volumes swept . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.6 MUSCL approach and RK schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.7 Computation of the time step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.8 Handling the swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 FSI coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1 Movement of the geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.3 Explicit coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.1 Non-dimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.2 Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Numerical Examples 63 3.1 Validation of the solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 Static vortex in a rotating mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Flat plate in free fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.3 Piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.1 AGARD test cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.2 F117 nosing up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2.3 Two F117 aircraft crossing flight paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.4 Ejected cabin door . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Parallel performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Conclusion 84 II Extension of anisotropic metric-based mesh adaptation to moving mesh simulations 89 Introduction 91 4 Basics of metric based mesh adaptation 95 4.1 State of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.1 Meshing status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.2 History of metric-based mesh adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.1.3 Other mesh adaptation approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Principle of metric-based adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2.1 Euclidian and Riemannian metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Contents v 4.2.2 Unit mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.3 Operations on metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.4 The non-linear adaptation loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 The continuous mesh framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.1 Duality discrete-continous: a new formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.2 Continuous linear interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Multiscale mesh adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1 Optimal control of the interpolation error and optimal meshes . . . . . . 116 4.4.2 Control of the error in Lp norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5 Unsteady mesh adaptation 121 5.1 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1.1 Error model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1.2 Spatial minimization for a fixed t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.3 Temporal minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.4 Error analysis for time sub-intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.1.5 Global fixed-point mesh adaptation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2 From theory to practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.1 Computation of the mean Hessian-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.2 Choice of the optimal continuous mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.3 Matrix-free P1-exact conservative solution transfer . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.4 The remeshing step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.5 Software used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.3 Choice of the mean Hessian-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4.1 2D shock-bubble interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4.2 3D circular blast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.4.3 3D shock-bubble interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4.4 3D blast on the London Tower Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.5 Parallelization of the mesh adaptation loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5.1 Choices of implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5.2 Analysis of parallel timings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6 Extension of unsteady adaptation to moving meshes 157 6.1 ALE metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2 Analytic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2.1 Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2.2 Functions considered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.3 Update of the adaptation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 vi Contents 6.3.1 Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.3.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.3.3 Update of the metric for optimizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.3.4 Handling of the surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.4 3D numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.4.1 Shock tube in expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.4.2 Moving ball in a shock tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.4.3 Nosing-up f117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.4.4 Two F117 aircraft flight paths crossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Conclusion 184 Conclusion and perspectives 188 Acknowledgments 191 Appendices 193 A Intersection of metrics 197 A.1 In two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 A.2 In three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B GPU acceleration of a 3D Finite Volume flow solver 201 B.1 Solver used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 B.2 GPU acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 B.3 State of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.4 Principles of implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B.5 Results and timings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 B.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Bibliography 213 R´esum´e Lessimulationsd´ependantdutempssontdevenuesunen´ecessit´epourl’industrie, etnotamment celles mettant en oeuvre des g´eom´etries mobiles, avec mouvement impos´e ou avec des interac- tions de type fluide-structures. Toutefois, de nombreuses di�cult´es subsistent qui empˆechent d’e↵ectuer de telles simulations de mani`ere quotidienne `a une pr´ecision acceptable. Parmi ces di�cult´es, les g´eom´etries mobiles, en particulier celles pr´esentant des grands d´eplacements, ne sont en g´en´eral pas trait´ees de fa¸con satisfaisante, aussi bien du point de vue du temps de calcul que de la pr´ecision des algorithmes. L’adaptation de maillage anisotropes bas´ee sur les m´etriques a prouv´e son e�cacit´e pour am´eliorer la pr´ecision des calculs stationnaires pour un couˆt en temps maˆıtris´e. Mais son extension aux probl`emes d´ependant du temps est loin d’ˆetre ´evidente, et l’ajout de g´eom´etries mobiles complique encore plus le probl`eme. Dans cette th`ese, on s’int´eresse `a divers´el´ements des simulations instationnaires en g´eom´etrie mobile, avec l’objectif global de les rendre automatiques et d’en am´eliorer les performances. Dans la continuit´e de [Olivier 2011a], des contributions sont apport´ees `a tous les ´el´ements de la chaˆıne, algorithme de bouger de maillage, solveur Arbitrairement Langrangien Eulerien (ALE) et adap- tation instationnaire, conduisant `a la mise au point d’un algorithme d’adaptation de maillage pour des simulations en g´eom´etrie mobile. Onconsid`ereunalgorithmedebougerdemaillagefond´esurdeschangementsdeconnectivit´e (swaps)pourpr´eserverlaqualit´edumaillage. Unenouvellem´ethodedecalculdelad´eformation du maillage, par interpolation directe (m´ethode IDW), a´et´e ajout´ee, et compar´ee `a la m´ethode pr´eexistante par r´esolution d’une EDP d’´elasticit´e lin´eaire. Ces deux m´ethodes pr´esentent toutes deux des performances excellentes, ce qui prouve la robustesse de l’algorithme pour g´erer des maillages mobiles sans remaillage global, y compris avec de grands d´eplacements. Dans cette th`ese, on aborde ´egalement les corps d´eformables avec des couches limites ou des grandes variations de volume. Cet algorithme de bouger de maillage a ´et´e conc¸u pour ˆetre utilis´e avec un solveur ALE, que l’on pr´esente en d´etail. Une discr´etisation par Volumes Finis est e↵ectu´ee, avec un solveur de Riemann approch´e de type HLLC, et une reconstruction des gradients de type MUSCL pour obtenir un ordre 2 en espace. La discr´etisation en temps repose sur une analyse fine de la Loi de Conservation G´eom´etrique (GCL), qui permet de construire des sch´emas de Runge-Kutta `a plusieurs pas d’ordres ´elev´es. Le calcul de certaines quantit´es g´eom´etriques en trois dimensions est clarifi´e. Les changements de connectivit´e du maillage sont trait´es par une interpolation lin´eaire entre deux pas de temps du solveur. Ce solveur a ´et´e impl´ement´e en trois dimensions, parall´elis´e et valid´e sur plusieurs cas. Ces derniers ont confirm´e les ordres de convergence attendus. En particulier, l’influence des swaps a ´et´e ´etudi´ee, et il en d´ecoule que le faible nombre de ces op´erations rend leur influence n´egligeable sur la convergence et la pr´ecision des solutions. D’autres exemples tri-dimensionnels sontpr´esent´esdanslechampdelaM´ecaniquedesFluidesNum´erique(CFD),pluscomplexesen terme de flux ´etudi´es, de g´eom´etries et de d´eplacements des g´eom´etries, avec des d´eplacements impos´es ou d´erivant d’un couplage Fluide-Structure. Ils prouvent l’e�cacit´e de l’approche retenue, qui permet de simuler des probl`emes en maillage mobile complexes dans un temps 2 Contents raisonnable sans jamais remailler globalement. Desprogr`esont´et´er´ealis´esdepuislepremieralgorithmed’adaptationinstationnairedepoint fixe dans [Alauzet 2003a]. Dans cette th`ese, une nouvelle version de l’algorithme de point fixe est utilis´ee, fond´ee sur une nouvelle analyse de l’erreur espace-temps dans le cadre de la th´eorie dumaillagecontinu. Th´eorieetexp´erimentationontpermisdeclarifieretvalidercertainspoints cruciaux du processus, notament le choix d’une Hessienne moyenn´ee essentielle `a l’algorithme. Grˆace `a une parall´elisation e�cace de type p-threads, dont on fournit une analyse, plusieurs cas d’adaptation instationnaire en 3D ont ´et´e simul´es avec une pr´ecision di�cilement concevable il y a encore quelques ann´ees. Finalement, toutes ces briques ont ´et´e assembl´ees pour conduire `a un algorithme d’adaptationpoursimulerdesph´enom`enesphysiquesinstationnairesenmaillagemobileutilisant l’algorithmedebougerdemaillageavecchangementsdeconnectivit´e. Lam´etriqueALEquiavait ´et´e pr´esent´ee dans [Olivier 2011a] et permettait de bouger un maillage en un maillage adapt´e est int´egr´ee `a une analyse d’erreur fond´ee sur l’approche du maillage continu. Cela conduit `a une correction de la m´etrique optimale dans l’algorithme de point fixe. En plus de l’utilisation de cette nouvelle m´etrique, d’autres ajouts ont´et´e e↵ecut´es par rapport `a l’algorithme standard pour utiliser des maillages mobiles. En particulier la m´etrique sur laquelle les optimisations de maillage de l’algorithme de bouger sont e↵ectu´ees est modifi´ee. Finalement, plusieurs exem- ples sont pr´esent´es, qui confirment que l’adaptation de maillage anisotrope permet un gain de pr´ecision en un temps raisonnable pour les simulations en maillage mobile complexes.